nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
Supplerende regnestykker til
Den specielle relativitetsteori
Poul Winther Andersen
September 2010
nr. 475 - 2010

Roskilde University,
Department of Science, Systems and Models, IMFUFA
P.O. Box 260, DK - 4000 Roskilde
Tel: 4674 2263 Fax: 4674 3020
Supplerende regnestykker til
Den specielle relativitetsteori
Af: Poul Winther Andersen
IMFUFA tekst nr. 475/ 2010 – 167 sider – ISSN: 0106-6242
Denne tekst består af et sæt noter omhandlende den specielle relativitetsteori. Noterne er
tænkt anvendt sammen med en bred calculusbaseret fysikbog på collegeniveau. Der er altså
ikke tale om en lærebog, men om et sæt noter, der supplerer en sådan bog. I noterne
gennemføres langt de fleste regnestykker ret detaljeret for derved forhåbentligt at hjælpe
læseren til hurtigere at komme frem til de ønskede resultater.
Hovedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare
kinematiske konsekvenser af Lorentztransformationen, indføring i relativistisk dynamik,
herunder relativistisk impuls og energi, den relativistiske bevægelsesligning samt en
relativistisk behandling af partikelreaktioner. Derudover gives en kort introduktion til
elektrodynamikken og Lorentzinvariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort
indføring af firevektorer, hvorunder nogle af de tidligere behandlede eksempler tages op på
ny.
Poul Winther Andersen, august 2010

Supplerende regnestykker
til
Den specielle relativitetsteori
Poul Winther Andersen
31. august 2010

Forord
Disse noter er tænkt anvendt sammen med en standardlærebog af typen
Physics for Engineers and Scientists. Ofte har disse bøger en sektion med
Modern Physics, hvori indgår et kapitel med den specielle relativitetsteori.
Behandlingen af relativitetsteorien er ofte ret kortfattet og med mange af de
lidt tungere og tidskrævende regnestykker valgt fra. Noterne her er tænkt
som et supplement til et sådant kapitel. Hovedindholdet i noterne er en
udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare konsekvenser af
Lorentztransformationen, indføring i relativistisk dynamik, herunder relativistisk
impuls og energi samt en kort introduktion til elektrodynamikken
og Lorentzinvariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort behandling
af firevektorer.
I noterne er medtaget mange mellemregninger, således at det forhåbentligt
vil være lettere og hurtigere for læseren at komme frem til de ønskede resultater.
Poul Winther Andersen
i

ii
Abstract eller ej
I stedet for et abstract følger her en del af en sang, der i 2008 er forfattet af
Flora Lopis og Max Tegmark fra Dept. of Physics, Massachusetts Institute
of Technology, Cambridge, USA. Den er offentliggjort den 1. april 2008 og
indsendt til Physical Refuse. Sangen kan synges på Yellow Submarine fra
Beatlesalbummet af samme navn (1969). Beatlessangen er fra 1966. (8.033
henviser til det kursus i relativitetsteori, som Max Tegmark har undervist i
på MIT).
SPECIAL RELATIVITY
Römer measured the speed of light,
and something basic just wasn’t right.
because Michaelson and Morley
showed that aether fit the data poorley.
We jump to 1905.
In Einstein’s brain, ideas thrive:
"The laws of nature must be the same
in every inertial frame"
We all believe in relativity, relativity, relativity.
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.
Einstein’s postulates imply
that planes are shorter when they fly.
Their clocks are slowed by time dilation,
and look warped from aberration.
Cos theta-prime is cos theta minus beta ... over one minus beta
cos theta
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.
With the Lorentz transformation
we calculate the relation
between Chris’s and Zoe’s frame,
but all invariants, they are the same.
Like B dot E and B-squared minus E-squared,
... and the rest mass squared which is E-squared minus p-squared,
’cos we all believe in relativity, 8.033, relativity.

Soon physicists had a proclivity
for using relativity.
But nukes made us all scared
because E = m c 2 .
Everything is relative, even simultaneity,
soon Einstein’s become a de facto physics deity.
’cos we all believe in relativity, 8.033, relativity.
Sangen afsluttes side I.
iii

Indhold
1 Galileitransformationen 1
1.1 Galileitransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lysets fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 de Sitters dobbeltstjerneanalyse . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Maksimalhastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Lorentztransformationen 11
2.1 Forudsætninger for Lorentztransformationen . . . . . . . . . . 11
2.2 Måling af tid og længde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Transformation af y og z: Afstande vinkelret på bevægelsesretningen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Transformation af x og t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Dobbelt Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Den generelle Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Kinematiske konsekvenser 25
3.1 Invarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Retning af lysstråle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Hastighedstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Den generelle Lorentztransformation . . . . . . . . . . 34
3.4 Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.1 Acceleration i én dimension . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Bevægelsesretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Lorentzforkortningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Volumentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8 Vinkeltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.9 Tidsforlængelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9.1 En alternativ udledning af tidsforlængelsen . . . . . . . 40
3.10 Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10.1 Aberration - klassisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
v

vi INDHOLD
3.10.2 Aberration - relativistisk . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11.1 Longitudinal Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11.2 Vilkårlig retning af lyset . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.11.3 Transversal Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Relativistisk dynamik: Indledning 49
4.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Relativistisk impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Definition af kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.2 Kraft og acceleration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.3 Newtons tredje lov? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Relativistisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Transformation af impuls og energi . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.1 Impulsen parallel med v . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.2 Impulsen i vilkårlig retning . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Transformation af kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Ækvivalensen mellem masse og energi . . . . . . . . . . . . . . 66
4.8 Lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8.1 Longitudinal Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8.2 Vilkårlig retning af lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer 73
5.1 Invarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Partikelproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Partikelhenfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 CM-system og LAB-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6.1 Massebevarelse og impulsbevarelse . . . . . . . . . . . 81
5.6.2 Massebevarelse og kinetisk energi . . . . . . . . . . . . 82
6 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen 85
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.1 Begyndelseshastighed nul . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.2 Vilkårlig begyndelseshastighed . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.3 Begyndelseshastighed vinkelret på E-felt . . . . . . . . 89
6.1.4 Acceleration af ustabil partikel . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Det skrå kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.1 Banekurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

INDHOLD vii
6.2.2 Nogle resultater for det skrå kast . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Ladet partikel i magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4 Relativistisk raket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Elektriske og magnetiske felter 107
7.1 Transformationsformlerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Konsekvenser af transformationsformlerne . . . . . . . . . . . 110
7.2.1 Invariante størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.2 Specialtilfældet E = o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.3 Specialtilfældet B = o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 Den kørende stang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4 Ladet partikel med konstant hastighed . . . . . . . . . . . . . 113
8 Invarians af Maxwells ligninger 117
8.1 Maxwells ligninger i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Ladningstæthed og strømtæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.3 Maxwells ligninger med kilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4 Bølgeligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9 Firevektorer 125
9.1 Definition af firevektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Regning med firevektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.1 Invarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Firehastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Fireacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.6 Fireimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.6.1 Definition af fireimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.6.2 Comptoneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6.3 Elastisk stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.6.4 Partikelproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.5 Partikelhenfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.7 Firekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.8 Dobbelt Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.9 Lorentztransformationen tager en drejning . . . . . . . . . . . 141
9.10 Harmonisk bølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.11 Den elektromagnetiske felttensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

viii INDHOLD

Kapitel 1
Galileitransformationen
Dette kapitel indeholder en kort repetition af Galileitransformationen. Desuden
er der eksempler på konsekvenser af Galileitransformationen i forbindelse
med lysets hastighed. Derudover ses på den klassiske behandling af acceleration
af en elektrisk ladet partikel. Disse eksempler vil vise, at der er problemer
i den klassiske mekanik, og at disse har rod i Galileitransformationen.
1.1 Galileitransformationen
I klassisk Newtonsk fysik spiller Galileitransformationen den centrale rolle
ved overgang fra et inertialsystem S til et andet inertialsystem S ′ , der bevæger
sig med den konstante hastighed v i forhold til systemet S. Se Fig. (2.1).
Ved en begivenhed A vil vi forstå angivelsen af tid og sted, dvs. talsættet
(t, x, y, z), der fortæller, at der til tiden t i punktet med koordinatsættet
(x, y, z) sker et eller andet, eller at der måles en fysisk størrelse i dette
punkt til tiden t. Den fundamentale antagelse for Galileitransformationen
er, at tiden for en begivenhed altid er den samme, hvad enten tiden måles
i inertialsystemet S eller i inertialsystemet S ′ . Desuden antages, at alle ure
i de to inertialsystemer er synkroniserede. Der er altså ingen "lokal tid".
Dermed bliver også tidsforløb mellem to begivenheder en af inertialsystemet
uafhængig størrelse. De to systemer S og S ′ antages at være sammenfaldende
til tiden t = t ′ = 0. Sammenhængen mellem tid og sted i de to inertialsystemer
er dermed
r = r ′ + t v (1.1)
t = t ′
(1.2)
hvor r er stedvektoren til et punkt angivet i systemet S og r ′ er stedvektoren
til samme punkt, men nu angivet i systemet S ′ . Heraf følger umiddelbart for
1

2 Galileitransformationen
hastighederne u = dr
dt og u ′ = d r ′
dt ′ i de to systemer
u = u ′ + v (1.3)
og desuden, at accelerationen er den samme i S og S ′ , da v er konstant
a = a ′ (1.4)
Ifølge mekanikkens relativitetsprincip skal Newton anden lov gælde i alle
inertialsystemer, ellers ville det ved et mekanisk eksperiment være muligt at
skelne mellem inertialsystemer. Altså skal gælde både F = ma og F ′ = m a ′ ,
hvor F og F ′ er den resulterende kraft i henholdsvis S og S ′ . Hvor vi som
en yderligere antagelse har, at en partikels masse m er en Galileiinvariant
størrelse. Da a = a ′ følger, at kraften er den samme, hvad enten den måles i
S eller i S ′ : F = F ′ . Kraften er altså Galileiinvariant.
1.2 Lysets fart
De følgende tre underafsnit handler om nogle problemer med bestemmelsen
af lysets fart, hvis man vil opretholde den klassiske Newtonske fysik under
bibeholdelse af Galileitransformationen. Eksemplerne er ikke valgt med henblik
på, at de skal forestille at have haft indflydelse på Einsteins tanker ved
udviklingen af relativitetsteorien og opstillingen af relativitetsprincippet.
Det første eksempel omhandler A. Michelson og E. Morleys bestræbelser på
at påvise jordens bevægelse i forhold til æteren. Det er et omstridt emne i
litteraturen om relativitetsteoriens opståen, om Einstein i sine overvejelser
har haft Michelson og Morleys resultater med i sine tanker eller ej. I Einsteins
artikel fra 1905 ’Zur Elektrodynamik bewegter Körber’, Annalen der Physik,
17, 891 (1905) 1 er der ingen henvisning til Michelson og Morley. Også senere i
sin karriere har Einstein ladet forstå, at Michelson og Morleys resultater ikke
indgik i de overvejelser, der førte ham frem til den specielle relativitetsteori.
Det andet eksempler omhandler W. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, som er
fra 1913 og derfor naturligvis ingen indflydelse har haft på Einsteins overvejelser
i 1905. de Sitter undersøger den påstand at lyset altid har samme fart
i forhold til lysgiveren. Dermed vil lyset som følge af Galileitransformationen
have en anden hastighed målt af en iagttager, der er i bevægelse i forhold
til lysgiveren. Det tredje og sidste eksempel handler om den hastighed, en
elektrisk ladet partikel kan opnå ved at gennemløbe et større og større spændingsfald.
1 Engelsk oversættelse af denne artikel og andre for relativitetsteorien grundlæggende
artikler i A. Einstein, H.A. Lorentz, H. Weyl og H. Minkowski: The Principle of Relativity
(Dover Publications)

