Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 5. Trasformazione e generazione di canoni a mosaico
Tale fattorizzazione è un caso particolare di quella che si trova nella dimostrazione
del teorema di Hajós-de Bruijn (teorema 3.1.4) ad opera di de Bruijn stesso (teorema
1 di [15]), e che sviluppa un’idea di Hajós in [31] (in cui egli assume anche
l’ipotesi non necessaria (k, nm) = 1).
Concludiamo questo lavoro descrivendo il metodo di de Bruijn e mostrando
che il metodo di Vuza ne è un caso particolare.
Ricordiamo che, dato un gruppo abeliano G ed un suo sottogruppo H, un insieme
completo di rappresentanti di G/H è un insieme R ⊂ G composto da uno ed
un solo elemento per ogni classe laterale modulo H.
Siano d, m, n ∈ N ∗ tali che d | m | n. Indichiamo con Rn(d | m) un insieme completo
e aperiodico di rappresentanti di dZn/mZn, e se d = 1 scriviamo Rn(m), quindi si
ha che:
1. dZn = Rn(d | m) ⊕ mZn
2. | Rn(d | m) | = | dZn/mZn | = | dZn | / | mZn | = (n/d)/(m/n) = m/d
3. Rn(d | m) = dRn/d(m/d)
Osserviamo che un tale insieme di rappresentanti esiste sempre, basta prendere ad
esempio {0, d, . . . , ( m
d − 1)d}.
Sia ora N = nmk = n1n2m1m2k come nell’enunciato del teorema di Vuza, poniamo
Ih = {0, 1, . . . , h − 1} ⊂ ZN, siano
• A = RN(kn | knm1) ⊕ RN(km | kmn1) = k (nRm(m1) ⊕ mRn(n1)) e
• B = C ∪ [(R \ kZN) ⊕ D] dove:
- R è un insieme completo di rappresentanti di ZN/kZN ,
- dato x ∈ knZN \ knm1ZN, si definisce:
C = [{x} ∪ (kmn1ZN \ {0})] ⊕ knm1ZN
- dato y ∈ kmZN \ kmn1ZN, si definisce:
D = [{y} ∪ (knm1ZN \ {0})] ⊕ kmn1ZN
dove, se β | α, abbiamo identificato βZα e Zα/β. Osserviamo inoltre che
| A |= n1m1 e | B |= kn2m2
Si dimostra [15] che A e B sono aperiodici e che ZN = A ⊕ B.
La costruzione di Vuza è un caso particolare della precedente, infatti si ottiene
prendendo n2 = p1 ed m2 = p2 primi.
5.2.1 Definizione. Chiamiamo Vuza-costruibili i canoni ottenuti con la fattorizzazione
precedente.
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