Canoni ritmici a mosaico

Appendice B. Algebra combinatoria e teoria musicale
dato da
ψ(m) = (m mod p α1
1 , . . . , m mod pαk
k ) = (ψ1(m), . . . , ψk(m)).
Esso induce l’isomorfismo
dato,per f (x) = ax + b, da:
Ψ : Aff n Aff p α 1
1
× . . . × Aff p α k
k
Ψ( f )(x) = ψ(a)x + ψ(b) = (a mod p αi
i )x + (b mod pαi
i ) k
i=1
Il ciclindice dell’azione di Aff n su Zn è quindi il ciclindice dell’azione di k i=1 Aff α
p i
i
su k i=1 Z α
p i , cioè:
i
dove PAff p α i
i
PAff n (z1 . . . , zn) =
k
i=1
PAff p α i
i
(z1 . . . , z α
p i )
i
(z1 . . . , z α
p i ) è il ciclindice dell’azione di Aff α
i
p i
i
su Z α
p i .
i
B.13 Esempio. Osserviamo che dato un insieme X, esiste una funzione biunivoca
P(X) ↔ {0, 1} X
A ↦→ χ A
f −1 (1) ← f
dove χA è la funzione caratteristica di A ( χA(x) = 1 ⇔ x ∈ A).
Una azione G < SX su X induce quindi l’azione G < SP(X), tale che gA = {ga |
a ∈ A}. Consideriamo ora la funzione peso W : Y = {0, 1} → Q[z] tale che W : 0 ↦→ 1
ed 1 ↦→ z, allora risulta definita la funzione peso su P(X) w(A) = z |A| costante sulle
orbite (g è biunivoca!) ed il teorema di Pólya diventa,
IG \\P(X) = z |A| = PG(zi = 1 + z i ) .
Ω∈G \\P(X)
B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione
In questa sezione ci occupiamo dell’azione su P(Z/nZ) (cfr esempio B.13) dei
seguenti gruppi di permutazioni:
1. il gruppo delle rotazioni, o trasposizioni, Zn 〈τ〉, dove τ = (1, 2, . . . , n) ∈ Sn
(cfr esempio B.8);
2. il gruppo diedrale Dn = 〈τ, σ〉, dove σ ∈ Sn è l’inversione definita da
n−1 n+3 n+1
(1, n)(2, n − 1) . . . (
σ =
2 , 2 )( 2 ) se n è dispari
(1, n)(2, n − 1) . . . ( n n
2 , 2 + 1) se n è pari
(cfr esempio B.9);
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