Canoni ritmici a mosaico

B.1 La teoria di Pólya
Se G < S(X) ed una funzione peso w : X → R è costante sulle orbite, possiamo
definire il peso di un’orbita come il peso di un qualsiasi suo elemento: w(Ω) =
w(x) con x ∈ Ω. In tal caso, il prossimo lemma fornisce un modo per calcolare
l’inventario dell’insieme quoziente G \\X.
B.4 Lemma.
Sia X finito, G < SX, e w : X → R una funzione peso costante sulle orbite. Si ha:
IG \\X =
Ω∈G \\X
Dimostrazione: Basta osservare che
w(Ω) = 1
| G |
w(x) .
g∈G x∈Xg
{(g, x) | g ∈ G, x ∈ Xg} = {(g, x) | g ∈ G, x ∈ X, gx = x} = {(g, x) | x ∈ X, g ∈ Gx} ,
quindi si ha:
w(x) = w(x) = | Gx | w(x) =
x∈X
g∈G x∈Xg
| G |
= w(x) = | G |
| Gx |
x∈X g∈Gx
Ω∈G \\X x∈Ω
x∈X
w(Ω)
| Ω |
= | G |
Ω∈G \\X
w(Ω) .
Il lemma B.4 è la versione “pesata” del lemma di Cauchy-Frobenius (o di
Burnside):
B.5 Lemma (Cauchy-Frobenius).
Sia X finito e G < SX. Si ha:
| G \\X |= 1
| Xg | .
| G |
g∈G
Dimostrazione:
Basta considerare come funzione peso la funzione costantemente 1 ed applicare il
lemma B.4.
B.6 Definizione. Data un’azione di G su X finito, si chiama ciclindice il polinomio
PG (z) := 1
| G |
g∈G
z λ(g) = 1
| G |
|X|
g∈G i=1
z λi(g)
i
dove λ(g) = (λ1(g), . . . , λ|X|(g)) è il tipo di g e z = (z1, . . . , z|X|).
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