Canoni ritmici a mosaico

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
Dimostrazione: Consideriamo il reticolo L = {BX | X ∈ Z n }. Poiché det(L) =
det(B) = 1 e vol(C) = 2 n , possiamo applicare il Lattice Point Theorem, esiste
quindi un punto P, diverso dall’origine, tale che P ∈ L ∩ C. Sia X ∈ Z n il vettore
delle coordinate di P su L, allora X non è nullo e BX ∈ C.
La risposta al Problema 3.2.4 è quindi positiva se ne indeboliamo la richiesta:
il vettore X ∈ Z n potrebbe individuare un punto P = BX che non si trova nella
parte interna del cubo C, ma sulla sua frontiera ∂C (come si vedrà anche in alcuni
esempi).
Possiamo ora enunciare la soluzione del Problema 3.2.3:
3.2.9 Teorema (Minkowski). Per ogni insieme di n + 1 numeri reali a1, . . . , an, t ∈ R
con t > 1, esistono n + 1 numeri interi x1, . . . , xn, y ∈ Z tali che
0 < y ≤ t n e | ai − xi
y
Dimostrazione:
Consideriamo la matrice reale n + 1 × n + 1
⎛
t 0 . . . 0 −a1t
0 t . . . 0 −a2t
A = .
. .. .
⎜⎝
0 0 . . . t −ant
0 0 . . . 0 1/tn ⎞
⎟⎠
qed
1
|≤ , per ogni i = 1, . . . , n. (∗)
ty
Per il teorema 3.2.8, esiste un vettore non nullo X = (x1, . . . , xn, y) a coordinate
intere tale che AX ∈ C = [−1, 1] n+1 , cioè valgono le seguenti disuguaglianze:
| x1 − ya1 | t ≤ 1
| x2 − ya2 | t ≤ 1
.
| xn − yan | t ≤ 1
| y/t n | ≤ 1
Se fosse y = 0, poiché t > 1, le prime n disequazioni implicherebbero che xi = 0
per ogni i = 1, . . . , n, cioè X sarebbe il vettore nullo, assurdo, quindi y 0. Inoltre,
poiché anche il reticolo L = {AX | X ∈ Z n+1 } è centralmente simmetrico rispetto
all’origine, se X ∈ L ∩ C anche −X ∈ L ∩ C, possiamo quindi assumere y > 0.
Allora il precedente sistema di disuguaglianze, unito ad y > 0, diventa esattamente
(∗), cioè la tesi.
Nelle ipotesi del teorema 3.2.9 abbiamo quindi due possibilità:
47
qed