Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
[⇒]: Poiché A tassella, esiste C ⊂ Z tale che A ⊕ C = Z è una tassellazione.
Si ha quindi kA ⊕ kC = kZ, e di conseguenza la tassellazione
Z = {0, . . . , k − 1} ⊕ kZ = {0, . . . , k − 1} ⊕ kA ⊕ kC = kA ⊕ ({0, . . . , k − 1} ⊕ kC).
[⇐]: Poiché kA tassella, esiste C ⊂ Z tale che kA ⊕ C = Z.
Ponendo C0 := { c ∈ C | c ≡ 0 ( mod k)}, si ha che
kA ⊕ C0 = kZ.
[⊆]: È chiaro;
[⊇]: Per ogni kz ∈ kZ ⊂ Z, kz = ka + c, di conseguenza c ∈ C0.
Allora A ⊕ C0/k = Z è una tassellazione.
I due prossimi lemmi stabiliscono l’invarianza per trasformazioni affini anche
della proprietà di soddisfare le condizioni (T1) e (T2). Il secondo, in particolare, ci
permetterà di considerare tasselli i cui elementi sono primi tra loro.
2.1.10 Lemma. Siano A ⊂ N finito ed n ∈ N, poniamo A ′ := A + n. Si ha che:
1. A(x) soddisfa (T1) se e solo se A ′ (x) soddisfa (T1)
2. A(x) soddisfa (T2) se e solo se A ′ (x) soddisfa (T2)
Dimostrazione: Basta osservare che | A |=| A ′ | e A ′ (x) = x n A(x), quindi per ogni
polinomio ciclotomico Φd(x) si ha che Φd(x) | A(x) ⇔ Φd(x) | A ′ (x).
2.1.11 Lemma. Siano A ⊂ N e k ∈ N. Poniamo  := kA, si ha:
1. A soddisfa (T1) ⇔ Â soddisfa (T1)
2. A soddisfa (T2) ⇔ Â soddisfa (T2)
Dimostrazione: Cominciamo con una
2.1.12 Osservazione. Sia k = p primo, allora
S Â = {pα+1 : p α ∈ S A} ∪ {q β ∈ S A : q primo p}.
Dimostrazione: Â(x) = A(x k ), quindi, per la proposizione A.4 (7):
R Â = pRA ∪ {n ∈ RA : p ∤ n}.
In particolare S Â = {qα ∈ RÂ | q primo } e
1. q α ∈ pRA ⇔ q = p e q α−1 ∈ RA
2. q α ∈ {n ∈ RA : p ∤ n} ⇔ q p e q α ∈ RA
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