Canoni ritmici a mosaico

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
Xg := {x ∈ X | gx = x} l’insieme dei punti fissi di g ∈ G.
Indichiamo con ∼G la relazione di equivalenza su X indotta dall’azione di G:
x ∼G y ⇔ ∃ g ∈ G : y = gx ,
e con G \\X l’insieme quoziente X / ∼G = {Gx | x ∈ X }, che, come si vede, coincide
con l’insieme delle orbite.
Fissato un x ∈ X, si verifica facilmente che Gx < G e che la mappa
G/Gx → X
gGx ↦→ gx
è iniettiva ed ha come immagine l’orbita Gx, quindi, se G è finito, si ha
| Gx |=| G/Gx |=
| G |
| Gx | .
Se X è finito e | X | = n, allora SX è isomorfo ad Sn, il gruppo simmetrico di
grado n. Richiamiamo alcuni risultati su Sn:
1. | Sn | = n!
2. Un ciclo è una permutazione ρ ∈ Sn tale che l’azione di 〈 ρ〉 su {1, . . . , n}
induce al più una sola orbita di cardinalità maggiore di 1.
3. Ogni permutazione π ∈ Sn è prodotto di cicli disgiunti e la decomposizione
standard in cicli di π è:
dove:
(a) c(π) è il numero dei cicli di π,
π = ◦ c(π)
i=1 (ai, π(ai), . . . , π ki−1 (ai))
(b) ki è la lunghezza dell’i-esimo ciclo,
(c) 1 = a1 < a2 < . . . < ac(π) ≤ n, ed ai è il più piccolo elemento dell’i-esimo
ciclo.
4. Il tipo della permutazione π ∈ Sn è l’n-upla λ(π) = (λ1(π), . . . , λn(π)) dove
λi(π) è il numero dei cicli di lunghezza i nella decomposizione standard di π.
B.3 Definizione. Dati un insieme X ed un anello R contenente Q, una funzione
peso è una funzione w : X → R, l’immagine w(x) ∈ R è il peso di x, l’inventario di
X è la somma
IX := w(x) .
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x∈X