Canoni ritmici a mosaico

1.1 Definizione musicale e definizione algebrica
Abbiamo visto che ad ogni nota è associata una durata, che è un numero razionale.
Supponiamo che la prima percussione avvenga all’istante t0 = 0, allora ogni
percussione successiva avviene all’istante t uguale alla somma delle durate delle
note che precedono la nota della percussione considerata. Ad esempio, nel nostro
caso, la quarta percussione avviene all’istante t = 1 3 1 7
4 + 8 + 4 = 8 .
Il pattern della samba può essere quindi rappresentato dall’insieme:
S := 0, 1
5 7 9 3 7
, , , , , ⊂ Q.
4 8 8 8 2 4
Per Dan Tudor Vuza [78] un ritmo è proprio un sottoinsieme (localmente finito)
dei numeri razionali. Noi adotteremo una definizione leggermente diversa, ma
adottiamo da Vuza la seguente:
1.1.1 Definizione. Sia R ⊂ Q finito. Si definisce divisione minimale di R, dm (R),
il numero razionale dato da:
dm (R) := max { d ∈ Q | d > 0, ∀r, s ∈ R, ∃ n ∈ Z : r − s = nd}.
Possiamo allora associare ad R l’insieme di interi
R
dm (R) .
Nell’esempio della samba brasiliana, dm (S ) = 1
8 , quindi possiamo rappresentare
il ritmo con l’insieme di interi:
8 S = {0, 2, 5, 7, 9, 12, 14}.
Osserviamo che, dato un insieme finito di razionali R, ed indicando con m il
minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi elementi (intesi come frazioni
primitive), si ha 1
m | dm (R) , ma, in generale, non vale il viceversa, ad esempio
dm 0, 3
9 3
, , =
8 8 2
3
8 .
Per esprimere la periodicità dell’esecuzione consideriamo tali interi modulo il
periodo del ritmo, nel caso della samba, il periodo è 8/4 (due misure da 4/4), quindi
dobbiamo considerare l’insieme di interi ottenuto modulo 8/4 · 1/dm (S ) = 16:
S := [8 S] 16 = {[0]16, [2]16, [5]16, [7]16, [9]16, [12]16, [14]16}.
Ricapitolando, abbiamo trovato un modello matematico di un pattern ritmico
attraverso i seguenti passi:
1: Considerare la scrittura musicale del pattern priva di pause.
2: Definire l’isieme R ⊂ Q i cui elementi sono le somme progressive delle
durate delle note del pattern, partendo da 0.
7