Canoni ritmici a mosaico

Dimostrazione:
1. (x − 1)(x p−1 + . . . + 1) = x p − 1 = d|p Φd(x) ⇒ Φp(x) = x p−1 + . . . + 1.
2. Poiché
si ha:
ζ pα 1−1 1 ...p αn−1
n
n
= e i 2π n pα 1−1 1 ...p αn−1
n = e i2π pα1−1 1
Φp1...pn (ζ pα 1−1 1 ...p αn−1
n
n
Φn(x) è il polinomio minimo di ζn, quindi
inoltre
deg Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
e
...p αn−1
n
p α1 1 pα2 2 ...pαn n = e i 2π n p1...pn = ζp1...pn
) = 0.
Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
n ) | Φn(x),
n ) = p α1−1
1
(p1 − 1) . . . p αn−1
n (pn − 1) = φ(n) = deg Φn(x)
cont Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
n ) = cont Φn = 1,
quindi Φp1...pn (xpα 1−1 1 ...p αn−1
n ) = Φn(x).
3. n dispari ⇒ deg Φ2n(x) = φ(2n) = φ(n) = deg Φn(−x), inoltre cont Φ2n(x) =
cont Φn(−x) = 1, quindi, poiché Φ2n è il polinomio minimo di ζ2n, basta vedere
che Φn(−ζ2n) = 0, cioè che −ζ2n è una radice primitiva n-sima dell’unità,
e infatti:
• ζ 2n
2n = 1 ⇒ ζn 2n = −1 ⇒ (−ζ2n) n = 1 e
• se m < n:
– m pari ⇒ (−ζ2n) m = ζm 2n 1,
– m dispari ⇒ (−ζ2n) m = −ζm 2n e se fosse = 1 si avrebbe ζm 2n = −1 ⇒
= 1 con 2m < 2n, assurdo.
ζ 2m
2n
4. • p | n, sia α ∈ N tale che pα | n ma pα+1 ∤ n, n = pα+1m. Poiché p ∤ m
si ha: deg Φpn(x) = φ(pn) = φ(pα+1m) = pα (p − 1)φ(m) = ppα−1 (p −
1)φ(m) = pφ(n) = deg Φn(x p ), e cont Φpn(x) = cont Φn(x p ) = 1. Φpn(x)
è il polinomio minimo delle radici pn-sime dell’unità, quindi basta dimostrare
che Φn(ζ p pn) = 1, ma questo è vero perché ζ p 2π i
pn = e pn p = ei 2π n =
ζn.
• p ∤ n, quindi
deg Φn(x p ) = pφ(n) = φ(n) + (p − 1)φ(n) =
= deg Φn(x) + deg Φpn(x) = deg (Φn(x)Φpn(x)),
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