Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3. Canoni di Vuza
non esistono altre possibilità, infatti, se per assurdo avessimo kmn1 | h e knm1 | h,
allora h = αkmn1 = βknm1, quindi αm2 = βn2, e poiché (n2, m2) = 1 seguirebbe
α = n2 e β = m2 quindi h = N, assurdo.
Sappiamo quindi ora che esistono canoni di Vuza di periodo N = nmk, come
nelle ipotesi del teorema 3.1.8 di Vuza. Il risultato che segue stabilisce esplicitamente
quali sono i periodi non contemplati nel precedente teorema.
3.1.9 Teorema. Siano
• V := {N ∈ N | N = nmk, con (n, m) = 1, n = n1n2, m = m1m2, ni, mi, k > 1}
l’insieme dei naturali che soddisfano le ipotesi del teorema di Vuza, ed
• H = {p α , p α q, p 2 q 2 , pqr, p 2 qr, pqrs : α ∈ N, p, q, r, s primi distinti};
allora N ∗ := {n ∈ N | n > 0} è unione disgiunta di V ed H.
Dimostrazione:
Indichiamo con V c = N ∗ \ V e con H c = N ∗ \ H, basta allora dimostrare le due
inclusioni H ⊂ V c e H c ⊂ V.
H ⊂ V c : Per ogni x ∈ V esistono n1, n2, m1, m2 ∈ N ∗ con (n1n2, m1m2) = 1 ed
n1n2m1m2 | x , proprietà non verificata dagli elementi di H di tipo p α e p α q, con
p, q primi ed α ∈ N . Inoltre, per ogni x ∈ V esistono n1, n2, m1, m2, k ∈ N ∗ tali che
n1n2m1m2k | x , proprietà non verificata dai restanti elementi di H, quelli di tipo
p 2 q 2 , pqr, p 2 qr e pqrs , con p, q, r, s primi.
H c ⊂ V : Sia x = p α1
1 pα2
2 . . . pαh
h ∈ H c , con p1, p2, . . . , ph primi distinti. Dividiamo
in casi, secondo il numero h ≥ 1 dei primi che dividono x .
h = 1 : Non è possibile perché x H.
h = 2 : Poiché x H, si ha che α1 ≥ 3 ed α2 ≥ 2 (o viceversa), quindi basta
considerare (n, m, k) = (p2 1 , pα2 ).
2
, pα1−2
1
h = 3 : Poiché x H, si ha, a meno di permutare i fattori, che:
– α1 = 2, α2 ≥ 2 ed α3 ≥ 1, oppure
– α1 ≥ 3, α2 ≥ 1 e sempre α3 ≥ 1,
in entrambi i casi basta considerare (m, n, k) = (p α1
1
, pα2
2 , pα3
3 ).
h = 4 : Poiché x H, α1 + α2 + α3 + α4 ≥ 5, supponiamo α1 ≥ 2, quindi
basta considerare (n, m, k) = (p α1
1 pα2
2 , pα3
3 pα4
4 , p1 )
h > 4 : Basta considerare (n, m, k) = (p α1
40
1 pα2
2 , pα3
3 pα4
4 , pα5
5 ).
qed
qed