Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 4. Congettura spettrale
=
C
n
e 2πi(λ j−µ j)x j (
dx = 3)
j=1
n
j=1
n
⎧
⎪⎨ 1 se λ j = µ j
⎪⎩
se λ j µ j
j=1
e 2πi(λ j −µ j ) −1
2πi(λ j−µ j)
poiché e 2πi(λ j−µ j) = 1 per λ j − µ j ∈ Z.
1
0
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
e 2πi(λ j−µ j)x j dx j =
1 se λ = µ
0 se λ µ
Come si vede, l’insieme BZn è non solo ortogonale ma anche ortonormale. Inoltre
un risultato classico della teoria di Fourier stabilisce che BZn è completo in L2 (C),
ne è quindi una base ortonormale.
Quindi Zn è contemporaneamente uno spettro ed un insieme di traslazione per C.
Siamo pronti per enunciare la
4.1.6 Congettura (Fuglede).
Ω ⊂ R n è spettrale se e solo se tassella R n per traslazioni.
La congettura è stata dimostrata in alcuni casi particolari, se:
1. lo spettro e l’insieme di traslazione di Ω sono reticoli (Fuglede, [27]).
2. Ω ⊂ R 2 è un dominio convesso (Iosevich, Katz e Tao, [35]).
3. Ω ⊂ [0, L] ⊂ R, m(Ω) = 1, L < 3/2 (Koluntzakis e Łaba, [39]).
4. Ω = (a, b) ∪ (c, d) ⊂ R (Łaba, [44]).
È stata inoltre confutata per n ≥ 3 (Tao, [75], Matolcsi, [49], e Koluntzakis e
Matolcsi, [40]).
Una implicazione è tuttavia ancora aperta in tutte le dimensioni: non ci sono
fino ad ora esempi di tassellazioni con insiemi non spettrali (cfr [49]).
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
Il legame della congettura spettrale con i canoni ritmici nasce dalla semplice osservazione
che i canoni ritmici generano tassellazioni della retta reale, infatti:
un insieme finito di naturali A ⊂ N, con 0 ∈ A, tassella Z, e quindi è il ritmo interno
di un canone, se e solo se A + [0, 1] tassella R.
Nasce quindi l’esigenza di capire cosa significa che l’insieme Ω = A + [0, 1], con
0 ∈ A ⊂ N finito, sia spettrale. Si ha la seguente
4.2.1 Proposizione. Sia Ω = A + [0, 1], con 0 ∈ A ⊂ N finito.
Se Ω ha uno spettro Λ allora esiste un insieme Γ ⊂ [0, 1), 0 ∈ Γ, tale che
1. Λ = Γ ⊕ Z,
3 per il teorema di Fubini
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