Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 1. I modelli algebrici
3: Considerare il periodo P del pattern, ossia la somma delle durate di tutte le
sue note, ed il numero naturale
n :=
P
dm (R) .
4: Definire l’insieme R ⊂ Z/nZ, nel seguente modo:
R
R := .
dm (R)
Possiamo quindi definire:
1.1.2 Definizione.
Un ritmo è un sottoinsieme di un gruppo ciclico R ⊂ Z/nZ.
L’ordine n del gruppo è il periodo del ritmo.
Per completare un modello di un canone ritmico a mosaico rimane da esprimere
matematicamente la complementarità delle voci, ossia la concomitanza dei
seguenti fatti:
I : le voci non si sovrappongono, e
II : l’esecuzione del canone, a regime, da luogo ad una pulsazione regolare.
Sia R il ritmo del canone, n il suo periodo. Poiché ogni voce del canone esegue
R traslato nel tempo, l’i- esima voce eseguirà R + [bi]n. Supponendo per semplicità
che la prima voce inizi la propria esecuzione al tempo b0 = 0, possiamo esprimere
matematicamente le diverse voci con i seguenti insiemi di classi di resto modulo n:
A0 = R, A1 = R + [b1]n, . . . , Ak = R + [bk]n ⊂ Z/nZ .
Le due condizioni precedenti di complementarità si esprimono matematicamente
nel seguente modo:
I : Ai ∩ A j = ∅ per ogni i j, i, j = 0, . . . k e
II : A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ Ak = Z/nZ.
Osserviamo che non tutti i ritmi possono verificare tali condizioni: non è sempre
possibile trovare un oppurtuno insieme di entrate B = {bi} k i=1 ⊂ Z/nZ.
Un esempio in tal senso è il ritmo della samba S = {0, 2, 5, 7, 9, 12, 14} (mod 16),
come si vede direttamente:
sia A0 = S la prima voce, poiché la seconda voce, A1 = S + [b1]16, non deve intersecare
A0, necessariamente si ha b1 = ±1. Date queste due voci da 7 elementi
ciascuna, rimangono solo 2 elementi in Z/16Z, insufficienti per una terza voce.
Nascono allora due domande fondamentali, alle quali gran parte della letteratura
sull’argomento cerca ancora oggi di dare una risposta:
8
n