1.2 Lysets fart 3
1.2.1 Michelson-Morley
I slutningen af 1800-tallet efter fremkomsten af Maxwell’s ligninger 2 , hvoraf
kunne udledes, at lys måtte opfattes som elektromagnetiske bølger med
en bestemt hastighed c, fastlagt af de to konstanter vakuumpermittiviteten
ɛo og vakuumpermeabiliteten µo, var den fremherskende opfattelse, at disse
bølger måtte udbrede sig i et medium. Alle andre bølger man kendte til blev
udbredte gennem et medium. Først og fremmest havde man stort kendskab
til elastiske bølgers udbredelse gennem forskellige stoffer. Analogt måtte der
altså eksistere et særligt stof, som de elektromagnetiske bølger kunne udbrede
sig igennem i det ellers tomme rum. Dette stof kaldte man æteren. Dette stof
gennemtrængte alt (og gjorde ellers ikke stort væsen af sig). Kun i æteren
var hastigheden af de elektromagnetiske bølger den via Maxwellligningerne
fundne hastighed c. Denne hastighed, som altså var lysets hastighed, havde
man målt med meget stor nøjagtighed. Med udgangspunkt i æterteorien
blev det nu interessant at finde jordens hastighed i forhold til æteren. Denne
opgave arbejdede Michelson og Morley på gennem en lang årrække. Deres
forsøgsopstilling er vist i Fig. (1.1)
Lys med frekvens f sendes mod et halvgennemsigtigt spejl, en såkaldt beamsplitter,
BS. En del af lyset reflekteres af beamsplitteren og rammer spejlet S1
og reflekteres af dette. En anden del af lyset rammer spejlet S2 og reflekteres.
Derefter kommer strålerne tilbage til BS, og en del af lyset fra turen MS1M
går gennem BS mod iagttageren. En del af lyset fra turen MS2M reflekteres
af beamsplitteren og fortsætter mod iagttageren. Disse to stråler interfererer
nu, og interferensmønstret kan registreres v.hj.a. en fotografisk plade. Opstillingen
er opbygget således, at |MS1| = |MS2| = L og således at MS1
og MS2 er vinkelrette på hinanden. Vi forestiller os nu, at hele opstillingen
bevæger sig med farten v i forhold til æteren, og at bevægelsesretningen er
efter MS2.
For at finde bølgelængden af lyset har vi brug for lysets fart i vores laboratoriesystem.
Lysets fart i æteren er c. Vi får nu brug for transformationsreglen
for hastighed via Galileitransformationen. På turen MS2 er farten af lyset,
se Fig. (1.2-I)
v+ = c − v (1.5)
På turen S2M er farten af lyset, se Fig. (1.2-II)
v− = c + v (1.6)
2 Disse ligninger opstillede J.C. Maxwell omkring 1864. Maxwells arbejde vedrørende
elektrodynamikken fandt sted i årene mellem 1861 og 1873.

4 Galileitransformationen
Lyskilde
B
M
S1
Iagttager
Figur 1.1: Michelson-Morleys forsøg på måling af jordens fart i forhold til
æteren.
Da frekvensen af lyset er den samme på begge ture, bliver bølgelængderne
forskellige og er henholdsvis
λ+ =
λ− =
c − v
f
c + v
f
Antallet af bølgelængder på stykket MS2M er derfor
N = L
λ+
+ L
λ−
= 2 L f v
S
c 2 − v 2
På turen MS1 og også på turen S1M er farten af lyset, se Fig. (1.2-III)
S2
(1.7)
(1.8)
(1.9)
v⊥ = √ c 2 − v 2 (1.10)
Frekvensen er også her f, således at bølgelængden på turen MS1M bliver
√
c2 − v2 λ⊥ =
(1.11)
f
Antallet af bølgelængder på stykket MS1M er så
N⊥ = 2 L
λ⊥
= 2 L f
√ c 2 − v 2
(1.12)

1.2 Lysets fart 5
I
II
v
c
c
v+
v−
−v
Figur 1.2: De tre mulige værdier for lysets fart i Michelson-Morleys forsøg
ifølge Galileitransformationen.
Da antallene af bølgelængder N og N⊥ ikke er ens, vil de to stråler derfor
danne et interferensmønster, der afhænger af forskellen i antallet af bøl-
gelængder, når de mødes ved iagttageren. Forskellen i de to bølgelængdeantal
er
2 L f 1
∆ N = N − N⊥ =
c 1 − 1
v 2 −
c 1 −
(1.13)
v 2
c
Hvis hele opstillingen drejes 90o , byttes der om på parallelretningen og vinkelretretningen,
og ∆ N skifter derfor fortegn, således at vi får et andet interferensmønster
end før. Ændringen i bølgelængdeforskel bliver
4 L f 1
∆ (∆ N) =
c 1 − 1
v 2 −
c 1 −
(1.14)
v 2
c
Fidusen med at dreje opstillingen 90 o er, at man ved at dreje opstillingen
vil se et ændret interferensmønster, hvis forudsætningerne er rigtige. Med
typiske tal fra målingerne L = 11 m, f = 6, 0 10 14 s −1 , c = 3, 00 10 8 ms −1 og
v = 3, 0 10 4 ms −1 bliver ∆ (∆ N) = 0, 44. Den eksperimentelt fundne værdi
var mindre end 0,02. Altså kunne Michelson og Morley ikke påvise, at jorden
bevægede sig i forhold til æteren. Forsøgene blev gentaget gennem mange år
og altid med samme resultat: Ingen påvisning af jordens bevægelse i forhold
til æteren. Lysets hastighed må altså være uafhængig af lysets udsendelsesretning
i et givet inertialsystem.
v⊥
III
v
c

6 Galileitransformationen
1.2.2 de Sitters dobbeltstjerneanalyse
For en kugle, der forlader et gevær anbragt på en bil i fart, vil kuglens fart i
forhold til jordoverfladen have forskellig værdi alt efter i hvilken retning, den
affyres i forhold til bilens kørselsretning. Kuglens fart ug i forhold til geværet
vil være den samme i alle tilfælde. Ved brug af Galileitransformationen er
kuglens fart i forhold til jordoverfladen u +
J = ug+v, hvis kuglen affyres i bilens
kørselsretning, eller u −
J = ug −v, hvis kuglen affyres i modsat retning af bilens
kørselsretning. v er bilens fart i forhold til jordoverfladen. Samme forhold
kunne tænkes at være gældende for lys: Lysets fart antages altid at være den
samme i forhold til lysgiveren, hvorimod lysets fart i forhold til iagttageren
antages at afhænge af lysgiverens hastighed i forhold til iagttageren. Denne
antagelse blev underkastet en kritisk undersøgelse af de Sitter i 1913. Han
undersøgte konkret et dobbeltstjernesystem. De to stjerner bevæger sig i
hver deres Keplerbane om stjernernes fælles tyngdepunkt med en omløbstid
T . Vi ser nu på den ene af disse stjerner. For simpelheds skyld antager vi, at
jorden befinder sig i stjernernes baneplan. Til tiden t = 0 befinder stjernen
sig i afstanden L fra jorden i yderpunktet A, og lys starter fra stjernen mod
jorden. Se Fig. (1.3).
B A
c+
Jorden
L
c−
Figur 1.3: de Sitters dobbeltstjerneanalyse.
Dette lys modtages på jorden til tiden
t1 = L
c−
(1.15)

1.2 Lysets fart 7
hvor c er lysets fart i forhold til stjernen, v er stjernens fart i forhold til jorden
og c− = c − v er lysets fart i forhold til jorden. Til tiden t = T er stjernen
2
i det andet yderpunkt B, også i afstanden L fra jorden, og lyset fra dette
punkt ankommer til jorden til tiden
t2 = L
c+
+ T
2
(1.16)
hvor lysets fart i forhold til jorden nu er c+ = c + v. Til tiden t = T er
stjernen tilbage i A, og det derfra udsendte lys når jorden til tiden
t3 = L
c−
+ T (1.17)
Vi kan nu udlede, at set fra jorden tager det halve omløb fra A til B tiden
∆T1 = t2 − t1 = L
c+
+ T
2
− L
c−
= T
2
hvorimod det halve omløb fra B til A tager tiden
∆T2 = t3 − t2 = L
c−
− L
+
c+
T
2
= T
2
2 v
−
c2 L (1.18)
− v2 2 v
+
c2 L (1.19)
− v2 Af ligningerne (1.18) og (1.19) ses, at forskellene på de halve omløbstider
vokser proportionalt med stjernens afstand fra jorden og kan altså blive større
end tiden for et helt omløb. Dette er naturligvis absurd. Der er da heller aldrig
observeret noget sådant. Forskellen på de to halve omløbstider er
δ∆T = ∆T2 − ∆T1 =
4 v
c2 L (1.20)
− v2 Med nogle typiske værdier T = 1 d, v = 10 5 ms −1 og L = 10 18 m fås δ∆T =
4, 4 10 6 s = 51, 4 d. Altså langt mere end selve omløbstiden! Konklusionen er,
at forudsætningerne ikke holder. Lysets fart er ikke afhængig af lysgiverens
fart.
1.2.3 Maksimalhastighed
Ifølge den klassiske mekanik vil en partikel, der påvirkes af en konstant kraft,
opnå større og større fart. Hvis kraftpåvirkningen varer ved, vil partiklen
opnå en vilkårlig stor fart. Dette kan undersøges eksperimentelt ved at lade
elektroner gennemløbe et spændingsfald (egentlig en spændingsstigning) ∆U,
hvorved elektronerne opnår en kinetisk energi Ekin = e ∆U, idet det antages,

8 Galileitransformationen
at elektonerne starter fra hvile. e er elektronens elektriske ladning. Herefter
findes elektronernes fart direkte ved at måle tiden for passage af en given
vejstrækning. Man kunne nu forestille sig med de høje hastigheder, der opnås
ved at gennemløbe store spændingsstigninger, at den opnåede kinetiske energi
ikke var givet ved e ∆U. For at undersøge dette sendes elektronstrålen efter
accelerationen mod en lille metalklods, og elektronerne stoppes af denne.
Temperaturstigningen af metalklodsen måles samtidig med, at den opsamlede
elektriske ladning måles. Hermed kan man bestemme den kinetiske energi,
én elektron har opnået ved at blive accelereret gennem spændingsstigningen.
Disse målinger viser, at den opnåede kinetiske energi er givet ved e ∆U. Da vi
nu har styr på den kinetiske energi, kan farten v af elektronen beregnes efter
2 Ekin
det klassiske udtryk v = . m er elektronens masse. De således fundne
m
værdier for farten sammenlignes med de eksperimentelt fundne værdier ved
den direkte måling af farten. Se Fig. (1.4).
Figur 1.4: Maksimal hastighed c. Taget fra W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32,
551 (1964).
Det ses tydeligt, at det klassiske udtryk ikke er i overensstemmelse med
virkeligheden. Det ser altså ud til, at elektronens fart ikke kan blive vilkårlig

1.2 Lysets fart 9
stor, men altid er mindre end lysets fart c. (På Fig. (1.4) er også vist den
korrekte relativistiske tolkning af eksperimentet).

