Canoni ritmici a mosaico

Capitolo 2. Condizioni di esistenza
2.2 Esempi
In questa sezione mostriamo tre esempi interessanti di canoni ritmici.
Il primo esempio mostra come applicare il teorema di Coven-Meyerowitz per dimostrare
che un ritmo non tassella.
Il secondo ed il terzo esempio seguono una stessa filosofia, che andiamo ad illustrare.
Un semplice algoritmo per costruire canoni ritmici di periodo n utilizza
l’osservazione 2.1.7, e consiste nei seguenti passi:
1. Considerare la fattorizzazione di ∆n in polinomi ciclotomici.
2. Dividere tali fattori ciclotomici in due gruppi il cui prodotto faccia due polinomi
a coefficienti 0 e 1.
3. Considerare gli insiemi associati a tali prodotti (come da oss. 2.1.1).
Sorgono quindi due questioni:
• Tutti i polinomi ciclotomici che dividono A(x) dividono anche x n − 1?
• Tutti i polinomi che dividono A(x) sono ciclotomici?
Ad entrambe le domande rispondiamo negativamente attraverso degli esempi (la
prima nel secondo e la seconda nel terzo).
Dunque l’algoritmo illustrato non è esaustivo.
2.2.1 Esempio.
Consideriamo il ritmo tipico della salsa cubana, la Clave Son (Tres Dos):
C = | ˇ “‰ ˇ “‰ ˇ “ | > ˇ “ ˇ “
> | = {0, 3, 6, 10, 12} ⇒ C(x) = 1 + x 3 + x 6 + x 10 + x 12 .
Dimostriamo che C non tassella.
Supponiamo per assurdo che tasselli, allora, per la condizione (T1) di Coven-
Meyerowitz, si ha:
p = C(1) = 5 ,
p α ∈S C
quindi esiste un intero positivo α tale che S C = {5 α }.
Poiché deg (Φ5 α) = 4 × 5α−1 e deg (C) = 12, l’unica possibilità è α = 1, dunque
Φ5(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 | C(x) .
Esiste quindi un polinomio p(x) = 8 i=0 aix i tale che C(x) = p(x)Φ5(x).
Otteniamo il sistema:
grado 0: 1 = a0
grado 1: 0 = a0 + a1 = 1 + a1 ⇒ a1 = −1
grado 2: 0 = a0 + a1 + a2 = a2
grado 3: 1 = a0 + a1 + a2 + a3 = a3
grado 4: 0 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + a4 ⇒ a4 = −1
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