Canoni ritmici a mosaico

B.2 Trasposizione, inversione, aumentazione
Sia n = p α1
1 . . . pα1
1 , allora il numero di classi di accordi di cardinalità k fissata,
a meno di inversione, è il coefficiente di zk nel polinomio (lemma B.11):
dove PAff p α i
i
IAff n \\P(Zn)(z) =
k
i=1
PAff α (zi = 1 + z
p i
i
i , i = 1, . . . , p αi
i )
(z1 . . . , z α
p i ) è il ciclindice (def. B.6) dell’azione di Aff α
i
p i
i
è definito in B.10.
Ad esempio, per n = 12 si ha:
su Z p α i
i
IAff 12 \\P(Z12)(z1, . . . , z12) = PAff 4 (zi = 1 + z i , i = 1, . . . , 4) ⊙ PAff 3 (zi = 1 + z i , i = 1, 2, 3)
Calcoliamo i fattori del prodotto ⊙:
1. PAff 4 (z1, . . . , z4) = 1
4φ(4)
f ∈Aff 4
4i=1 z λi( f )
i
= 1
8 (z4 1 + 3z2 2 + 2z4 + 2z 2 1 z2), e
2. PAff (z1, z2, z3) = 3 1 3i=1 3φ(3) f ∈Aff z 3
λi( f )
i = 1
6 (z3 1 + 2z3 + 3z1z2).
Allora
PAff (z1, . . . , z12) = 12 1
4
(z1 + 3z
48
2 2 + 2z4 + 2z 2 1z2) ⊙ (z 3 1 + 2z3 + 3z1z2) =
1
12
z1 48
+ 12z6 2 + 2z4 3 + 8z3 4 + 6z2 6 + 4z12 + 2z 6 1z3 2 + 3z4 1z4 2 + 6z2 1z5 2 + 4z2 3z6
e sostituendo zi con 1 + zi si ha:
12 2 6 3 4
(1 + z) + 12(1 + z ) + 2(1 + z ) +
IAff 12 \\P(Z12)(zi = 1 + z i ) = 1
48
+8(1 + z 4 ) 3 + 6(1 + z 6 ) 2 + 4(1 + z 12 ) + 2(1 + z) 6 (1 + z 2 ) 3 +
+3(1 + z) 4 (1 + z 2 ) 4 + 6(1 + z) 2 (1 + z 2 ) 5 + 4(1 + z 3 ) 2 (1 + z 6 ) =
= 1 + z + 5z 2 + 9z 3 + 21z 4 + 25z 5 + 34z 6 + 25z 7 + 21z 8 + 9z 9 + 5z 10 + z 11 + z 12
Si ottiene quindi il seguente catalogo delle orbite affini nel caso della divisione
dell’ottava in 12 parti uguali:
cardinalità 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
numero accordi 1 1 5 9 21 25 34 25 21 9 5 1 1
La figura B.4 mostra l’architettura “paradigmatica” nella quale i tre gruppi
evocati precedentemente (ciclico, diedrale e affine) permettono di analizzare gli
accordi di un brano musicale riconducendoli ad uno dei tre cataloghi di base.
L’approccio paradigmatico può essere generalizzato con l’aggiunta di altri gruppi,
come per esempio il gruppo simmetrico Sn in figura B.4, la cui azione sulle
strutture intervallari permette di ridurre il catalogo degli accordi a 77 rappresentanti.
Questo catalogo, introdotto dal compositore messicano Julio Estrada,
equivalente all’insieme delle 77 partizioni di 12. L’algebra combinatorica diventa
in questo modo uno strumento estremamente versatile per la teoria, l’analisi e la
composizione assistita su calcolatore.
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e ⊙