10 Galileitransformationen

Kapitel 2
Lorentztransformationen
I dette kapitel udledes den transformation, Lorentztransformationen, der erstatter
Galileitransformationen ved overgang fra et inertialsystem til et andet
inertialsystem. Forudsætningerne for transformationen præciseres, således at
vi på entydig vis får bestemt Lorentztransformationen.
2.1 Forudsætninger for Lorentztransformationen
Vi betragter i det følgende to inertialsystemer S og S ′ med sammenfaldende
akser til tiden t = t ′ = 0. Systemet S ′ bevæger sig med hastigheden v målt
i systemet S langs x-aksen. Se Fig. (2.1). Af symmetrigrunde bevæger systemet
S sig da med hastigheden −v målt i systemet S ′ langs med x ′ -aksen. En
begivenhed A fastlægges i hvert inertialsystem ved angivelse af tidspunkt og
stedkoordinat. Dvs. i systemet S ved talsættet (t, x, y, z) og i systemet S ′ ved
talsættet (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ). Vores opgave er at bestemme den transformation, der
giver sammenhængen mellem talsættet (t, x, y, z) og talsættet (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ )
for begivenheden.
Forudsætninger
Da den klassiske fysik jo har givet fantastisk mange verificerede resultater vil
det være naturligt at forlange
1. For små hastigheder skal den søgte transformation falde sammen med
Galileitransformationen.
2. Det specielle relativitetsprincip skal gælde: Dvs. det er ikke muligt ved
noget fysisk eksperiment at afgøre hvilket inertialsystem, der er i bevægelse
11

12 Lorentztransformationen
y
S
eller hvilket der er i hvile.
x
y ′
S ′
Figur 2.1: Inertialsystemerne S og S ′ .
Derudover indføres nu det helt afgørende krav
3. Lysets fart c er den samme i alle retninger og i alle inertialsystemer.
Punkt 3, som blev formuleret af Albert Einstein i 1905, er helt centralt i
den specielle relativitetsteori. Ved hjælp af disse tre forudsætninger skal vi nu
finde den transformation, Lorentztransformationen, der skal afløse Galileitransformationen.
Den transformation, vi søger, må endvidere være lineær, således
at en fri partikel, der i S kan beskrives ved en sædvanlig parameterfremstilling
for en ret linje med talsættet (t, x, y, z), også i S ′ kan fremstilles ved
en parameterfremstilling for en ret linje, nu blot ved talsættet (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ).
Om den fundne transformation er i overensstemmelse med naturen kan kun
afgøres ved eksperimentets hjælp.
Uanset hvilken form, den nye transformation har, har vi allerede nu en løsning
på problemerne med tolkningen af Michelson-Morley-forsøget og af de Sitters
dobbeltstjerneanalyse. Forudsætning nr. 3 giver nemlig en forklaring på den
manglende ændring i interferensbilledet i Michelson-Morley-forsøget, da vi i
stedet for ligningerne (1.5), (1.6) og (1.10) automatisk har v+ = v− = v⊥ = c.
Ligeledes er der ingen problemer m.h.t. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, idet
vi her har c+ = c− = c, se side 7.
2.2 Måling af tid og længde
For at kunne måle en hastighed, f. eks. lysets hastighed, er det nødvendigt
at kunne måle en tilbagelagt vejstrækning og den tid, det har taget at
tilbagelægge denne vejstrækning. Vejstrækningen er fastlagt ved et slut-
v
x ′

2.2 Måling af tid og længde 13
punkt og et begyndelsespunkt, hvis vi holder os til en retlinet bevægelse
eller til en infinitesimal vejstrækning. Afstanden mellem disse to punkter
kan i et inertialsystem bestemmes v.hj.a. en målestok i hvile i inertialsystemet.
Målestokken lægges simpelthen, så den forbinder de to punkter, og
afstanden aflæses på målestokken. Tiden, der er gået ved tilbagelæggelsen af
vejstrækningen, kan findes ved at aflæse tiden på et ur placeret ved slutpunktet
i det øjeblik, lyset eller partiklen passerede slutpunktet. Uret er i hvile i
inertialsystemet. Det forudsættes, at der ikke er problemer med at afgøre, om
to hændelser er samtidige, hvis de foregår i samme punkt. På samme måde
aflæses tiden på et ur i hvile placeret ved startpunktet i det øjeblik, lyset
eller partiklen passerer startpunktet. Tidsforbruget er så forskellen mellem
de to aflæste tider. Men det kræver, at urene er synkroniserede for at give
en meningsfuld måling. Det centrale spørgsmål er dermed blevet, hvorledes
synkroniseringen af ure skal foretages, således at det vil være muligt at sammenligne
tider målt i et inertialsystem i forskellige punkter i inertialsystemet.
Vi forstiller os nu, at i alle punkter (af interesse for os) er anbragt ure i hvile,
og at disse ure forventes at ”tikke” lige hurtigt. Et af disse ure udvælges som
hovedur. Lad dette urs visning være to. Ved at udsende et signal fra dette
hovedur til et andet ur, hvis afstand l til hoveduret er kendt, kunne vi synkronisere
urene ved at sætte tiden ved det andet ur ved modtagelsen af signalet
til to + l , hvor w er signalets udbredelsesfart, hvis vi kendte denne fart. Men
w
det fører os tilbage til problemet med at måle hastighed, og det krævede
synkroniserede ure for at kunne virke. Vi synes at være havnet i en ”Catch
22” -lignende situation. Men her kommer den eksperimentelle kendsgerning,
at lysets fart er den samme i alle retninger os til hjælp. For at demonstrere
dette, kan man nemlig nøjes med ét ur i et fast punkt. Vi kan forestille os,
at lys sendes rundt i en lukket bane vha. spejle, se Fig. (2.2). Vi skal altså
aflæse startiden for lysudsendelsen og sluttiden for modtagelsen af lyset på
det samme ur i det faste punkt. Den af lyset tilbagelagte vej måles i ro og
mag med målestokke i hvile langs lysets bane. Ved frit at vælge forskellige
opstillinger af disse stykkevis retlinede baner og efter hvert forsøg at kunne
konstatere at lysets fart er den samme ved alle forsøgene, ledes man til at
postulere, at sådan er det altid: Lysets fart er den samme i alle retninger i
det givne inertialsystem. Den angivne metode med benyttelse af et hovedur
og udsendelse af et lyssignal til andre ure i kendt afstand fra hoveduret er
dermed en brugbar metode til at synkronisere alle ure i et inertialsystem.
Metoden sikrer, at alle urene er indbyrdes synkroniserede. Da hoveduret og
ur-A viser samme tid, og endvidere hoveduret og ur-B viser samme tid, viser
ur-A og ur-B også samme tid.
Hvis man ønsker at checke, om to ure placeret i henholdsvis punktet A og

14 Lorentztransformationen
S1
S5
Figur 2.2: Måling af lysets fart under benyttelse af kun ét ur.
i punktet B er synkroniserede i inertialsystemet S, kan man foretage det
eksperiment, at til tiden tAs målt på A’s ur sendes et lysglimt mod B. Dette
lysglimt modtages i punktet B til tiden tB målt på B’s ur. Lysglimtet reflekteres
af et spejl anbragt i B og modtages i punktet A til tiden tAm målt på A’s
ur. Da lysglimtets fart på de to ture ifølge vores antagelse og eksperimentelle
undersøgelser altid har samme værdi, og da lysglimtene skal tilbagelægge
samme vejstrækning på de to ture, er de to ure synkroniserede, netop hvis
følgende er opfyldt
tB − tAs = tAm − tB ⇔
S2
S4
S3
tB = 1
2 (tAs + tAm) (2.1)
2.3 Transformation af y og z: Afstande vinkelret
på bevægelsesretningen
To iagttagere i hvert sit inertialsystem S og S ′ har besluttet at lave hvert sit
rør med samme radius målt i hvile. Efter at have konstrueret rørerne lægger
de dem med røraksen parallelt med x(x ′ )-aksen. Rør A ligger stille i S ′ og

2.4 Transformation af x og t 15
rør B ligger stille i S. Se Fig. (2.3).
y ′
S ′
v
x ′
A B
Figur 2.3: Inertialsystemerne S og S ′ med to ens rør.
Set fra S kommer der nu et rør, A, susende med hastighed v. Hvis nu længder
vinkelret på v havde en anden værdi målt i S end målt i S ′ , ville rør A altså
passere gennem rør B , hvis rørradius blev målt mindre i S, eller også ville
rør A helt omslutte rør B, hvis rørradius blev målt større i S. Set fra S ′
er situationen helt den samme. Her kommer rør B susende med hastighed
−v. Da bevægelse mod højre og venstre giver samme fysik vil iagttageren i
S ′ kunne sige: Hvis radius af B blev målt mindre ville B pasere gennem A,
og hvis radius af B blev målt større ville A passere gennem B. Vi får altså
en modstrid, hvis længder vinkelret på bevægelsesretningen ændres. Der er
derfor kun en mulighed tilbage: Man måler samme længde. Dermed er transformationen
af y og z-koordinaterne fundet
2.4 Transformation af x og t
y
S
y ′ = y (2.2)
z ′ = z (2.3)
Til tidspunktet t = t ′ = 0 hvor origo O og O ′ i de to inertialsystemer S og S ′
falder sammen, udsendes fra O(O ′ ) et lysglimt. Denne forstyrrelse udbreder
sig i begge systemer på en kugleflade, da lysets fart i de to systemer er ens i
alle retninger. Endvidere er lysets fart den samme i begge systemer, således
at radius i S til tiden t er ct, og i S ′ er radius til tiden t ′ blevet ct ′ . Kuglefladen
kan i S beskrives ved ligningen
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = 0 (2.4)
x

16 Lorentztransformationen
og i S ′ ved ligningen
Altså gælder der
c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 = 0 (2.5)
c 2 t 2 − x 2 = c 2 t ′2 − x ′2
(2.6)
hvor vi også har benyttet ligningerne (2.2) og (2.3). Da transformationen fra
(t, x) til (t ′ , x ′ ) er lineær (og uden indblanding af y og z) skal vi bestemme
fire tal K, L, M og N, der er uafhængige af (t, x), men som formodentligt
kommer til at afhænge af v, da v jo karakteriserer bevægelsen af S og S ′ i
forhold til hinanden:
x ′ = K x + L t (2.7)
t ′ = M t + N x (2.8)
For origo O ′ gælder i systemet S ′ at x ′ = 0 og i systemet S at x = vt. Dette
kan sættes ind i ligning(2.7), og dermed har vi et bånd mellem tallene L og
K
Nu kan ligning (2.7) skrives
v = − L
K
(2.9)
x ′ = K (x − v t) (2.10)
Ligningerne (2.8) og (2.10) benyttes i ligning (2.6), og efter lidt rumsteren
har vi
x 2 −c 2 t 2 = (K 2 −c 2 N 2 ) x 2 −2 (K 2 v+c 2 M N) x t−(c 2 M 2 −K 2 v 2 ) t 2 (2.11)
For at ligning (2.11) kan være opfyldt for alle x og alle t, skal koefficienterne
til x 2 , x t og t 2 være ens på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.11). Der
skal altså gælde
K 2 − c 2 N 2 = 1 (2.12)
K 2 v + c 2 M N = 0 (2.13)
c 2 M 2 − K 2 v 2 = c 2
Af ligning (2.13) får vi
N = − v
c2 Ligning (2.15) indsættes i ligning (2.12)
K 2 − v2
c 2
K 2
M
(2.14)
(2.15)
K4 = 1 (2.16)
M 2

