Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 1. I modelli algebrici
Abbiamo quindi un modello algebrico dei canoni ritmici a mosaico musicali:
gli interi rappresentano i battiti (beat) del tempo metronomico (un tempo quindi
discretizzato), l’insieme A rappresenta il motivo, o pattern, ritmico che viene ripetuto
ciclicamente, con periodo n, da un numero di voci (interpretate da musicisti
diversi o da uno solo, ad esempio un batterista) pari alla cardinalità dell’insieme B,
che rappresenta, appunto, l’insieme delle entrate delle varie voci. I canoni ritmici
a mosaico sono anche detti regolari, poiché il tempo è scandito da battiti regolari,
e complementari, poiché in ogni battito è presente una ed una sola voce 5 .
Poiché in questa tesi ci occuperemo solo di canoni ritmici a mosaico, ci riferiremo
ad essi anche solo con “canoni ritmici”, “canoni a mosaico”, o semplicemente
“canoni”.
Possiamo ora già dare una condizione necessaria affinché un ritmo possa essere
ritmo interno di un canone:
Z/nZ = A ⊕ B ⇒| A || B |= n, in particolare | A | divide il periodo n del canone.
Nel caso della samba brasiliana S = {0, 2, 5, 7, 9, 12, 14} (mod 16), abbiamo visto
che non esiste un canone ritmico che abbia S come ritmo interno utilizzando
proprio il fatto che 7 ∤ 16.
Osserviamo che la commutatività dell’addizione nel gruppo ciclico Z/nZ rende
la definizione di canone ritmico simmetrica nei ritmi interno ed esterno (ed infatti
sono entrambi dei ritmi):
se Z/nZ = A ⊕ B è un canone ritmico, anche Z/nZ = B ⊕ A lo è.
Quale sia il ritmo interno e quale il ritmo esterno dipende unicamente dall’ordine
di scrittura, ed in effetti si definisce:
1.1.5 Definizione. Dato un canone a mosaico Z/nZ = A ⊕ B, il canone Z/nZ =
B ⊕ A si dice canone duale, o ottenuto da esso per dualità.
1.2 Canoni ritmici e tassellazioni degli interi
La teoria dei canoni ritmici si intreccia con la teoria delle tassellazioni, per motivi
storici, come vedremo nella sezione 3.2, e concettuali, come vedremo ora, e anche
nella sezione 4.2.
Cominciamo con qualche definizione.
1.2.1 Definizione. Un insieme A ⊂ Z tassella se esiste un insieme B ⊂ Z tale che
A ⊕ B = Z
e tale fattorizzazione viene detta tassellazione.
Se A tassella si dice, equivalentemente, che A è un tassello o che ha la proprietà di
tassellazione.
5 Benché l’espressione “canone regolare complementare” sia utilizzata in molti studi di teoria
musicale, preferiamo “canone a mosaico” che descrive meglio - a nostro avviso - la natura algebricogeometrica
di queste strutture musicali (si veda, in particolare, la sezione 1.2).
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