Canoni ritmici a mosaico

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Capitolo 3. <strong>Canoni</strong> di Vuza non esistono altre possibilità, infatti, se per assurdo avessimo kmn1 | h e knm1 | h, allora h = αkmn1 = βknm1, quindi αm2 = βn2, e poiché (n2, m2) = 1 seguirebbe α = n2 e β = m2 quindi h = N, assurdo. Sappiamo quindi ora che esistono canoni di Vuza di periodo N = nmk, come nelle ipotesi del teorema 3.1.8 di Vuza. Il risultato che segue stabilisce esplicitamente quali sono i periodi non contemplati nel precedente teorema. 3.1.9 Teorema. Siano • V := {N ∈ N | N = nmk, con (n, m) = 1, n = n1n2, m = m1m2, ni, mi, k > 1} l’insieme dei naturali che soddisfano le ipotesi del teorema di Vuza, ed • H = {p α , p α q, p 2 q 2 , pqr, p 2 qr, pqrs : α ∈ N, p, q, r, s primi distinti}; allora N ∗ := {n ∈ N | n > 0} è unione disgiunta di V ed H. Dimostrazione: Indichiamo con V c = N ∗ \ V e con H c = N ∗ \ H, basta allora dimostrare le due inclusioni H ⊂ V c e H c ⊂ V. H ⊂ V c : Per ogni x ∈ V esistono n1, n2, m1, m2 ∈ N ∗ con (n1n2, m1m2) = 1 ed n1n2m1m2 | x , proprietà non verificata dagli elementi di H di tipo p α e p α q, con p, q primi ed α ∈ N . Inoltre, per ogni x ∈ V esistono n1, n2, m1, m2, k ∈ N ∗ tali che n1n2m1m2k | x , proprietà non verificata dai restanti elementi di H, quelli di tipo p 2 q 2 , pqr, p 2 qr e pqrs , con p, q, r, s primi. H c ⊂ V : Sia x = p α1 1 pα2 2 . . . pαh h ∈ H c , con p1, p2, . . . , ph primi distinti. Dividiamo in casi, secondo il numero h ≥ 1 dei primi che dividono x . h = 1 : Non è possibile perché x H. h = 2 : Poiché x H, si ha che α1 ≥ 3 ed α2 ≥ 2 (o viceversa), quindi basta considerare (n, m, k) = (p2 1 , pα2 ). 2 , pα1−2 1 h = 3 : Poiché x H, si ha, a meno di permutare i fattori, che: – α1 = 2, α2 ≥ 2 ed α3 ≥ 1, oppure – α1 ≥ 3, α2 ≥ 1 e sempre α3 ≥ 1, in entrambi i casi basta considerare (m, n, k) = (p α1 1 , pα2 2 , pα3 3 ). h = 4 : Poiché x H, α1 + α2 + α3 + α4 ≥ 5, supponiamo α1 ≥ 2, quindi basta considerare (n, m, k) = (p α1 1 pα2 2 , pα3 3 pα4 4 , p1 ) h > 4 : Basta considerare (n, m, k) = (p α1 40 1 pα2 2 , pα3 3 pα4 4 , pα5 5 ). qed qed
3.1 Fattorizzazioni aperiodiche In effetti i gruppi abeliani finiti non Hajós sono completamente caratterizzati dal teorema 3.1.4 di Hajós - de Bruijn. Per i gruppi ciclici, abbiamo visto esplicitamente, nel teorema precedente, quali periodi mancano all’appello. Per la dimostrazione del fatto che tali gruppi sono tutti di Hajós, rimandiamo agli articoli citati nella seguente tabella: Periodi Autore/i p α Hajós [30] e Rédei [58] p α q de Bruijn [16] p 2 q 2 Sands [61] pqr Rédei [58] p 2 qr Sands [61] pqrs Sands [61] dove p, q, r ed s sono primi distinti, ed α ∈ N. Nel caso non ciclico, i gruppi abeliani finiti di Hajós sono tutti e soli • i gruppi dei seguenti tipi [64]: • e tutti i loro sottogruppi, {p, p}, {2 2 , 2 2 }, {2 λ , 2}, {3 2 , 3}, {p 3 , 2, 2}, {p 2 , 2, 2, 2}, {p, 2 2 , 2}, {p, 2, 2, 2, 2}, {p, q, 2, 2} e {p, 3, 3} dove p e q sono primi distinti, e ricordiamo che il tipo di un gruppo abeliano finito è l’insieme degli ordini dei gruppi ciclici di cui è somma diretta. Per le dimostrazioni si rimanda agli articoli di Rédei [58], de Bruijn [15] e Sands ([62] e [64]). Osserviamo che tutti gli esempi di canoni <strong>ritmici</strong> incontrati fino ad ora non sono canoni di Vuza, hanno infatti periodi troppo piccoli: il minimo periodo necessario per un canone di Vuza è 72, per il quale cioè (n1, n2, m1, m2, k) = (2, 2, 3, 3, 2). La dimostrazione del teorema 3.1.8 fornisce la seguente fattorizzazione di Z/72Z: A = = kmRn1 ⊕ knRm1 18 {0, 1} ⊕ 8 {0, 1, 2} = {0, 8, 16, 18, 26, 34} B = C1 ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ C2 = kn1Rn2 ⊕ knm1ZN = ⊔ {1, . . . , k − 1} ⊕ km1Rm2 ⊕ kmn1ZN 4 {0, 1} ⊕ 〈 24〉 ⊔ {1} ⊕ 6 {0, 1, 2} ⊕ 〈36〉 = {0, 4, 24, 28, 48, 52} ⊔ 1 + {0, 6, 12, 36, 42, 48} = {0, 1, 4, 7, 13, 24, 28, 37, 43, 48, 49, 52} 41
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BIBLIOGRAFIA [11] Moreno Andreatta,
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BIBLIOGRAFIA [42] Jeffrey C. Lagari
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BIBLIOGRAFIA [75] Terence Tao, Fugl
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INDICE ANALITICO lattice point theo
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