Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 4. Congettura spettrale
dove g(x) = g(x) indica la funzione complessa coniugata di g.
Una base ortogonale di L 2 (Ω) è un suo sottoinsieme B = { fλ}λ∈Λ tale che
1. 〈 fλ, fµ〉Ω 0 ⇔ λ = µ (ortogonalità) e
2. per ogni g ∈ L 2 (Ω) si ha che g(x) = λ∈Λ〈g, fλ〉Ω fλ(x) (completezza).
Un risultato classico di analisi funzionale è che qualsiasi base ortogonale di
L 2 (Ω) ha al più una infinità numerabile di elementi (cfr [1]), è quindi ben posta la
seguente:
4.1.2 Definizione. Sia eλ(x) la funzione esponenziale complessa e 2πi〈λ,x〉 . Λ =
{λk}k∈Z ⊂ R n è uno spettro per Ω ⊂ R n se l’insieme delle funzioni a valori complessi
BΛ := {eλ(x)}λ∈Λ è una base ortogonale di L 2 (Ω).
In tal caso Ω è un insieme spettrale e la coppia (Ω, Λ) si dice coppia spettrale.
Osserviamo che la proprietà di essere uno spettro è invariante per traslazioni:
se (Ω, Λ) è una coppia spettrale, e t ∈ R n , allora (Ω, t + Λ) è una coppia spettrale.
Si verifica infatti che BΛ = {eλ+t}λ∈Λ è una base ortogonale di L 2 (Ω):
1. ortogonalità:
〈eλ+t, eµ+t〉Ω =
e
Ω
2πi〈λ+t,x〉 e −2πi〈µ+t,x〉 dx =
quindi 〈eλ+t, eµ+t〉Ω = 0 ⇔ λ = µ ⇔ λ + t = µ + t ;
2. completezza:
notiamo innanzitutto che
e che
Ω
e 2πi〈λ+t−µ−t,x〉 dx = 〈eλ, eµ〉Ω ,
eλ+t(x) = e 2πi〈λ+t,x〉 = e 2πi〈λ,x〉 e 2πi〈t,x〉 = eλ(x)et(x)
〈 f, eλ+t〉Ω =
Ω
f (x) et(x) eλ(x) dx = 〈 f et, eλ〉Ω,
quindi
〈 f, eλ+t〉Ω eλ+t = 〈 f et, eλ〉Ω eλ(x)et(x) =
λ∈Λ
λ∈Λ
et(x) 〈 f et, eλ〉Ω eλ(x) = et(x) f (x)et(x) = f (x).
λ∈Λ
Possiamo quindi assumere senza perdita di generalità che uno spettro contenga
sempre l’origine 0 ∈ R n .
Richiamiamo ora la definizione di tassellazione di uno spazio euclideo introdotta
nella sezione 3.2.
Definizione (3.2.10). Ω ⊂ R n tassella R n per traslazioni se esiste un insieme discreto
T ⊂ R n tale che
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