Canoni ritmici a mosaico

2.1 Il teorema di Coven-Meyerowitz
Dimostrazione:
Poiché per ogni d | n, d > 1, si ha Φd(x) | A(x)B(x), allora S ⊂ S A ∪ S B.
A(1) ≤ s∈S A Φs(1) e B(1) ≤ t∈S B Φt(1), quindi
n = A(1)B(1) ≤ Φs(1) Φt(1) ≤ Φs(1) = n
s∈S A
t∈S B
L’ultima uguaglianza segue dalla proposizione A.4, punto 5. Quindi
1. A(1)B(1) = s∈S A Φs(1) t∈S B Φt(1), che implica A(1) = s∈S A Φs(1) e B(1) =
t∈S B Φt(1).
2. s∈S A Φs(1) t∈S B Φt(1) = s∈S Φs(1), quindi S A ∪ S B ⊂ S e S A ∩ S B = ∅.
Possiamo ora completare la
Dimostrazione (2): Poiché A tassella, per il teorema di de Bruijn (teorema 1.2.8)
ed il lemma 2.1.5, esiste B ⊂ Z finito tale che A e B verificano la condizione (T0)
del lemma 2.1.5, quindi, per l’osservazione 2.1.7, A(x) e B(x) verificano le ipotesi
del lemma 2.1.8, in particolare A verifica la condizione (T1).
Osserviamo che non vale il viceversa del teorema (2), cioè la condizione (T1)
non è sufficiente affinché A tasselli. Consideriamo ad esempio l’insieme
s∈S
A = {0, 1, 2, 4, 5, 6} = 1 1 1 0 1 1 1,
A chiaramente non tassella, il suo polinomio associato è
A(x) = 1 + x + x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = (1 + x + x 2 )(1 + x 4 ) = Φ3(x)Φ8(x),
S A = {23 , 3}, quindi A verifica la condizione (T1):
A(1) = 6 = 2 · 3 = p .
p α ∈S A
Prima di dimostrare anche il terzo punto del teorema di Coven-Meyerowitz,
vediamo che la proprietà di tassellazione è invariante per trasformazioni affini.
2.1.9 Teorema. Sia A ⊂ N finito. Per ogni t ∈ Z e k ∈ N si ha:
A tassella ⇔ kA + t tassella
Dimostrazione: Per l’invarianza per trazlazioni della proprietà di tassellazione
(osservazione 1.2.12), basta dimostrare che
A tassella ⇔ kA tassella
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