Canoni ritmici a mosaico

1. A = {0, 1, 5} ⇒ A(x) = 1 + x + x 5 = (1 + x + x 2 )(1 − x 2 + x 3 ) = Φ3(x)p(x) e
2. B = {0, 3} ⇒ B(x) = 1 + x 3 = (1 + x)(1 − x + x 2 ) = Φ2(x)Φ6(x).
p(x) = (1 − x 2 + x 3 ) non è divisibile per un polinomio ciclotomico, infatti:
(a) p(x) è irriducibile in Z[x] (ha grado 3 e non ha radici)
(b) vale l’osservazione A.2
Analogamente per t = 2:
e si ha
0
1
0 1 2 3 4 5
pattern
letto da 2
−→
0
1
0 1 2 3 4 5
1. A = {0, 4, 5} ⇒ A(x) = 1 + x 4 + x 5 = (1 + x + x 2 )(1 − x + x 3 ) = Φ3(x)p(x) e
2. B è lo stesso di prima.
2.2 Esempi
E, sempre per l’osservazione A.2, il polinomio p(x) non è divisibile per un polinomio
ciclotomico.
In generale consideriamo il canone triviale
{0, . . . , m − 1} ⊕ {0, m, . . . , (n − 1)m} = Z/nmZ
letto a partire da k ≤ m, cioè con ritmo interno traslato di −k ( mod mn):
1. A := {0, . . . , m − 1} − k = {−k, −k + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , m − k − 1} ≡
≡ {0, 1, . . . , m − k − 1, nm − k, nm − k + 1, . . . nm − 1} (mod mn) ⇒
⇒ A(x) = 1 + x + . . . + x m−k−1 + x nm−k + . . . + x nm−1 = 1
= ∆m(x)(1 − x m−k + x m − x 2m−k + x 2m + . . . − x (n−1)m−k + x (n−1)m ) =
= ∆m(x)(∆n(x m ) − x m−k ∆n−1(x m ))
2. B(x) = n−1
i=0 xmi = ∆n(x m ).
Poiché ∆m(x) è prodotto di polinomi ciclotomici, ci interessa sapere per quali valori
di n, m, k ∈ N, con nm ≥ 1 e k ≤ m, esista un polinomio non ciclotomico che divida
il fattore R(x) := ∆n(x m ) − x m−k ∆n−1(x m ) di A(x).
Cominciamo scartando i casi triviali:
• Se k = 0 non c’è nessuna traslazione ed il canone rimane quello iniziale, cioè
con A(x) = ∆m(x) (infatti R(x) = 1), quindi gli unici polinomi irriducibili che
dividono A(x) sono ciclotomici.
1 segue dal fatto che se α < β, allora ∆α(x) = ∆β(x) − x α ∆β−α(x), applicandola a β = m ed, in modo
alternato, α = m − k e k
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