2.4 Transformation af x og t 17
Af ligning (2.14) fås
M 2 = c2 + K 2 v 2
c2 (2.17)
Ligning (2.17) indsættes i ligning (2.16), og efter lidt regneri finder vi
1
K = ±
v 1 − ( c )2
Nu kan ligning (2.18) indsættes i ligning (2.17), og M kan findes
1
M = ±
v 1 − ( c )2
(2.18)
(2.19)
Dernæst indsættes ligningerne (2.18) og (2.19) i ligning (2.15), og N kan
findes
N = ± v
c2 1
v 1 − ( c )2
(2.20)
Vi mangler nu kun at bestemme fortegnene for K, M og N. Ligning (2.7)
skal gælde for alle værdier af v, også for v = 0. For v = 0 er x ′ = x, og
dermed er K = 1. Da K antages at være en pæn kontinuert funktion af v,
må fortegnet for K være plus, dvs.
K =
1
1 − ( v
c )2
L er dermed også bestemt via ligning (2.9)
L =
−v
1 − ( v
c )2
(2.21)
(2.22)
For v ≪ c skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen,
dvs. ligning (2.8) skal gå over i t ′ = t. Fortegnet for M må derfor
være plus, altså
1
M =
v 1 − ( c )2
Hermed er fortegnet for N fastlagt via ligning (2.15), og N bliver
N = − v
c 2
1
1 − ( v
c )2
(2.23)
(2.24)
Konstanterne K, L, M og N er hermed fastlagte, og vi har fundet Lorentztransformationen
x ′ =
x − v t
v 1 − ( c )2
(2.25)

18 Lorentztransformationen
t ′ =
y ′ = y (2.26)
z ′ = z (2.27)
t − v
c 2 x
1 − ( v
c )2
(2.28)
Den omvendte transformation fra inertialsystemet S ′ til inertialsystemet S
fås ved i ligningerne (2.25) til (2.28) at udskifte v med −v og bytte om på
de mærkede og de umærkede variable
x = x′ + v t ′
1 − ( v
c )2
y = y ′
z = z ′
t = t′ + v
c 2 x ′
1 − ( v
c )2
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
Navnet på transformationen skyldes, at H.A. Lorentz før Einstein havde
vist, at denne transformation medfører, at Maxwells ligninger er invariante.
Dette vil ikke være tilfældet under en Galileitransformation. Invariansen af
Maxwells ligninger under en Lorentztransformation var ligeledes blevet vist
af H. Poincaré.
Eftertanke. Da vi opskrev Lorentztransformationen fra S ′ til S, gik vi ud
fra, at S bevæger sig med hastighed −v i forhold til S ′ af symmetrigrunde.
Men vi kan let se, at det må forholde sig således ved følgende betragtning.
Transformationen fra S ′ til S må være af samme form som transformationen
fra S til S ′ blot med hastigheden v erstattet med en anden hastighed, som
vi vil kalde w
x = x′ − w t ′
2 1 − w
c
t = t′ w x′ − c2
1 − w
c
2
(2.33)
(2.34)

2.5 Dobbelt Lorentztransformation 19
I ligning (2.33) indsættes nu resultaterne fra ligningerne (2.25) og (2.28).
Dette giver ved en lille regning
x =
x (1 + w v
c2 ) − t (w + v)
1 −
w 2
1 − c
v 2
c
(2.35)
Da ligning (2.35) skal være opfyldt for alle (x, t), skal w + v = 0, og dermed
er w = −v, hvilket sikrer opfyldelsen af ligning (2.35). En tilsvarende regning
med udgangspunkt i ligning (2.34) giver samme resultat. Altså er det
godtgjort, at S bevæger sig med hastighed −v i forhold til S ′ .
2.5 Dobbelt Lorentztransformation
Vi ser her på tre inertialsystemer S, S ′ og S ′′ . S ′ bevæger sig med hastighed
v i forhold til S langs x, x ′ -aksen, og S ′′ bevæger sig med hastighed w i
forhold til S ′ langs x ′ , x ′′ -aksen. Til tiden t = t ′ = t ′′ = 0 er de tre systemer
sammenfaldende. Hvis vi udfører først en Lorentztransformation fra S til
S ′ og dernæst en Lorentztransformation videre fra S ′ til S ′′ , har vi fået en
transformation fra S til S ′′ . Det vil være naturligt at forvente, at dette må
kunne beskrives som en Lorentztransformation fra S til S ′′ . Dette vil vi nu
vise eksplicit. For de to givne transformationer gælder
x ′ =
x − v t
1 − v
c
2
x ′′ = x′ − w t ′
2 1 − w
c
t ′ =
v t − c2 x
1 − v
c
2
t ′′ = t′ − w
c2 x ′
1 − w
c
Ved et lille regnestykke, hvor ligning (2.37) indsættes i ligning (2.36), fås
x ′′ =
t ′′ =
x − v+w
v w
1+
c2 t
1 −
v 2
1 − c
w
c
t − v+w
v w
1+
c2 1
c2 x
1 −
v 2
1 − c
w
c
2 1
v w
1+
c2 2 1
v w
1+
c2 2
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Tællerne i de to ligninger (2.38) og (2.39) ser fornuftige ud med S ′′ ’s hastighed
V i forhold til S givet ved
v + w
V =
1 +
(2.40)
v w
c 2

20 Lorentztransformationen
For at have den rigtige form på transformationen
skal nævnerne i ligningerne
(2.38) og (2.39) kunne skrives 1 −
V 2.
At dette er tilfældet vises ved
c
direkte udregning af 1 −
V 2
med V givet ved ligning (2.40). Hermed er
c
vist, at sammensætningen af to Lorentztransformationer giver en ny Lorentztransformation,
og at den sammensatte Lorentztransformation er givet ved
S ′′ ’s hastighed V i forhold til S med V bestemt af ligning (2.40). Se også
ligning (3.36).
Hvis vi havde benyttet Galileitransformationen, ville vi have fået V = v + w.
I den grænse, hvor |v| ≪ c og |w| ≪ c, ses, at ligning (2.40) også giver dette
resultat.
2.6 Den generelle Lorentztransformation
Hvis inertialsystemet S ′ bevæger sig i y-aksens retning med hastighed v i
forhold til inertialsystemet S, se Fig. (2.4), og de to inertialsystemer er sammenfaldende
til tiden t = t ′ = 0 bliver transformationen mellem S og S ′
naturligvis
S ′
S
y ′
y
v
Figur 2.4: Lorentztransformation i y-aksens retning.
x ′
x

2.6 Den generelle Lorentztransformation 21
x ′ = x x = x ′
y ′ =
y − v t
1 − v
c
2
z ′ = z z = z ′
t ′ =
v t − c2 y
1 − v
c
2
y = y′ + v t ′
2 1 − v
c
t = t′ + v
c2 y ′
1 − v
c
2
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
Lad nu S ′ bevæge sig med en vilkårlig hastighed v i forhold til S, se Fig.
(2.5). Den rumlige del af en begivenhed er givet ved vektoren r. Den del af
S
O
y
S ′
O ′
y ′
Figur 2.5: Lorentztransformation i vilkårlig retning.
denne vektor, der er vinkelret på v er
−→
r⊥ = r −
x
v
x ′
r · v
v (2.45)
|v| 2
Med brug af samme argumentation som i afsnit 2.3 kan vi slutte, at afstande,
der er vinkelrette på v, er uændrede. For transformationen af −→ r⊥ må derfor
gælde
−→
r ′ ⊥ = −→ r⊥
(2.46)
Den del af r, der er parallel med v, altså
−→ r =
r · v
v (2.47)
|v| 2
har en ikketriviel transformation, som vi vil finde på samme måde som i
afsnit 2.4. Ligning (2.6) bliver nu under anvendelse af ligning (2.46)
c 2 t 2 − | −→ r| 2 = c 2 t ′2 − | −→ r ′ | 2
(2.48)

22 Lorentztransformationen
Vi antager på samme måde som før en lineær sammenhæng af formen
−→ r ′ = K −→ r + L t v (2.49)
t ′ = M t + N | −→ r| (2.50)
Origo O ′ er i S ′ beskrevet ved r ′ = o og altså også −→ r ′ = o, medens det i S er
beskrevet ved r = −→ r = t v. Dette indsat i ligning (2.49) medfører L = −K,
således at ligning (2.49) omskrives til
−→ r ′ = K ( −→ r − t v) (2.51)
Ligningerne (2.50) og (2.51) benyttes i ligning (2.48), som med v = |v| bliver
c 2 t 2 − | −→ r| 2 = c 2 (M t + N | −→ r|) 2 − K 2 ( −→ r − t v) 2
Heraf fås ligningssættet
= (c 2 M 2 − K 2 v 2 ) t 2 + 2 (c 2 M N + v K 2 ) t | −→ r| − (c 2 N 2 − K 2 ) | −→ r| 2
(2.52)
K 2 − c 2 N 2 = 1 (2.53)
K 2 v + c 2 M N = 0 (2.54)
c 2 M 2 − K 2 v 2 = c 2
(2.55)
som har samme løsning, som vi tidligere fandt ved ligningerne (2.21) - (2.24).
Dermed har vi fundet den ønskede transformation for −→ r og t. For −→ r gælder
altså
−→ −→
′
r − t v
r =
1 −
v 2
c
(2.56)
Transformationen for hele den rumlige del, r = −→ r⊥ + −→ r , af en begivenhed
kan derfor vha. ligningerne (2.46) og (2.56) skrives sammen til
r ′
= r +
1
1 −
− 1
v 2
c
r · v t v
v −
v2 1 −
v 2
c
(2.57)
Transformationen for tidsdelen af begivenheden bliver med de fundne værdier
for M og N indsat i ligning (2.50)
t ′ =
r·v t − c2
1 − v
c
2
(2.58)

2.6 Den generelle Lorentztransformation 23
Dermed har vi fundet den generelle Lorentztransformation i alle de tilfælde,
hvor der ikke indgår en rotation af de rumlige koordinatakser i forhold til
hinanden.
Den omvendte transformation fås af ovenstående ved at udskifte v med −v
r = r ′
1
+
1 −
r
− 1
v 2
c
′ · v t
v +
v2 ′ v
1 − (2.59)
v 2
c
t = t′ + r ′ ·v
c2
2 1 − v
c
(2.60)

