Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3. Canoni di Vuza
(N1): esistono n + 1 interi per i quali tutte le disuguaglianze di (∗) sono strette,
(N2): per ogni n + 1 - upla di interi per i quali valga (∗), una delle diseguaglianze è
in realtà una uguaglianza.
Conservando le notazioni fino ad ora utilizzate, indichiamo con A la matrice definita
nella dimostrazione del teorema 3.2.9, con L il reticolo {AX | X ∈ Z n+1 }, associato
ai reali a1, . . . , an, t, con C il cubo [−1, 1] n+1 e con X = (x1, . . . , xn, y) il vettore di
coordinate sul reticolo L di un punto P, diverso dall’origine, contenuto nel cubo.
Le precedenti alternative numeriche corrispondono quindi alle seguenti situazioni
geometriche:
(G1): esiste un punto P ∈ L ∩ C ◦ ,
(G2): per ogni P ∈ L ∩ C, P ∈ ∂C.
Indichiamo ora con CO il cubo unitario1 centrato nell’origine O, CO = [−1/2, 1/2 ] n+1 ,
e con CP il cubo unitario centrato nel punto P, CP = [−1/2, 1/2 ] n+1 + P.
Le precedenti situazioni corrispondono ai seguenti casi:
( ˆG1):
◦ ◦
CO∩
CP ∅,
( ˆG2):
◦ ◦
CO ∩ CP = ∂CO ∩ ∂CP, cioè CO∩
CP = ∅.
Seguono due esempi, con n = 1, che illustrano, rispettivamente, le due possibilità
(N1) ⇔ (G1) ⇔ ( ˆG1) ed (N2) ⇔ (G2) ⇔ ( ˆG2)
(1): Sia a = 1/4 il numero reale da approssimare con ratio t = 2.
Il reticolo L associato ad a e t ha base e matice rispettivamente
B = v = (t, 0) = (2, 0), w = (−at, 1/t) = − 1
1 t −1/2
, e B =
2 2 0 1/2
Come si vede nella Figura 3.4, esiste un punto P del reticolo (P = w), diverso
dall’origine O, che si trova nella parte interna del quadrato C, siamo cioè
nella situazione (G1). X = (x, y) = (0, 1) è il vettore delle coordinate di P su
L. Sostituendo X in (∗), si vede che valgono le disuguaglianze strette:
0 < y = 1 < t = 2 e | a − x 1 1 1
|=| |< =
y 4 2 ty ,
siamo infatti nella situazione (N1).
Consideriamo ora i quadrati unitari sopra definiti CO e CP. Come mostra la
Figura 3.5,
siamo cioè nel caso ( ˆG1).
1 di volume 1
◦ ◦
CP∩
CO
∅ ,
48
.