Canoni ritmici a mosaico

Appendice A
Polinomi ciclotomici
Riporto alcune definizioni e proprietà che riguardano i polinomi ciclotomici. Non
riporto molte delle dimostrazioni che possono essere trovate in un buon testo di
algebra, come ad esempio Algebra di Serge Lang [46].
Consideriamo n ∈ N ed il polinomio x n − 1 ∈ Z[x].
Alcune definizioni e fatti noti preliminari:
1. Una radice ζ ∈ C di x n − 1 si dice radice n-sima dell’unità.
2. L’insieme di tutte le radici n-sime dell’unità verrà indicato con µn.
3. µn = {ζ ∈ C : ζn = 1} = {eiθ : θ = k 2π
n , k = 0, . . . , n − 1}.
4. Ponendo ζn := e i 2π n , µn è un gruppo ciclico di ordine n generato da ζ k n per
ogni k tale che (k, n) = 1.
5. Le ζ k n, (k, n) = 1, vengono dette radici primitive n-esime dell’unità, ed il loro
numero è calcolato dalla funzione φ di Eulero:
| {ζ k n : (k, n) = 1} | = | {k < n : (k, n) = 1} | = φ(d),
6. Per ogni d|n, µd è un sottogruppo di µn (l’unico di ordine d).
A.1 Definizione. Dati n ∈ N e ζn radice primitiva n-sima dell’unità, chiamiamo
polinomio ciclotomico di ordine n (o n-simo polinomio ciclotomico) il polinomio:
Φn(x) :=
k< n, (k, n)=1
(x − ζ k n)
le cui radici sono le radici primitive n-sime dell’unità.
Elenchiamo alcune ben note proprietà dei polinomi ciclotomici:
1. Φd(x) ∈ Z[x]
2. Φn(x) è irriducibile in Q[x] (e quindi in Z[x] per il lemma di Gauss).
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