Canoni ritmici a mosaico

2. | Γ |=| A | e
4.2 La congettura spettrale ed i canoni ritmici a mosaico
3. per ogni γ, µ ∈ Γ, con γ µ, il numero complesso e 2πi(γ−µ) è una radice del
polinomio A(x) associato ad A (cfr 1.3.1).
Dimostrazione:
Per invarianza per traslazioni abbiamo assunto che 0 ∈ Λ.
Consideriamo l’insieme Λ + Z di tutte le classi laterali modulo Z degli elementi di
Λ. Per ogni classe esiste uno ed un solo rappresentante in [0, 1), sia Γ l’insieme di
tali rappresentanti. Γ sarà l’insieme richiesto.
Poiché 0 ∈ Λ, chiaramente 0 ∈ Γ, rimangono quindi da dimostrare i punti 1, 2 e 3.
Cominciamo a dimostrare il primo.
Per definizione di Γ, si ha che Λ ⊂ Γ ⊕ Z, dimostriamo ora il viceversa.
Fissiamo un µ ∈ Λ e sia I = [0, 1], consideriamo l’insieme
ΛI := {λ ∈ Λ − µ | eλdx = 0} ∪ {0} .
Per il teorema 2.3.1 di [38] l’insieme {eλ}λ∈ΛI è completo in L2 (I).
Inoltre, se λ 0, si ha
I
eλdx = e2πiλ − 1
2πiλ
I
= 0 ⇔ λ ∈ Z − {0} ,
quindi ΛI ⊂ Z.
Poiché Z stesso è uno spettro per I, in particolare {ez}z∈Z è completo, quindi necessariamente
ΛI = Z. Il punto 1 della tesi segue facilmente:
∀µ ∈ Λ, µ + Z = µ + ΛI ⊂ Λ ⇒ Γ ⊕ Z = Λ + Z ⊂ Λ.
Dimostriamo ora una formula che tornerà utile nel seguito.
Siano λ, µ ∈ Rn , si ha:
⎧
⎪⎨ | A | se λ = µ
〈eλ, eµ〉Ω = ⎪⎩ e2πi(λ−µ) 2πi(λ−µ) A(e2πi(λ−µ) ) se λ µ
Basta svolgere il conto (analogo a quello fatto nell’esempio 4.1.5):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
〈eλ, eµ〉Ω =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a∈A
Ω
e 2πi(λ−µ)x
dx =
a∈A
a+1
1 se λ = µ
e 2πi(λ−µ) −1
2πi(λ−µ) e2πi(λ−µ)a se λ µ
a
e 2πi(λ−µ)x dx =
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
| A | se λ = µ
e 2πi(λ−µ)
2πi(λ−µ)
a∈A e 2πi(λ−µ)a = e2πi(λ−µ)
2πi(λ−µ) A(e2πi(λ−µ) ) se λ µ
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(∗)