Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3. Canoni di Vuza
3.2.5 Definizione. Sia B = {v1, . . . , vn} una base di Rn e B = (v1, . . . , vn) la matrice
le cui colonne sono i vettori di B. L’insieme
L = {BX | X ∈ Z n ⎧
⎪⎨
n
⎫
⎪⎬
} = ⎪⎩
xivi | xi ∈ Z, vi ∈ B⎪⎭
i=1
di tutte le combinazioni lineari a coefficienti interi dei vettori di B si dice reticolo.
B è la base del reticolo, B la sua matrice, n la sua dimensione.
Se P = BX = n i=1
xivi è un punto del reticolo L, X = (x1, . . . , xn) è il vettore delle
coordinate di P sul reticolo L
Si chiama parallelepipedo fondamentale del reticolo l’insieme
⎧
⎪⎨
n
⎫
⎪⎬
P := ⎪⎩
aivi | ai ∈ [0, 1] ⊂ R per ogni i = 1, . . . , n⎪⎭
.
i=1
Il volume del parallelepipedo fondamentale si chiama determinante del reticolo e
si indica con det(L).
Osserviamo che il volume del parallelepipedo fondamentale di un reticolo è il
determinante della sua matrice:
det(L) = vol(P) =| v1, v2, . . . , vn |= det(B).
3.2.6 Definizione. Un insieme C ⊂ R n si dice a simmetria centrale se e solo se
esiste un punto S ∈ R n tale che C è invariante per la simmetria rispetto ad S .
S è detto centro di simmetria di C.
Siamo pronti per enunciare il risultato fondamentale di Minkowski che risolve
completamente i Problemi 3.2.3 e 3.2.4: il Lattice Point Theorem (teorema del
punto reticolare), brevemente LPT.
3.2.7 Teorema (LPT).
Sia C ⊂ R n compatto, convesso e centralmente simmetrico tale che
1. vol(C) = 2 n d e
2. l’origine è il suo centro di simmetria.
Sia L ⊂ R n un reticolo n-dimensionale di determinante d.
Allora C contiene un punto del reticolo diverso dall’origine.
Per la dimostrazione del teorema 3.2.7 si veda ad esempio [71] o [32].
Abbiamo così la soluzione del Problema 3.2.4:
3.2.8 Teorema. Siano B una matrice reale n × n di determinante 1 e C = [−1, 1] n
il cubo di vertici (±1, . . . , ±1).
Allora esiste un vettore non nullo X ∈ Z n tale che BX ∈ C.
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