24 Lorentztransformationen

Kapitel 3
Kinematiske konsekvenser af
Lorentztransformationen
Dette kapitel vil med udgangspunkt i den fundne Lorentztransformation
udlede en række kinematiske konsekvenser af denne transformation.
3.1 Invarians
I relativitetsteorien spiller begrebet invarians en meget vigtig rolle. Einstein
kaldte oprindelig sin teori "Invarianztheorie" 1 . Invarians her i betydningen
uforanderlig. Men relativitetsnavnet vandt som bekendt, både blandt fysikere
og i offentligheden. I begyndelsen af 1900-tallet blev relativitetsteorien af caffelattesegmentet
misbrugt til at hævde, at hvad som helst indenfor psykologi,
sociologi, litteratur, kunst osv. var relativt. Ateister og troende kunne
ligeledes hver for sig finde argumenter for, at netop deres livsanskuelse kunne
begrundes med relativitetsteorien og dens resultater. Dette på trods af at
det, der karakteriserer teorien, netop er, at de fysiske love har samme form,
dvs. er invariante, i alle inertialsystemer. Der er altså intet relativt ved relativitetsteorien.
Selvfølgelig er der forskel på, om vi beskriver feks. en konkret
bevægelse i et inertialsystem eller i et andet. Koordinatsættene til en partikels
sted afhænger naturligvis af inertialsystemet. Men det er en triviel forskel på
linje med, at vi kan angive placeringen af toppen af Rundetårn ved dens afstand
fra Købmagergadeniveau, havniveau eller toppen af Rådhustårnniveau.
Fra matematik kender vi også, at størrelser kan være invariante. Feks. vil
længden af en vektor ved rotation, parallelforskydning eller reflektion af koordinatsystemet
være invariant. Fra klassisk fysik ved vi også, at under en
1 Ordet "Relativtheorie" dukker op i et brev fra Max Planck til Einstein i 1906. Einstein
kaldte i 1907 teorien for "Relativitätstheorie" i et brev til Paul Ehrenfest.
25

26 Kinematiske konsekvenser
Galileitransformation er feks. masse, elektrisk ladning, acceleration og resulterende
kraft invariante størrelser. I relativitetsteorien vil vi også finde, at
visse størrelser er invariante, men ikke nødvendigvis de samme størrelser, som
er invariante i den klassiske fysik. Men hovedbudskabet i relativitetsteorien
er, at de grundlæggende fysiske love er de samme i alle inertialsystemer, og
at forbindelsen mellem fysiske størrelser i de to inertialsystemer er fastlagt
ved Lorentztransformationen.
Det følger direkte af Lorentztransformationen, ligningerne (2.25) til (2.28),
at
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2
(3.1)
Dvs. for enhver begivenhed, hvad enten den angives i inertialsystemet S som
(t, x, y, z) eller i inertialsystemet S ′ som (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ), er størrelsen s 2 givet
ved
s 2 = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2
(3.2)
eller den tilsvarende størrelse s ′2 udregnet i S ′ altid ens. Vi siger, at s 2 er
Lorentzinvariant. (Da vi udledte Lorentztransformationen, benyttede vi en
specialudgave af dette, nemlig tilfældet s 2 = s ′2 = 0).
Det eneste, vi har benyttet for at vise dette, er, at talsættet (t, x, y, z) transformerer
ved en Lorentztransformation. For ethvert talsæt (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ),
der transformerer på samme måde som talsættet (t, x, y, z), vil da ligeledes
størrelsen 2 A 2 = c 2 A 0 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 være Lorentzinvariant.
For den generelle Lorentztransformation gælder også, at størrelsen s 2 =
c 2 t 2 − |r| 2 er invariant. Dette ses på samme måde som tidligere ved direkte
udregning af s ′2 = c 2 t ′2 − |r ′ | 2 under anvendelse af ligningerne (2.57) og
(2.58). Denne udregning giver s ′2 = s 2 .
For to begivenheder (t1, x1, y1, z1) og (t2, x2, y2, z2) kan vi danne talsættet
∆s = (t2 − t1, x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) = (∆ t, ∆ x, ∆ y, ∆ z). Da Lorentztransformationen
er lineær, vil ∆s transformere fra S til S ′ på samme måde,
2 Bemærk at A 0 -komponenten ganges med c. Dette er også nødvendigt af dimensions-
grunde.

3.1 Invarians 27
som (t, x, y, z) gør. Dvs. der gælder
∆ t ′ v ∆ t − c = 2 ∆ x
1 −
v 2
c
(3.3)
∆ x ′ ∆ x − v ∆ t
=
1 −
v 2
c
(3.4)
∆ y ′ = ∆ y (3.5)
∆ z ′ = ∆ z (3.6)
Derfor er også (∆ s) 2 = c2 (t2 − t1) 2 − (x2 − x1) 2 − (y2 − y1) 2 − (z2 − z1) 2 =
c2 (∆ t) 2 − (∆ x) 2 − (∆ y) 2 − (∆ z) 2 Lorentzinvariant.
I stedet for at skrive (∆s) 2 , som er det matematisk korrekte, er der i relativitetsteorien
tradition for at skrive dette som ∆s2 , selv om dette jo egentlig
betyder ændringen i s2 . Tilsvarende gøres for (∆ x) 2 = ∆ x2 osv. Altså skrives
∆ s2 = c2 ∆ t2 − ∆ x2 − ∆ y2 − ∆ z2 . Der er tre muligheder for fortegnet af
∆s2 som gives hvert sit navn
∆s 2
⎧
⎪⎨ < 0 ∆s siges at være rumagtig
= 0 ∆s siges at være lysagtig
(3.7)
⎪⎩
> 0 ∆s siges at være tidsagtig
Det vil altid være muligt ved en passende transformation af det sædvanlige
koordinatsystem i rummet at opnå, at formen på ∆ s er ∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0),
således at ∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 .
Lad os som eksempel på anvendelsen af invariansen af ∆ s 2 se på to begivenheder,
der er samtidige i inertialsystemet S, og som finder sted på to
forskellige steder. Lad os antage at ∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0). Der gælder altså
∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 = ∆ x 2
(3.8)
(Vi ser bort fra ∆ y og ∆ z-bidragene, da vi har sørget for, at disse er 0 i
systemerne S og S ′ ). Man kan nu spørge om, om det er muligt, at de to
begivenheder også er samtidige i systemet S ′ . Da ∆ s ′2 = c 2 ∆ t ′2 − ∆ x ′2 og
pga. invariansen, vil i så fald gælde for ∆ t ′ = 0
∆ s 2 = ∆ s ′2 ⇔ ∆ x 2 = ∆ x ′2
(3.9)
Dette er kun muligt (se Lorentztransformationen ligning (2.25)) hvis S ′ ’s
hastighed i forhold til S er nul. Altså er de to begivenheder ikke samtidige
i S ′ , hvis S ′ har en fra nul forskellig hastighed i forhold til S. Samtidighed i

28 Kinematiske konsekvenser
relativitetsteorien er altså ikke en absolut egenskab for to begivenheder men
giver kun mening, hvis det præcisseres for hvilket inertialsystem, samtidigheden
gælder.
Vi vil nu se på de tre muligheder for fortegnet af ∆ s 2 for at undersøge,
om det er muligt at finde en Lorentztransformation, så de to begivenheder er
samtidige i et særligt inertialsystem, eller om det er muligt, at de to begivenheder
finder sted i samme punkt i et inertialsystem. For de to begivenheder
dannes ∆ s = (∆ t, ∆ x, ∆ y, ∆ z). Vi vil også her antage, at ∆ s er af formen
∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0), således at ∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 .
∆ s tidsagtig. Vi ønsker at finde, hvilken hastighed v et inertialsystem S ′
skal bevæge sig med i forhold til S, så de to begivenheder finder sted i samme
punkt i S ′ . Da ∆ s er tidsagtig gælder
∆
x
c > (3.10)
∆ t
eller
1
c <
∆ t
(3.11)
∆ x
Hvis de to begivenheder finder sted i samme punkt i S ′ er ∆ x ′ = 0, hvilket
∆ x
medfører (benyt ligning (3.4)) v = . Denne hastighed opfylder betingelsen
∆ t
|v| < c på grund af uligheden (3.10). Dermed har vi vist, at det er muligt at
transformere til et inertialsystem, hvor begivenhederne finder sted i samme
punkt.
Vi kunne også spørge, om det er muligt at opnå samtidighed i et nyt inertalsystem.
Her skulle altså gælde ∆ t ′ = 0. Men så ville ∆ s2 jo blive negativ i
modstrid med forudsætningen. Rent algebraisk medfører ∆ t ′ = 0 under brug
2 ∆ t
af ligning (3.3), at v = c . På grund af uligheden (3.11) får vi her |v| > c.
∆ x
Dvs. det er ikke muligt at opnå samtidighed.
∆ x
∆ s lysagtig. Her gælder c = ∆ t . Her vil kravet ∆ t ′ = 0 medføre |v| = c,
og kravet ∆ x ′ = 0 vil ligeledes medføre |v| = c. Det er altså ikke muligt
at finde en Lorentztransformation, så begivenhederne finder sted til samme
tidspunkt, og det er ligeledes umuligt at finde en Lorentztransformation, så
begivenhederne finder sted i samme punkt i rummet.
∆ s rumagtig. Da ∆ s er rumagtig gælder
∆
x
c <
∆ t
(3.12)

3.1 Invarians 29
eller
1
c >
∆ t
∆ x
(3.13)
Ved samme overvejelser som ovenfor vil kravet om samtighed, ∆ t ′ = 0,
2 ∆ t
medføre v = c . Med brug af uligheden (3.13) slutter vi |v| < c. Dermed
∆ x
er det vist, at vi kan finde et inertialsystem, så de to begivenheder er samtidige
i dette system.
Dernæst undersøger vi, om det er muligt at have ∆ x ′ = 0. Men så ville ∆ s2 blive positiv i modstrid med forudsætningen. Igen kan vi rent algebraisk se,
∆ x
at ligning (3.4) medfører v = . Med brug af uligheden (3.12) ses her at
∆ t
gælde |v| > c. Det er altså ikke muligt ved en Lorentztransformation at opnå,
at begivenhederne finder sted i samme punkt.
Kausalitet. Som et andet eksempel på anvendelse af invariansen vil vi se
på begrebet kausalitet. Da lysets fart er den størst mulige fart, kan intet
signal udbrede sig med en fart større end lysets fart. For to begivenheder,
der i inertialsystemet S bestemmer et rumagtigt ∆ s, kan der ikke være en
kausal sammenhæng. Altså den ene begivenhed kan ikke som årsag have den
anden begivenhed. Dette gælder også i ethvert andet inertialsystem, da ∆ s 2
er Lorentzinvariant. Det er altså ikke muligt at finde en eller anden skør
Lorentztransformation, hvor den ene begivenhed kunne være en følge af den
anden.
Begivenheders tidsrækkefølge. Vi ser på to begivenheder A og B med
tid og sted givet ved sættene (t1 , x1) og (t2 , x2), hvor begivenhed A forekommer
før begivenhed B, dvs. t1 < t2. (Igen har vi sørget for, at y1 = y2 = z1 =
z2 = 0 ved passende valg af det rumlige koordinatsystem). Vi spørger nu om,
hvad betingelsen er for, at der er samme tidsrækkefølge af begivenhederne
A og B også i alle andre inertialsystemer. Tiderne t1 og t2 transformeres til
systemet S ′ ved en Lorentztransformation
t ′ 1 = t1 − v
c2 x1
2 1 − v
c
t ′ 2 = t2 − v
c2 x2
2 1 − v
c
(3.14)
(3.15)
Kravet, vi stiller, er t ′ 2 > t ′ 1, som vi ved et lille regnestykke under brug af
ligningerne (3.14) og (3.15) omformer til uligheden
c 2
v > x2 − x1
t2 − t1
(3.16)

