Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
• Se k = m la traslazione cambia solo l’ordine delle voci, senza alterarne il
motivo, che rimane A, infatti, come prima, R(x) = 1 e quindi A(x) = ∆m(x):
gli unici polinomi irriducibili che dividono A(x) sono ciclotomici.
Sia ora 0 < k < m. Abbiamo due possibilità:
1. m = 2k,
2. m 2k,
corrispondenti alle due proprietà:
1. R(x) è reciproco (definizione A.5),
2. R(x) non è reciproco.
Basta infatti scrivere
R(x) = 1 − x m−k + x m − x 2m−k + x 2m + . . . − x (n−1)m−k + x (n−1)m
per osservare che R(x) è reciproco se e solo se
cioè se e solo se m = 2k.
(n − 1)m − (m − k) = (n − 1)m − k ,
Nel primo caso, si vede facilmente che R(x) = ∆2n−1(−x k ), quindi ogni polinomio
irriducibile che divide R(x) divide anche Φd(−x k ), dove d | 2n − 1 e d > 1.
Poiché 2n − 1 è dispari, anche ogni suo divisore lo è, quindi (per la proposizione
A.4(3)) Φd(−x k ) = Φ2d(x k ). Se ne deduce che i fattori irriducibili di R(x) sono polinomi
ciclotomici, di conseguenza tali sono anche i fattori irriducibili di A(x).
Nel secondo caso, R(x) non è reciproco.
In entrambi i casi, R(x) ha un numero dispari di termini, quindi R(1) 0 (ed anche
R(−1) in verità), e quindi (per la prop. A.6) tutti i polinomi ciclotomici che dividono
R(x) sono reciproci.
Il prodotto di polinomi reciproci è un polinomio reciproco, quindi se per assurdo
tutti i fattori irriducibili di R(x) fossero polinomi ciclotomici, allora R(x) sarebbe
reciproco.
Abbiamo supposto il contrario: quindi deve esistere un polinomio, irriducibile, non
ciclotomico, che divide R(x), e di conseguenza anche A(x).
Ricapitolando, abbiamo dimostrato la seguente
2.2.4 Proposizione. Siano m, n, k ∈ N tali che nm > 0 e k ≤ m.
Sia A il ritmo interno del canone ottenuto traslando di −k il ritmo interno del
canone triviale
{0, . . . , m − 1} ⊕ {0, m, . . . , (n − 1)m} = Z/nmZ.
I fattori irriducibili di A(x) sono tutti polinomi ciclotomici se e solo se m = hk con
h ∈ {0, 1, 2}.
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