Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
Si ha:
1. A = {0, 2, 5, 7} ⇒ A(x) = 1 + x 2 + x 5 + x 7 =
= (1 + x)(1 + x 2 )(1 − x + x 2 − x 3 + x 4 ) = Φ2(x)Φ4(x)Φ10(x)
2. B = {0, 4} ⇒ B(x) = 1 + x 4 = Φ8(x)
A tassella modulo 8 e Φ10(x)|A(x) ma 10 ∤ 8.
Osserviamo che A = {0, 2, 5, 7} ≡ 5{0, 1, 2, 3} (mod 8) e (5, 8) = 1, e infatti A tassella
con lo stesso ritmo interno B = {0, 4} del canone triviale, come si vedrà nel
teorema 5.3.2.
In generale consideriamo il canone triviale
A ⊕ B = {0, 1, . . . , m − 1} ⊕ { 0, m, 2m, . . . , (n − 1)m} = Z/nmZ.
Sappiamo (teorema 2.1.9) che per ogni k ∈ N, kA tassella; e se inoltre (k, nm) =
1, si ha che (k, m =| A |) = 1, quindi (teorema 5.3.2) kA ⊕ B = Z/nmZ e per la
proposizione A.4,
(kA)(x) = A(x k ) = ∆m(x k
) = Φd(x k
) = Φdh(x) ,
d|m, d>1
d|m,d>1 h|k
dunque per ogni d, h > 1 tali che d | m e h | k si ha dh ∤ nm e Φdh(x) | (kA)(x).
Notiamo che il ritmo interno B rimane lo stesso, con B(x) = ∆n(x m ).
2.2.3 Esempio.
Cerchiamo un canone ritmico di ritmo interno A e periodo n tale che
∃ p(x) irriducibile e non ciclotomico, tale che p(x) | A(x).
L’idea, come nel caso precedente è quella di partire dal canone
{0, 1, . . . , m − 1} ⊕ { 0, m, 2m, . . . , (k − 1)m} = Z/kmZ.
Questa volta, invece di mescolare le voci, leggeremo il ritmo interno a partire da
t > 0, ad esempio:
per m = 3, k = 2 e t = 1, il pattern {0, 1, 2} letto da 1 diventa il pattern {0, 1, 5}, ed il
canone diventa Z/6Z = {0, 1, 5} ⊕ {0, 3}:
0
1
0 1 2 3 4 5
pattern
letto da 1
−→
0
1
0 1 2 3 4 5
Il pattern così ottenuto è una traslazione di −t ( mod km) del pattern precedente,
quindi tassella (osservazione 1.2.12), e si ha:
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