30 Kinematiske konsekvenser
Da v < c vil uligheden (3.16) være opfyldt for alle v, hvis
c > x2 − x1
t2 − t1
(3.17)
Dvs. hvis ∆ s er tidsagtig, er tidsrækkefølgen af de to begivenheder den
samme i alle inertialsystemer. Med et tidsagtigt ∆ s er det muligt, at der
er en kausal sammenhæng mellem begivenhederne A og B.
Hvis der skal byttes om på tidsrækkefølgen af begivenhederne A og B i
systemet S ′ , får vi ved en lignende regning som ovenfor, at der skal gælde
c (t2 − t1) < v
c (x2 − x1) (3.18)
Dette vil være muligt at opnå for ∆ s rumagtig. Men så vil der ikke være
en kausal sammenhæng mellem begivenhederne A og B, da intet signal kan
nå fra begivenhed A ’s sted til begivenhed B’s sted på den tid, der er til
rådighed.
3.2 Retning af lysstråle
Som en simpel direkte anvendelse af Lorentztransformationen vil vi se på,
hvorledes retningen af en lysstråle kan angives i to forskellige inertialsystemer
samt finde sammenhængen mellem disse to retninger. I inertialsystemet S ′
udsendes lys fra origo til tiden t ′ = t = 0.
y
S
x
Figur 3.1: Retning af lysstråle set fra henholdsvis inertialsystemet S og fra
inertialsystemet S ′ .
Lysstrålens retning med x ′ -aksen er α ′ . Se Fig. (3.1). Der gælder da
y ′
cos(α ′ ) = x′
c t ′
S ′
v
α ′
x ′
(3.19)

3.3 Hastighedstransformation 31
hvor x ′ er førstekoordinaten til det punkt, hvortil lystrålen er kommet til
tiden t ′ . Den tilbagelagte vej af lyset er jo c t ′ , som netop er længden af
hypotenusen i den antydede trekant. Ved brug af Lorentztransformationen
kan x ′ og t ′ udtrykkes ved x og t i inertialsystemet S og vi får
cos(α ′ ) =
c
x−v t
2 v
1− c
t− v
c2 x
1−
2 v
c
=
x
c t
v − c
x
c t
1 − v
c
(3.20)
Da lyset jo også bevæger sig retlinet set fra inertialsystemet S, kan vi på
samme måde, som vi gjorde i systemet S ′ , angive retningen af lysstrålen ved
den vinkel α, lysstrålen danner med x-aksen, men nu angivet i systemet S
ved
cos(α) = x
c t
Derved kan ligning (3.20) omskrives til
cos(α ′ ) =
cos(α) − v
c
1 − v
c cos(α)
(3.21)
(3.22)
som er den ønskede sammenhæng mellem α og α ′ .
Ligning (3.22) kan under anvendelse af den trigonometriske relation tan( 1 x) =
1−cos(x)
1+cos(x)
omskrives til
tan( 1
2 α′ ) = tan( 1
2 α)
1 + v
c
1 − v
c
3.3 Hastighedstransformation
2
(3.23)
I inertialsystemet S befinder en partikel sig til tiden t1 på stedet A(x1, y1, z1).
Til tiden t2 befinder den sig på stedet B(x2, y2, z2). Partiklens hastighed u i
S er bestemt ved (sædvanlig grænseovergang ∆t → 0 underforstået)
ux = x2 − x1
t2 − t1
uy = y2 − y1
t2 − t1
uz = z2 − z1
t2 − t1
= ∆x
∆t
= ∆y
∆t
= ∆z
∆t
(3.24)
(3.25)
(3.26)

32 Kinematiske konsekvenser
Da Lorentztransformationen, som vi tidligere har udnyttet (se side 26), er
lineær, gælder, at ∆t, ∆x, ∆y, ∆z transformerer som t, x, y, z og derfor er
∆x ′ =
∆t ′ =
∆x − v ∆t
v 1 − ( c )2
(3.27)
∆y ′ = ∆y (3.28)
∆z ′ = ∆z (3.29)
∆t − v
c 2 ∆x
1 − ( v
c )2
(3.30)
For hastigheden af partiklen målt i inertialsystemet S ′ får vi da vha. ligningerne
(3.27) - (3.30)
u ′ y = ∆y′
=
∆t ′
u ′ x = ∆x′
∆t
∆x − v ∆t
= ′ ∆t − v
c2 ∆x =
∆y
∆t − v
c2
1 − (
∆x
v
∆x
∆t
1 − v
c 2
− v
∆x
∆t
c )2 = uy
v ux 1 − c2 = ux − v
v ux 1 − c2 (3.31)
1 − ( v
c )2 (3.32)
Transformationen for hastigheden i z-retningen findes analogt. Slutresultatet
for transformationen fra S til S ′ kan derfor opskrives som
u ′ x = ux − v
v ux 1 − c2 u ′ y = uy
v ux 1 − c2 u ′ z = uz
v ux 1 − c2
1 − ( v
(3.33)
c )2 (3.34)
1 − ( v
c )2 (3.35)
Transformationen fra S ′ til S fås ved i ligningerne (3.33) til (3.35) at udskifte
v med −v
ux = u′ x + v
1 + v u′ x
c 2
uy = u′ y
1 + v u′ x
c 2
uz = u′ z
1 + v u′ x
c 2
1 − ( v
(3.36)
c )2 (3.37)
1 − ( v
c )2 (3.38)
Bemærk at ligningerne for hastighedstransformationen ikke umiddelbart ligner
Lorentztransformationen for tid og sted.

3.3 Hastighedstransformation 33
For |v| ≪ c og med den viden at |u ′ | ≤ c ses, at ligningerne (3.36) til (3.38)
som ventet har Galileitransformationens resultat ligning (1.3) som grænsetilfælde.
c er størst. Lad inertialsystemet S ′ have hastigheden v = α c, 0 < α < 1
i forhold til S og lad en partikel have hastigheden u ′ x = β c, 0 < β < 1 samt
u ′ y = u ′ z = 0 i forhold til inertialsystemet S ′ . Partiklens hastighed i S findes
af ligning (3.36)
ux =
Da 0 < 1 − α og 0 < 1 − β gælder
0 < (1 − α) (1 − β) ⇔ α + β < 1 + α β ⇔
α + β
c (3.39)
1 + α β
α + β
1 + α β
< 1 (3.40)
Ligning (3.40) anvendt på ligning (3.39) viser, at ux < c, lige meget hvor tæt
α og β er på 1. Galileitransformationen ville have medført ux = (α + β) c,
som så kunne være blevet større end lysets fart i modstrid med erfaringen,
som til fulde støtter Lorentztransformationens konsekvenser.
Samtidighed. I ikke-relativistisk fysik, hvor det er Galileitransformationen,
der skal benyttes ved overgang fra et inertialsystem til et andet, vil to
begivenheder, der er samtidige i et inertialsystem, også være samtidige i alle
andre inertialsystemer, da tiden i alle inertialsystemer er den samme. Som vi
tidligere har set i afsnit (3.1), er samtidighed i relativitetsteorien et relativt
begreb. Dette følger også direkte af ligning (3.30). Lad de to begivenheder
være samtidige i inertialsystemet S. Der gælder altså ∆t = 0, men for at
også ∆t ′ = 0, skal også ∆x = 0 (eller v = 0). Dvs. de kan ikke også være
samtidige i inertialsystemt S ′ , medmindre de to begivenheder finder sted i
samme punkt.

34 Kinematiske konsekvenser
3.3.1 Den generelle Lorentztransformation
Hvis S ′ bevæger sig med konstant hastighed v efter y-aksen fås af ligningerne
(2.41) til (2.44)
u ′ x = ux
1 −
v 2
c
ux =
1 − u′
x 1 −
v 2
c
(3.41)
u ′ y = uy − v
uy v
1 − c2 u ′ z = uz
uy v
c 2
1 − v
1 −
uy v
c 2
c
2
1 + u′ y v
c2 uy = u′ y + v
uz = u′ z
1 + u′ y v
c2
1 − v
c
1 + u′ y v
c 2
2
(3.42)
(3.43)
Hastighedstransformationen i det generelle tilfælde findes ved at se på ændringer
i tid og sted i de to inertialsystemer på samme måde som før. Af
ligningerne (2.57) og (2.58) fås
−−→
∆ r ′ = −→
∆ r +
1
1 − −→
∆ r · v
− 1
v 2 v
c
2 ∆ t v
v −
1 − v
c
∆ t ′ =
∆ t − −→
∆ r·v
1 − v
c
c2 2 2
(3.44)
(3.45)
Ved division af henholdsvis venstre og højre side af ligning (3.44) med de
tilsvarende sider af ligning (3.45) finder vi med underforstået grænseovergang
for ændringer i tiderne gående mod nul den ønskede sammenhæng mellem
hastighederne i de to systemer
u ′
u 1 −
=
v 2
+ c
1 −
1 − u·v
c 2
1 − v
c
2 u·v
v2
− 1 v
(3.46)
Den omvendte transformation fås ved i ovenstående at skifte v ud med −v
u
u =
′
1 −
v 2
+ 1 − 1 − c
v 2 u ′ ·v
c v2
+ 1 v
(3.47)
1 + u ′ ·v
c 2
Ved at vælge v = (v, 0, 0) i ligning (3.46) genfindes ligningerne (3.33) -
(3.35), og ved at vælge v = (0, v, 0) får vi ligningerne (3.41) - (3.43).

3.4 Acceleration 35
3.4 Acceleration
Vi vil i dette afsnit finde transformationsreglen for acceleration. En partikel
d u
har i inertialsystemet S hastigheden u og accelerationen a = . Ved at
d t
udtrykke u ved v og u ′ (se ligningerne (3.36) til (3.38)) samt ved at benytte
(se ligning (3.30))
1 −
v 2
c
(3.48)
d t ′
d t =
1 + u′ x v
c 2
finder vi sammenhængen mellem acceleration a ′ = d u ′
d t ′ i inertialsystemet S ′
og accelerationen a i inertialsystemet S
som efter nogen regning giver
ax =
ay = −
az = −
a =
d u
d t
v 1 − ( c )2
1 + u′ x v
c2 3 a ′ x
v 1 − ( c )2
(1 + u′ x v
c2 ) 3
v 1 − ( c )2
(1 + u′ x v
c2 ) 3
= d u
d t ′
v u ′ y
c 2 a′ x +
v u ′ z
c 2 a′ x +
d t ′
d t
(3.49)
(3.50)
1 − ( v
c )2
(1 + u′ x v
c 2 ) 2 a′ y (3.51)
1 − ( v
c )2
(1 + u′ x v
c 2 ) 2 a′ z (3.52)
Accelerationen er altså langt fra at være invariant under en Lorentztransformation
i modsætning til accelerationens invarians under en Galileitransformation.
Desuden ses, at accelerationens transformationsegenskab ser noget
"kedelig" ud. Den har på ingen måde samme form som den pæne Lorentztransformation
af tid og sted.
3.4.1 Acceleration i én dimension
Lad os nu se på en partikel, der bevæger sig langs x-aksen, altså et endimensionalt
problem. I inertialsystemet S er dens øjeblikkelige hastighed u,
og dens øjeblikkelige acceleration er a. Vi kan ved at benytte ligning (3.50)
angive sammenhængen mellem accelerationen a i inertialsystemet S og ac-

