Canoni ritmici a mosaico

5.1 Operazioni sui canoni
5.1.5 Definizione. La k-concatenazione del canone ritmico A ⊕ B = Z/nZ è il
canone ritmico:
(A ⊕ {0, n, 2n, . . . , (k − 1)n}) ⊕ B = Z/(kn)Z.
Si dice anche che (A ⊕ {0, n, 2n, . . . , (k − 1)n}) ⊕ B è ottenuto per concatenazione da
A ⊕ B.
Si vede facilmente che la precedente definizione è ben posta:
per ogni z ∈ Z e per ogni r = s + tk, con 0 ≤ s < k, si ha
z = a + b + rn ⇔ z = (a + sn) + b + t(kn) .
5.1.6 Definizione. Diciamo che il canone A ⊕ B = Z/nZ verifica la condizione (T2)
se almeno uno tra i ritmi A e B la verifica.
Diciamo che il canone A ⊕ B = Z/nZ è spettrale se almeno uno tra i ritmi A e B lo
è.
Osserviamo trivialmente che i ritmi di un canone verificano sempre la condizione
(T1) (per il teorema 2.1.3(1) di Coven-Meyerowitz), in particolare quindi la
condizione (T1) è invariante per concatenazione.
Cosa accade alla condizione (T2)?
5.1.7 Proposizione. L’intreccio conserva la condizione (T2).
Dimostrazione: Sia A = k−1
i=0 (i + kAi) il ritmo interno dell’intreccio di k canoni di
ritmo interno Ai e di medesimo ritmo esterno B. Se B verifica (T2), la verifica anche
kB (lemma 2.1.11(2)), quindi non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo che B non
verifichi (T2), allora ogni Ai la verifica. Procediamo per induzione sul numero di
primi (non necessariamente distinti) che dividono k.
1. Se k = p primo, la tesi segue immediatamente dal lemma 2.1.13(5).
2. Sia k = pk ′ , quindi I = {1, . . . , k} = {1, . . . , k ′ } ∪ {k ′ + 1, . . . , 2k ′ } ∪ . . . ∪ {(p −
1)k ′ , . . . , pk ′ } = I1 ∪ . . . ∪ Ip. Consideriamo i canoni di ritmo interno A ′ j =
i∈I j (i + k′ Ai) e medesimo ritmo esterno B ′ = k ′ B, allora A k−1 i=0 (i + kAi) =
p i=0 (i + pA′ i ) e kB = pB′ , quindi, per ipotesi induttiva, se gli Ai verificano
(T2), anche A la verifica.
5.1.8 Proposizione. La concatenazione conserva la condizione (T2).
Dimostrazione: Chiamiamo ∆k := {0, . . . , k − 1}. Osserviamo che
{0, n, 2n, . . . , (k − 1)n}(x) = (n∆k)(x) = ∆k(x n ) = xkn − 1
x n − 1 =
69
d|kn, d∤n
Φd(x) ,
qed