Canoni ritmici a mosaico

Appendice B
Algebra combinatoria e teoria
musicale
In questa appendice vogliamo mostrare un utilizzo della teoria enumerativa di
Pólya in ambito musicale per la classificazione degli accordi (che si vedrà nella
sezione B.2) e dei ritmi (utilizzata nella stesura dei cataloghi nell’appendice C).
Sottolineiamo il fatto che la struttura di gruppo ciclico è adatta alla rappresentazione
e allo studio della parte ritmica delle composizioni tanto quanto alla parte tonale
(e in realtà anche a quella espressiva, ma non ci addentreremo in quest’ultimo
studio).
B.1 La teoria di Pólya
Indichiamo con G un gruppo, con X un insieme e con
il gruppo delle permutazioni di X.
SX = { f : X → X | f è bigettiva }
B.1 Definizione. Un’azione di G su X è un omomorfismo di gruppi
L’azione è fedele se ker(α) = {e}.
α : G −→ SX .
Nel seguito considereremo solo azioni fedeli, identifichiamo quindi G con la
sua immagine α(G) < SX e scriviamo gx invece di g(x). In particolare, se X è finito,
e G agisce su X, allora anche G è finito.
B.2 Definizione. Data un’azione di G su X, chiamiamo
Gx := {gx | g ∈ G} l’orbita di x ∈ X;
Gx := {g ∈ G | gx = x} lo stabilizzatore di x ∈ X;
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