Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 1. I modelli algebrici
1.2.17 Problema. Dato un tassello A ⊂ N, 0 ∈ A, qual è il minimo periodo nA
possibile per un canone di ritmo interno [A]nA ?
Osserviamo innanzitutto esplicitamente che il lemma 1.2.9 implica che se A è
un tassello di periodo n, | A |=| [A]n |, cioè A è un insieme di rappresentanti distinti
modulo n, quindi sicuramente | A | divide n, in particolare | A |≤ nA.
Nel corollario 1.2.11 si osserva che il teorema di de Bruijn fornisce una limitazione
superiore per tale periodo: nA ≤ 2 l(A)−1 = 2 max A .
Quindi una prima stima è:
| A |≤ nA ≤ 2 max A .
Dividiamo ora il problema in due casi:
1. Consideriamo solo canoni di periodo n ≥ l(A), cioè per i quali A sia esattamente
l’insieme dei minimi rappresentanti non negativi delle classi di [A]n.
Abbiamo due possibilità:
• l(A) = 2 max A , che avviene se e solo se A = {0}, {0, 1}, per i quali, rispettivamente,
nA = 1, 2 =| A |= l(A), cioè è verificato il limite inferiore.
• l(A) < 2 max A .
– Per la proposizione 1.2.16, esistono tasselli che verificano il limite
inferiore nA = l(A) ≥| A |.
– Esistono anche tasselli che verificano il limite superiore, ad esempio
A = {0, 2} che ha nA = 4.
2. Consideriamo anche canoni di periodo n < l(A).
• Anche in questo caso esistono tasselli che verificano il limite inferiore
nA =| A |: sono tutti e soli gli insiemi completi di rappresentanti modulo
| A |.
• Inoltre, poiché nA < l(A), il limite superiore diventa l(A) − 2 (perché
con un periodo di l(A) − 1 = max A si avrebbe max A ≡ 0), verificato da
A = {0, 3}, e coincidente con il limite inferiore. Il caso generale, cioè
se esiste un tassello che verifica nA = l(A) − 2 | A |, rimane aperto.
1.2.18 Esempio. In un canone ritmico, sia il ritmo esterno che il ritmo interno
possono essere sottogruppi:
oppure solo uno (cfr. teorema 3.2.14):
oppure nessuno dei due:
{0, 4, 8} ⊕ {0, 3, 6, 9} = Z/12Z,
{0, 4, 8} ⊕ {0, 1, 2, 3} = Z/12Z,
{0, 2, 4} ⊕ {0, 1, 6, 7} = Z/12Z,
in questo terzo caso, per ora, osserviamo solo che B = {0, 1, 6, 7} è periodico di
periodo 6.
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