36 Kinematiske konsekvenser
celerationen a ′ i inertialsystemet S ′
a =
1 − v
c
1 + u′ v
c2 2 3 Den omvendte transformation fra S ′ til S er
a ′
=
1 −
v 2
c
1 −
u v
c 2
3
a ′
a ′
(3.53)
(3.54)
Vi vil nu undersøge, om der findes et inertialsystem S ′ , således at for given
hastighed u og given acceleration a i S har accelerationen a ′ den størst mulige
værdi. Der skal altså foretages en sædvanlig maksimumsundersøgelse af den
kantede parentes i ligning (3.54). Da
d
d v
1 − v
1 −
c
u v
c2 2
=
c2
1 − v
c
u − v
2 1 − u v
c 2
2
(3.55)
ses, at den kantede parentes i ligning (3.54) har maksimum for v = u. I det
således fundne system er partiklens hastighed u ′ = 0. Dvs. det inertialsystem,
i hvilket partiklen har sin maksimale acceleration, er partiklens øjeblikkelige
hvilesystem.
Den maksimale værdi for partiklens acceleration i dens øjeblikkelige hvilesystem
er med v = u indsat i ligning (3.54)
3.5 Bevægelsesretning
a ′ = 1 − 3
u 2− 2 a (3.56)
c
En partikel, der bevæger sig retlinet med konstant hastighed i et inertialsystem,
vil også bevæge sig på en ret linje med konstant hastighed i et andet
inertialsystem. Lad partiklen bevæge sig i x ′ y ′ /xy-planen. Den vinkel α ′ ,
som en iagttager i inertialsystemet S ′ angiver som den, den pågældende linje
danner med x ′ -aksen, vil være en anden end den vinkel α, en iagttager i
inertialsystemet S angiver som linjens vinkel med x-aksen. Da retningen af
bevægelsen fastlægges af hastigheden, kan vi ved hjælp af hastighedstransformationen
finde sammenhængen mellem de to vinkler. Under anvendelse af

3.6 Lorentzforkortningen 37
ligningerne (3.33) og (3.34) fås
tan(α ′ ) = u′ y
u ′ x
=
1 − v
c
ux − v
2 uy
(3.57)
hvor u ′ x, u ′ y, ux og uy angiver hastighedskomponenterne for partiklen i henholdsvis
S ′ og S. Da ux = u cos(α) og uy = sin(α), hvor u er partiklens fart
i S, kan ligning (3.57) skrives
tan(α ′
1 −
) =
v 2
u sin(α)
c
(3.58)
u cos(α) − v
Ved at anvende den trigonometriske relation cos(α ′ ) =
finde ligning (3.22) ved at lade u → c i ligning (3.58).
3.6 Lorentzforkortningen
√ 1 vil vi gen-
1+tan2 (α ′ )
At måle længden af en stang i et inertialsystem vil sige, at til samme tidspunkt
i det pågældende inertialsystem iagttages rumkoordinaterne for stangens
endepunkter A og B. Den geometriske afstand mellem disse to punkter
er stangens længde. Stangen lægges langs med x, x ′ -aksen, og stangen er i
hvile i systemet S ′ . Til tiden t i system S er stedkoordinaterne til A og B i
S henholdsvis xA og xB. I systemet S ′ er de tilhørende x ′ er
x ′ A = xA − v t
v 1 − ( c )2
x ′ B = xB − v t
v 1 − ( c )2
(3.59)
(3.60)
Stangens længde i S er l = xB − xA. Stangens længde i S ′ er lo = x ′ B − x′ A
da endepunkterne A og B i S ′ jo til alle tider har samme x ′ -koordinater. Ved
brug af ligningerne (3.59) og (3.60) fås da sammenhængen mellem l og lo som
benævnes Lorentzforkortningen
2 v
l = lo 1 −
(3.61)
c
da der gælder l ≦ lo.
Forkortningen af et legeme i bevægelsesretningen var før Einstein blevet
benyttet af H.A. Lorentz og af G.F. FitzGerald til at "forklare" det negative
resultat af Michelson-Morleys forsøg på at vise jordens bevægelse gennem
æteren.

38 Kinematiske konsekvenser
3.7 Volumentransformation
Voluminet af et vilkårligt fysisk legeme kan findes ved at dele det op i en masse
små terninger og summere voluminerne af alle disse terninger. Vi kan også
orientere disse terninger, så de har akseparallelle kanter i legemets hvilesystem
S ′ . Set fra et andet system S i forhold til hvilket S ′ bevæger sig på
sædvanlig vis, vil terningernes længde i bevægelsesretningen være Lorentzforkortede,
medens kantlængderne i de to andre retninger vil være ens i de to
systemer. Dermed vil voluminet af en lille terning også være "volumenforkortet",
således at sammenhængen mellem legemets volumen Vo i hvilesystemet
S ′ og dets volumen V i systemet S er
V = Vo 1 − v
c
3.8 Vinkeltransformation
2
(3.62)
Et stykke vinkeljern ligger i hvile i inertialsystemet S ′ . Vinklens toppunkt
ligger i O ′ , højrebenet langs x ′ -aksen og venstrebenet ligger i x ′ y ′ -planen.
Vinklen mellem de to ben målt i S ′ er θ ′ .
y
S
x
Figur 3.2: Vinkeltransformation for et stykke vinkeljern med vinklens
højreben placeret langs x, x ′ -aksen.
Lad der fra O ′ til A på x ′ -aksen være en længdeenhed langt målt i S ′ . Altså
|O ′ A|S ′ = 1. Hvis vi fra A går tan(θ′ ) målt i S ′ i y ′ -aksens retning, kommer
vi netop op til punktet B på vinklens venstre ben. Se Fig. (3.2). Afstanden
|AB| er altså i S ′ tan(θ ′ ). Da afstande vinkelret på v er ens i S og S ′ , er
afstanden |AB| også i S tan(θ ′ ). Men afstanden |O ′ A| er i S Lorentzforkortet
til |O ′ A|S ′
v 1 − ( c )2 = 1 − ( v
c )2 . Heraf finder vi, at iagttageren i S måler
y ′
O ′
S ′
v
θ ′
B
A
x ′

3.8 Vinkeltransformation 39
vinklen til θ bestemt ved
tan(θ) = |AB|S
|O ′ A|S
= |AB|S ′
1 − ( v
c )2 = tan(θ′ )
v 1 − ( c )2
(3.63)
Hvis den vinkel, vi ønsker at transformere, ikke har det ene ben liggende
langs (eller parallel med) x, x ′ -aksen, kan vi dele den op i to vinkler, der hver
for sig har det ene ben liggende langs x, x ′ -aksen. I S ′ er vinklen θ ′ altså delt
op i θ ′ = θ ′ 1 + θ ′ 2. Se Fig. (3.3).
y
S
x
Figur 3.3: Vinkeltransformation for et stykke vinkeljern med vilkårlig placering
af vinklens ben.
Disse vinkler kan hver for sig transformeres til S ved hjælp af ligning (3.63)
y ′
tan(θ1) = tan(θ′ 1)
1 − ( v
c )2
tan(θ2) = tan(θ′ 2)
1 − ( v
c )2
S ′
v
θ ′ 1
θ ′ 2
x ′
(3.64)
(3.65)
1
Ved at benytte den trigonometriske relation cos2 (θ) = 1 + tan2 (θ) omskrives
ligning (3.64) til
cos(θ1) = cos(θ′ 1) 1 − ( v
c )2
1 − cos2 ′ (θ 1) ( v
c )2
(3.66)
Dette giver umiddelbart også
sin(θ1) =
sin(θ ′ 1)
1 − cos 2 (θ ′ 1) ( v
c )2
(3.67)
Tilsvarende relationer findes for θ2, θ ′ 2. Vinklen der måles i S er θ = θ1 + θ2.
Ved at anvende den trigonometriske relation cos(θ1 + θ2) = cos(θ1) cos(θ2) −

40 Kinematiske konsekvenser
sin(θ1) sin(θ2) fås efter en række omskrivninger under benyttelse af ligningerne
(3.66) og (3.67)
cos(θ) =
3.9 Tidsforlængelsen
cos(θ ′ ) − cos(θ ′ 1) cos(θ ′ 2) ( v
c )2
1 − cos 2 (θ ′ 1) ( v
c )2 1 − cos 2 (θ ′ 2) ( v
c )2
(3.68)
I systemet S ′ sker en begivenhed i O ′ til tiden t ′ 1. Senere sker en anden
begivenhed i O ′ til tiden t ′ 2. De tilsvarende tider i S er (benyt Loretztransformationen
med x ′ = 0)
t1 =
t2 =
t ′ 1
v 1 − ( c )2
t ′ 2
v 1 − ( c )2
(3.69)
(3.70)
Af ligningerne (3.69) og (3.70) får vi sammenhængen mellem de to tidsforløb
∆t = t2 − t1 og ∆t ′ = t ′ 2 − t ′ 1
∆t =
∆t ′
1 − ( v
c )2
(3.71)
Det ses at ∆t ≧ ∆t ′ . Sammenhængen udtrykt i ligning (3.71) benævnes
derfor tidsforlængelsen. Tiden, der måles på et ur i en partikels hvilesystem,
kaldes egentiden. Ligning (3.71) viser altså, at egentiden er mindre end tiden
målt på ethvert andet ur.
3.9.1 En alternativ udledning af tidsforlængelsen
En hul stang bevæger sig med hastighed v i forhold til en stationær iagttager.
Stangens længderetning er vinkelret på v. Se Fig. (3.4). Fra toppen A af
stangen sendes et lysignal mod bunden af stangen B ′ . I stangens hvilesystem
tager det tiden ∆t ′ at gennemløbe turen. For den stationære iagttager tager
det tiden ∆t. I dette tidsrum har stangen bevæget sig x = v ∆t i forhold til
den stationære iagttager. Da afstande vinkelrette på v har ens længde for
en iagttager, der følger med stangen, og for den stationære iagttager, kan vi
benytte Pythagoras til at få sammenhængen
(c ∆t ′ ) 2 = (c ∆t) 2 − (v ∆t) 2
(3.72)

3.10 Aberration 41
c ∆t ′
A
v
c ∆t
B ′ v ∆t B
Figur 3.4: Udledning af formlen for tidsforlængelse vha. udsendelse af lyssignal
i bevæget stang.
hvoraf fås
∆t =
∆t ′
1 − ( v
c )2
som netop er udtrykket for tidsforlængelsen.
3.10 Aberration
3.10.1 Aberration - klassisk
(3.73)
En regnvejrsdag med silende lodret faldende regndråber, hvis hastighed er u
i forhold til jorden, vil en cyklist, der cykler med hastighed v i forhold til
jorden, opleve, at dråberne kommer skråt ind imod ham med hastighed u ′ i
forhold til cyklisten. u ′ er givet ved Galileitransformationen for hastighed
u ′ = u − v (3.74)
Regndråbernes hastighed danner set fra cyklisten vinklen α med lodret. α er
bestemt ved
tan(α) = v
(3.75)
u
Se Fig. (3.5).
Ved at måle α og med kendskab til farten v kan regndråbernes fart u altså
bestemmes. Hvis cyklisten kører i en cirkelformet bane med konstant fart, vil
cyklisten opleve at regndråberne hele tiden kommer fra forskellige retninger,
men retningen vil hele tiden danne samme vinkel α med lodret som i ligning
(3.75).
Samme betragtning som ovenfor blev omkring 1725 benyttet af James Bradley
til at bestemme lysets fart. I stedet for regndråber og en cykeltur så Bradley

