Canoni ritmici a mosaico

5.2 Un algoritmo generativo per i canoni di Vuza
Édouard Gilbert [28] dimostra che se un canone non è spettrale, allora è possibile
collassarlo ad un canone di Vuza non spettrale, assumendo però una definizione
di spettro apparentemente più restrittiva della definizione 4.2.2, precisamente:
5.1.12 Definizione (Gilbert).
Sia A ⊂ N finito, con 0 ∈ A, il ritmo interno di un canone di periodo n.
Γ ⊂ [0, 1) è uno spettro per A(x) se e solo se
1. Γ è uno spettro nel senso della definizione 4.2.2,
2. ogni γ ∈ Γ si può scrivere nella forma q/n.
Osserviamo che non ogni spettro ha questa forma; consideriamo ad esempio il
seguente canone di periodo 16:
{0, 5, 10, 15} ⊕ {0, 4, 8, 12} = Z/16Z
si vede subito che A(x) = ∆4(x 5 ) = Φ2(x)Φ4(x)Φ10(x)Φ20(x) (proposizione A.4(6)),
e che A(x) possiede uno spettro secondo la definizione 4.2.2 che non soddisfa la
seconda condizione della definizione 5.1.12:
Γ =
0, 1
1 3
, ,
20 10 20
Sottolineamo però che tutti i ritmi che soddisfano la condizione (T2) hanno uno
spettro della forma richiesta da Gilbert, basta considerare lo spettro trovato da Łaba
nella dimostrazione del teorema 4.2.4.
Torniamo quindi al problema aperto della necessità della condizione (T2): se fosse
provata, allora le definizioni 4.2.2 e 5.1.12 sarebbero equivalenti.
Abbiamo visto che il problema della necessità della condizione (T2) si riduce
all’investigazione dei canoni di Vuza; molti matematici e teorici della musica hanno
cercato di trovare un algoritmo costruttivo ed esaustivo per la generazione di
tutti i canoni di Vuza di periodo dato.
In OpenMusic è stato implementato un algoritmo che permette di generare un insieme
di canoni di Vuza di un dato periodo; Harald Fripertinger [25] mostra che
tale algoritmo è esaustivo per il primo periodo possibile, N = 72, ma non esaustivo
già dal secondo, N = 108.
Nella prossima sezione vedremo come sia possibile migliorare l’algoritmo implementato
in OpenMusic.
5.2 Un algoritmo generativo per i canoni di Vuza
L’algoritmo di generazione di OpenMusic è l’implementazione della fattorizzazione
che si trova nella dimostrazione del teorema di Vuza (teorema 3.1.8) ad opera
di Vuza stesso (proposizione 2.2 di [78], part one).
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