Canoni ritmici a mosaico

Appendice A. Polinomi ciclotomici
3. Φn(x) è il polinomio minimo di ζn su Q (e quindi su Z, vedi punto 2).
4. Φd(x) = o(ζ)=d(x − ζ)
5. deg Φn = φ(n)
6. x n − 1 = d|n Φd(x), e quindi ∆n(x) := 1 + x + . . . + x n−1 = d|n, d1 Φd(x)
A.2 Osservazione. deg Φn(x) è pari se e solo se n > 2.
Infatti, Φ1(x) = 1 − x, Φ2(x) = 1 + x, e se n = p α1
1 pα2
2
che è pari.
deg Φn(x) = φ(n) = p α1−1
1
. . . pαn
n ≥ 3, si ha:
(p1 − 1)p α2−1
(p2 − 1) . . . p αn−1
(pn − 1)
A.3 Definizione. Dato un polinomio a coefficienti interi
f (x) = a0 + a1x + . . . + anx n ∈ Z[x],
chiamiamo contenuto del polinomio il massimo comun divisore dei suoi coefficienti:
cont f (x) := MCD{ a0, a1, . . . , an}
A.4 Proposizione.
Siano p primo ed n ∈ N, allora:
1. Φp(x) = 1 + x + x 2 + . . . + x p−1 .
2. n = p α1
1 pα2
2 . . . pαn
2
n , pi primo ∀i = 1, . . . , n ⇒ Φn(x) = Φp1...pn (xpα 1−1 1
3. n dispari > 1 ⇒ Φ2n(x) = Φn(−x).
4. Φn(x p
Φpn(x) ⇔ p | n
) =
Φn(x) Φpn(x) ⇔ p ∤ n
5. Φn(1) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 ⇔ n = 1
p ⇔ n = p α
1 altrimenti
n
...p αn−1
n ).
6. Sia m un intero positivo e sia k := max { d | m : (d, n) = 1}, allora, ponendo
m = hk, si ha:
Φn(x m ) =
Φdn(x).
d|m, h|d
In particolare, se (m, n) = 1 si ha: Φn(x m ) = d|m Φdn(x).
7. Siano A(x) ∈ Z[x], Â(x) := A(xp ), RA ed RÂ come nella definizione 2.1.2,
allora
RÂ = pRA ∪ {n ∈ RA : p ∤ n}.
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