Canoni ritmici a mosaico

1.1 Definizione musicale e definizione algebrica
1. Per quali ritmi è possibile costruire un canone a mosaico?
2. Dato un ritmo che permette di generare un canone a mosaico, come trovare
l’insieme (o gli insiemi) delle entrate corrispondenti?
Siamo arrivati alle definizioni conclusive.
1.1.3 Definizione. Sia (G, +) un gruppo abeliano, siano A, B ⊂ G. Definiamo
l’applicazione
σ : A × B −→ G
(a, b) ↦−→ a + b
Chiamiamo A + B := Im σ, se σ è iniettiva diciamo che A e B sono in somma diretta,
o, equivalentemente, che Im σ ⊂ G è la somma diretta di A e B e chiamiamo
A ⊕ B := Im(σ).
Dato un elemento c ∈ A ⊕ B, gli unici a ∈ A e b ∈ B tali che c = a + b saranno le
proiezioni di c su A e B rispettivamente, diremo inoltre che a + b (o c = a + b) è
una scrittura di c o, equivalentemente, che c si scrive come a + b (o c = a + b) in
A ⊕ B.
Se B = {b}, A + b := A + {b} = A ⊕ {b} è un traslato di A.
Se G = A ⊕ B, diciamo che G si fattorizza come somma diretta di A e B, e chiamiamo
G = A ⊕ B una fattorizzazione di G.
Chiaramente, se A e B sono in somma diretta, allora σ : A × B → A ⊕ B è
bigettiva, quindi | A ⊕ B |=| A || B |.
Indichiamo convenzionalmente gli elementi del gruppo ciclico Z/nZ con i numeri
interi {0, 1, . . . , n − 1}, cioè con i minimi rappresentanti non negativi delle
classi resto modulo n : {[0]n, [1]n, . . . , [n − 1]n}. Sarà chiaro dal contesto, oppure
specificato, se un dato insieme di interi si intenda come tale o come insieme di
classi modulo n.
Osserviamo che la somma diretta di insiemi, a priori, non ha nessuna struttura
algebrica, ad esempio
A = {1, 3} e B = {2} ⊂ Z/5Z ⇒ A ⊕ B = {0, 3} ⊂ Z/5Z.
Se i sottoinsiemi A e B sono anche sottogruppi di G, la somma diretta di A
e B pensati come insiemi (def. 1.1.3) coincide con l’usuale somma diretta tra
sottogruppi, possiamo quindi parlare di somma diretta senza rischio di ambiguità.
1.1.4 Definizione. Un canone ritmico a mosaico di periodo n è una fattorizzazione
del gruppo ciclico Z/nZ con due suoi sottoinsiemi:
Z/nZ = A ⊕ B
dove A è detto ritmo interno e B ritmo esterno del canone.
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