Canoni ritmici a mosaico

5.3 Invarianza per affinità
5.3.2 Teorema (Tijdeman). (Teorema 1 di [76], pag 267)
Se A ⊕ B = Z/nZ è un canone ritmico, allora anche kA ⊕ B = Z/nZ per ogni intero
positivo k tale che (k, | A |) = 1.
Per la dimostrazione abbiamo bisogno del seguente
5.3.3 Lemma. (Lemma 3.1 di [12], pag 8) A, B ⊂ N finiti, A(x), B(x) i polinomi
associati, n := A(1)B(1), p primo tale che p ∤ A(1), allora:
A(x)B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1) ⇒ A(x p )B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1).
Dimostrazione: Consideriamo le congruenze:
A(x p ) ≡ (A(x)) p (mod p) ∗ ,
(A(x)) p B(x) = (A(x)) p−1 A(x)B(x) ≡ (A(x)) p−1 ∆n(x) (mod x n − 1),
x i ∆n(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1) ∗∗ ,
quindi
(A(x)) p−1 ∆n(x) ≡ (A(1)) p−1 ∆n(x) (mod x n − 1),
(A(1)) p−1 ≡ 1 (mod p) ∗∗∗ ,
in conclusione:
A(x p )B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1, p)
Dove gli asterischi indicano le motivazioni delle congruenze:
∗: perché p è primo,
∗∗: la moltiplicazione per xi permuta gli elementi di ∆n(x),
∗ ∗ ∗: Piccolo Teorema di Fermat, qui si usa l’ipotesi p ∤ n.
Sia ora r(x) = n−1 i=0 rixi il resto della divisione di A(xp )B(x) per xn − 1; per quanto
detto r(x) ≡ ∆n(x) (mod p), cioè ri ≡ 1 (mod p), ed essendo r(1) = A(1)B(1) = n si
ha ri = 1 per ogni i = 0, . . . , n − 1, cioè la tesi.
Dimostrazione (del teorema di Tijdeman): A(x)B(x) ≡ ∆n(x) (mod xn − 1). Osserviamo
innanzitutto che per ogni h ∈ N (hA)(x) = A(xh ), in particolare (hA)(1) =
A(1). Consideriamo la fattorizzazione di k, k = p α1
1 pα2
2 . . . pαm m , (k, | A |) = 1 ma allora
per ogni i = 1, . . . m, (pi, | A |) = 1, possiamo quindi iterare l’applicazione del
lemma 5.3.3 ed ottenere
cioè (kA) ⊕ B = Z/nZ, la tesi.
(kA)(x)B(x) ≡ ∆n(x) (mod x n − 1),
5.3.4 Corollario. Sia A ⊂ Z, | A |= p α1
1 pα2
2 . . . pαk
k .
Se A tassella allora tassella con periodo p β1
1 pβ2
2
77
. . . pβk
k .
qed
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