Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3
Canoni di Vuza
3.1 Fattorizzazioni aperiodiche
Abbiamo definito un canone ritmico a mosaico come una fattorizzazione di un
gruppo ciclico finito con due suoi sottoinsiemi; in effetti lo studio di queste strutture
musicali rientra nel problema più generale nello studio delle fattorizzazioni di un
gruppo abeliano con n sottoinsiemi. Tale problema si impose all’attenzione della
comunità matematica quando, nel 1941 [29], il giovane matematico ungherese G.
Hajós risolse la congettura di Minkowski sui ricoprimenti reticolari a cubi, dopo
averla tradotta in un problema di fattorizzazione di gruppi abeliani con sottoinsiemi
(di questa traduzione ci occuperemo nel paragrafo 3.2.2).
Fu infatti Hajós, in un articolo del 1950 [30], a porre la seguemte domanda:
Data una fattorizzazione G = A ⊕ B di un gruppo abeliano con due suoi sottoinsiemi,
si può dedurre che A o B deve essere necessariamente periodico
(definizione 1.2.3)?
Ed egli stesso, nel medesimo articolo, vi rispose negativamente enunciando un
teorema, la generalizzazione del quale (teorema 3.1.4) avrebbe poi permesso di
trovare tutti i gruppi abeliani per i quali la risposta è negativa.
Sempre nel 1950, anche il matematico olandese Nicolaas Goovert de Bruijn,
studiando le basi per l’insieme degli interi [14], e senza essere a conoscenza del
lavoro di Hajós, si pose la stessa domanda e ne congetturò la risposta affermativa
([14], pag. 242, congettura 3). Nonostante questo primo errore, de Bruijn è stato tra
gli studiosi che hanno apportato un contributo determinante per la caratterizzazione
dei gruppi per i quali la risposta alla domanda di Hajós è positiva.
Tra il 1941 ed il 1957, in articoli di Hajós ([29], [30], [31]), Rédei ([57], [58]),
de Bruijn ([15], [16]) e Sands ([61], [64]), vennero esibiti diversi esempi di gruppi
per i quali la risposta è affermativa, e venne generalizzato il già menzionato
risultato di Hajós sui gruppi per i quali è negativa, arrivando ad una completa
caratterizzazione in entrambi i casi.
Successivamente, tra il 1991 ed il 1993, furono pubblicati quattro articoli del
matematico rumeno Dan Tudor Vuza [78] dedicati alla formalizzazione di una par-
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