Canoni ritmici a mosaico

La proposizione 4.2.1 suggerisce la seguente
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
4.2.2 Definizione. Sia A ⊂ N finito, con 0 ∈ A, e sia k = A(1) =| A |.
Γ ⊂ [0, 1) è uno spettro per A(x) se e solo se
1. 0 ∈ Γ,
2. | Γ |= k e
3. per ogni γ, µ ∈ Γ con γ µ, il numero complesso e 2πi(γ−µ) è una radice di
A(x).
In tal caso, si dice anche che Γ è uno spettro per A, o che A è spettrale.
Con la proposizione 4.2.1 abbiamo trovato un modo algebrico per esprimere il
fatto che un insieme del tipo A ⊕ [0, 1] è spettrale, possiamo quindi riformulare la
congettura spettrale per tasselli di Z:
4.2.3 Congettura (Fuglede).
A ⊂ N finito, con 0 ∈ A, tassella Z ⇔ A è spettrale.
4.2.4 Teorema (Łaba). Sia A ⊂ N finito con 0 ∈ A.
Se A soddisfa le condizioni (T1) e (T2) di Coven-Meyerowitz, allora è spettrale.
Nella dimostrazione del teorema 4.2.4 useremo il seguente
4.2.5 Lemma. Siano k1, . . . , kn, s1, . . . , sn ∈ N ∗ tali che
1. (ki, si) = 1 per ogni i = 1, . . . , n e
2. (si, s j) = 1 per ogni i, j = 1, . . . , n con i j.
Allora
n
i=1
k1
s1
= k
s ,
dove s = s1 . . . sn e k = k1 s
s + . . . + k1 , è una frazione primitiva, cioè (k, s) = 1.
s1 s1
Dimostrazione:
Sia p un primo tale che p | s, allora esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che p | si, da cui:
1. per l’ipotesi 1, p ∤ ki e
2. per l’ipotesi 2, p ∤ s j per ogni i j e quindi
(a) p ∤ s
si e
(b) p | s
s per ogni i j .
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