Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 3. Canoni di Vuza
piccola perturbazione dei vettori della base del reticolo di un ricoprimento reticolare
a cubi non ne altera la proprietà di essere un controesempio per la congettura
di Minkowski.
Consideriamo gli iperpiani di giacenza delle facce dei cubi. Poiché le coordinate
degli elementi del reticolo sono razionali, ogni cubo è diviso da tali iperpiani in
un numero finito di parallelepipedi n-dimensionali, diciamo mi per l’i-esima coordinata,
i = 1, . . . , n, come si vede in Figura 3.10 (n = 2, m1 = 1, m2 = 3) ed in Figura
3.11 (n = 3, m1 = m2 = 3, m3 = 1).
Figura 3.10
∈ H
, ∈ G
Figura 3.11
Considerando i vertici di minor coordinate di tali parallalapipedi, otteniamo
un reticolo G di cui H è sottogruppo. Nelle Figure 3.10 e 3.11 i dischi neri indicano
i punti del reticolo G, mentre H è indicato solo dai dischi di maggior diametro.
G è anche l’insieme di traslazione del ricoprimento reticolare formato dai
parallelepipedi.
Poiché H contiene l’origine e gli spigoli dei cubi sono paralleli agli assi, esiste
una base {a1, . . . , an} del reticolo G formata da sottomultipli interi della base canonica
{e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)}, cioè tale che
miai = ei per ogni i = 1, . . . , n,
dove, ricordiamo, mi é il numero di (iper)fette in cui viene diviso ogni cubo lungo
l’i-esima coordinata.
Siamo pronti per tradurre algebricamente la congettura di Minkowski.
1. Il fatto che i cubi ricoprono lo spazio implica in particolare che ogni parallelepipedo
D sta in un cubo C, cioè, indicando con g ∈ G il vertice (di minime
coordinate) di D e con h ∈ H il vertice (di minime coordinate) di C:
n
∀ g ∈ G ∃ h ∈ H, k1, . . . kn ∈ {0, . . . , mi − 1} tali che g = h + kiai (∗)
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i=1