Canoni ritmici a mosaico

3.2 La congettura di Minkowski e il teorema di Hajós
2. Il fatto che i cubi si intersecano al più nella frontiera significa che un parallelepipedo
può appartenere ad un solo cubo, cioè, se h, h ′ ∈ H ed ki, k ′ i ∈
{0, . . . , mi − 1}, i = 1, . . . , n, si ha:
h +
n
kiai = h ′ +
i=1
n
k ′ iai ⇒ h = h ′ e ki = k ′ i per ogni i = 1, . . . , n (∗∗)
i=1
3. Dire che due cubi condividono una faccia, significa che il reticolo è formato
da tubi (a sezione ipercubica) lungo la direzione ortogonale a tale faccia,
diciamo l’i-esima. In particolare quindi H contiene l’i-esimo vettore della
base canonica, cioè:
∃ i ∈ {1, . . . , n} tale che miai = ei ∈ H (∗ ∗ ∗)
Consideriamo ora il gruppo quoziente G/H e definiamo, al variare di i = 1, . . . , n,
gli insiemi
Ai := {0, ai, . . . , (mi − 1)ai} ⊂ G/H.
Le condizioni (∗) ed (∗∗) equivalgono a:
e la (∗ ∗ ∗) equivale a:
G/H = A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An
∃ i tale che miai = 0 .
La congettura di Minkowski in questo modo diventa il
3.2.14 Teorema (Hajós).
Sia G un gruppo abeliano finito e siano a1, . . . , an n elementi di G.
Poniamo Ai := {0, ai, 2ai, . . . (mi − 1)ai}, con mi intero positivo per ogni i = 1, . . . , n.
Se
G = A1 ⊕ . . . ⊕ An
allora uno dei fattori Ai è un gruppo, cioè esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che miai = 0,
cioè Ai è periodico.
Hajós ha dimostrato questo teorema in [29].
Per lo studio dei canoni ritmici possiamo limitarci a darne una dimostrazione nel
caso in cui G sia un gruppo ciclico.
Dimostrazione (G = Z/mZ):
Per ipotesi,
Z/mZ = A1 ⊕ . . . ⊕ An
con Ai := {0, ai, 2ai, . . . (mi − 1)ai} per ogni i = 1, . . . , n.
Tradotto in termini di polinomi diventa:
∆m(x) ≡
n
i=1
∆mi (xai ) ( mod x m − 1),
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