Canoni ritmici a mosaico

B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione
3. il gruppo affine Aff n = { f : x ↦→ ax + b | a ∈ Z ∗ n, b ∈ Zn} < Sn, dove Z ∗ n è
l’insieme delle unità di Zn (cfr esempio B.12).
Come si evince dalla terminologia musicale utilizzata nei primi due casi, tali
gruppi di permutazioni sono spesso utilizzati in un contesto tonale, piuttosto che
ritmico, a patto di considerare un temperamento equabile, nel quale cioè la proporzione
tra le frequenze di due note successive della scala cromatica è costante.
Nella musica occidentale, ad esempio, la scala cromatica è composta da 12 note
(fig. B.1) e la proporzione tra le frequenze di due note successive è 12√ 2 : scompare
la differenza tra semitono diatonico e semitono cromatico del temperamento
naturale.
Figura B.1: scala cromatica occidentale
In quest’ottica Z/nZ è il modello utilizzato per esprimere la ciclicità tonale
della scala cromatica, ed i sottoinsiemi di Z/nZ, a meno di traslazione, vengono
chiamati accordi (talvolta anche modi); ad esempio l’accordo semidiminuito e la
scala maggiore vengono rappresentati dai diagrammi di Krenek nelle figure B.2 e
B.3, rispettivamente.
Utilizzando la teoria enumerativa di Pólya (appendice B), ci proponiamo di
contare il numero di accordi, o di ritmi, di periodo e cardinalità fissata.
Iniziamo quindi considerando l’azione di Z/nZ su sé stesso e l’azione indotta
su P(Z/nZ) come descritto negli esempi B.8 e B.13.
Figura B.2: do-7(♭5) Figura B.3: scala maggiore di do
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