42 Kinematiske konsekvenser
Figur 3.5: "Cyklist" i regnvejr.
på lyset fra en stjerne på forskellige tidspunkter af året. Retningen til stjernen
synes at ændre sig gennem året. Dvs. ved at måle aberrationen og med
kendskab til jordens fart vJ i dens bane om solen kan lysets fart bestemmes
af
tan(α) = vJ
c
(3.76)
Bradleys måling af lysets fart vha. ligning (3.76) gav en bedre bestemmelse
af lysets fart end den, O. Rømer opnåede med sin metode i 1676.
3.10.2 Aberration - relativistisk
Vi vil beskrive lysudsendelsen fra stjernen i to inertialsystemer. Systemet S
er stjernens hvilesystem, og stjernen befinder sig et sted på den positive yakse
meget langt væk fra jordbaneplanen, således at hvis jorden stod stille,
ville retningen til stjernen være praktisk taget den samme for alle placeringer
af jorden. Lyset fra stjernen antages i dette tilfælde at rame vinkelret ned
på baneplanen. Jorden bestemmer inertialsystemet S ′ og jorden bevæger sig
med hastighed vJ langs x-aksen. Jorden befinder sig i origo i systemet S ′ .
Lysets hastighed i S er
vx = 0 (3.77)
vy = −c (3.78)

3.11 Dopplereffekt 43
I systemet S ′ er lysets hastighed
v ′ y = −c
v ′ x = −vJ
1 − vJ
c
Retningen til stjernen i systemet S ′ , altså i jordsystemet, er da
tan(α) = v′ x
v ′ y
=
2
vJ
c
1 − vJ
c
Da sin(α) = tan(α) √ kan ligning (3.81) omskrives til
1+tan2 (α)
sin(α) = vJ
c
2
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
Da vJ ≪ c er Bradleys resultat i ligning (3.76) en meget god tilnærmelse til
det relativistisk korrekte udtryk.
3.11 Dopplereffekt
Vi skal i dette afsnit se på lysudsendelse beskrevet ved lysets frekvens målt
i et inertialsystem og frekvensen af dette lys målt i et andet inertialsystem.
3.11.1 Longitudinal Dopplereffekt
En bølgegiver ligger stille i inertialsystemet S ′ . Bølgegiveren udsender lys
med frekvensen f ′ målt i S ′ . Se Fig. (3.6).
Udsendelse af et helt bølgetog tager i S ′ tiden t ′ = 1
f ′ . I inertialsystemet S
tager dette ifølge tidsforlængelsen tiden
∆t =
t ′
1 − ( v
c )2
(3.83)
I løbet af tiden ∆t bevæger bølgegiveren sig stykket ∆x = v ∆t i S. Det vil
sige, at tiden mellem udsendelse/modtagelse af to bølgetog målt i S er
t = ∆t + ∆x
c
= t′
1 + v
c
1 − v
c
(3.84)

44 Kinematiske konsekvenser
y
S
x
y ′
S ′
Figur 3.6: Dopplereffekt.
Da frekvensen målt i S er f = 1,
medfører ligning (3.84), at sammenhængen
t
mellem frekvenserne målt i de to inertialsystemer er
f = f ′
1 − v
c
1 + v
(3.85)
c
Ligning (3.85) er den relativistiske Dopplereffekt 3 , hvor lyskilden bevæger sig
efter forbindelseslinjen mellem iagttager og kilde. Effekten benævnes i dette
tilfælde også den longitudinale Dopplereffekt.
Den urelativistiske Dopplereffekt er i dette tilfælde givet ved
furel = f ′
1
1 + v
c
v
x ′
(3.86)
For at udlede ligning (3.86) bemærker vi, at der ved en urelativistisk betragtning,
hvor vi benytter Galileitransformationen for tid, ikke er forskel på ∆ t
og t ′ . Dermed bliver tiden mellem de to bølgetog i S t = t ′ (1 + v),
således
c
udtrykket for frekvensen netop er som påstået i ligning (3.86).
Ligning (3.85) er udledt under den forudsætning, at kilden bevæger sig væk
fra iagttageren. Hvis kilden bevæger sig mod iagttageren, skal plus i ligning
(3.84) laves om til minus og omvendt, og i stedet for ligning (3.85) fås
f = f ′
1 + v
c
1 − v
(3.87)
c
3 Effekten er opkaldt efter C. Doppler, der i 1842 argumenterede, med forkerte begrundelser,
for en frekvensændring, når kilde og modtager bevæger sig i forhold til hinanden.

3.11 Dopplereffekt 45
Den urelativistiske udgave af Dopplereffekten er i dette tilfælde
furel = f ′
1
1 − v
c
(3.88)
Se Fig. (3.7). For v ≪ c kan ligningerne (3.85) og (3.86) ved rækkeudvikling
f modtaget /f afsendt
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Relativistisk Dopplereffekt
Urelativistisk Dopplereffekt
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
v/c
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figur 3.7: Relativistisk og urelativistisk Dopplereffekt. Graferne viser forholdet
mellem den frekvens, som modtageren måler, og den frekvens, som afsender
måler, som funktion af afsenderens hastighed i forhold til modtageren.
til anden orden approksimeres ved henholdsvis
f ≈ f ′ 1 − v 1
+
c 2
v 2 c
(3.89)
og
furel ≈ f ′ 1 − v v 2 + (3.90)
c c
Det er altså kun en andenordenseffekt, der adskiller den relativistiske Dopplereffekt
fra den urelativistiske Dopplereffekt for samme hastighed. Dette fremgår
også af Fig. (3.7), hvor det ses, at for | v|
< 0.25 er de to grafer næsten sam-
c
menfaldende.

46 Kinematiske konsekvenser
I stedet for at se på sammenhængen mellem frekvenserne i de to inertialsystemer
kan vi se på sammenhængen mellem bølgelængderne. Her gælder i
det relativistiske tilfælde, hvis kilden bevæger sig væk fra iagttageren
λrel = λ ′
1 + v
c
1 − v
(3.91)
c
Den relative bølgelængdeændring, som astronomerne kalder rødforskydningen,
bliver
zrel = λrel − λ ′
λ ′
1 +
=
v
c
1 − v
c
− 1 (3.92)
Den urelativistiske sammenhæng mellem bølgelængderne er i dette tilfælde
λurel = λ ′ (1 + v)
(3.93)
c
Den urelativistiske relative bølgelængdeændring bliver her
zurel = λurel − λ ′
λ ′
= v
c
(3.94)
Hvis vi kun tager led med op til første orden i v,
kan det relativistiske resultat
c
for rødforskydningen (se ligning (3.92)) approksimeres ved
zrel ≈ v
c
som er det resultat, en urelativistisk betragtning giver.
3.11.2 Vilkårlig retning af lyset
(3.95)
Hvis lyskilden ikke bevæger sig efter forbindelseslinjen mellem kilde og iagttager,
skal ligning (3.85) modificeres. Lad bølgegiveren bevæge sig med hastighed
v målt af iagttageren langs linjen l. Se Fig. (3.8).
Til et givet tidspunkt udsendes en bølgetop fra kilden i punktet A. Retningen
til bølgegiveren er givet ved vinklen θ set fra iagttageren. Efter at der er
forløbet en periode t ′ målt i kildens hvilesystem, er kilden kommet til punktet
B og udsender en ny bølgetop. Retningen til bølgegiveren er stadig θ set
fra iagttageren, da vi forudsætter, at afstanden mellem kilde og iagtager er
meget stor. Tidsforskellen mellem modtagelsen af de to bølgetoppe målt af
iagttageren kan nu findes som før.

3.11 Dopplereffekt 47
θ
v A B
Iagttager
Figur 3.8: Dopplereffekt for vilkårlig retning til kilde.
C
t ′
√ v
1−( c
v t′ √ v
1−( c
Iagttageren finder, at det tager tiden ∆t = at bevæge sig fra punktet
)2
A til punktet B. Dvs. |AB| = v ∆t = . Signalet, som sendes fra B til
)2
iagttageren, skal endvidere bevæge sig stykket |BC| = |AB| cos(θ) længere
end før, hvilket i S tager tiden |BC|
c . Altså er tiden målt af iagttageren mellem
modtagelsen af de to bølgetoppe
t = ∆t + |BC|
c =
t ′ v
(1 + cos(θ)) (3.96)
v 1 − ( )2 c
c
Af ligning (3.96) fås umiddelbart sammenhængen mellem frekvensen f ′ målt
i kildens hvilesystem og frekvensen f målt af iagttageren
f = f ′
v 1 − ( c )2
1 + v
v
′ 1 − ( c = f
cos(θ) c )2
1 + vr
(3.97)
c
hvor vr = v cos(θ) er radialhastigheden mellem kilde og iagttager. Hvis θ = 0
ses, at ligning (3.97) er den samme som ligning (3.85), og hvis θ = π ses, at
ligning (3.97) er den samme som ligning (3.87).
3.11.3 Transversal Dopplereffekt
Hvis bølgegiveren bevæger sig vinkelret på iagttagerens retning til bølgegiveren,
dvs. hvis vinklen θ i ligning (3.97) er 90o , gælder
f = f ′
1 − v 2 (3.98)
c
l

48 Kinematiske konsekvenser
som er den transversale Dopplereffekt. Ligning (3.98) følger også af, at bølgegiveren
her ikke bevæger sig væk fra iagttageren. Bølgen skal derfor flytte sig
samme strækning for at nå frem til modtageren. Vi kan derfor direkte benytte
ligning (3.83) til at finde frekvenserne ved at tage de reciprokke værdier af de
indgående tider. Urelativistisk er der i denne situation ingen frekvensændring.
En iagttager i centrum af en cirkel, på hvis periferi en bølgegiver kører rundt,
vil i det urelativistiske tilfælde ikke hævde, at der er forskel på hans iagttagne
frekvens og på den frekvens, bølgegiveren iagttager. Årsagen til dette er, at
urelativistisk er der ingen forskel på længden af tidsforløb for iagttager og
bølgegiver, men det er der som bekendt ved en relativistisk betragtning.

Kapitel 4
Relativistisk dynamik: Indledning
Dette kapitel beskæftiger sig med fastlæggelse af relativistisk impuls, relativistisk
energi, samt hvorledes disse størrelser transformerer ved overgang
fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. Dernæst opstilles den relativistiske
bevægelsesligning, som erstatter Newtons 2. lov.
4.1 Impuls
En af den ikke-relativistiske fysiks grundlæggende sætninger er loven om impulsens
bevarelse i et isoleret system. Impulsen af en partikel med masse m
er som bekendt her givet ved p = m u, hvor u er partiklens hastighed. I den
relativistiske fysik vil det være naturligt også at forvente/kræve, at impulsen
for et isoleret system også er bevaret. Endvidere må vi kræve, at impulsbevarelsessætningen
er gyldig i alle inertialsystemer, og at vi ved overgang fra et
inertialsystem til et andet inertialsystem skal benytte Lorentztransformationen.
En længere analyse (se næste afsnit) af disse forudsætninger fører frem
til, at impulsen i den relativistiske fysik ikke kan være givet ved p = m u,
men må erstattes af
p =
m u
1 − ( u
c )2
(4.1)
hvor m er partiklens hvilemasse, dvs. den masse partiklen har i sit hvilesystem.
(Hvis partiklen er masseløs som f. eks. fotonen, findes der ikke noget
hvilesystem. I et sådant tilfælde kan impulsen findes ved hjælp af energien).
For meget små hastigheder, |u| ≪ c, er 1 − ( u
c )2 ≈ 1, og dermed er p ≈ mu.
Definitionen af den relativistiske impuls er altså for små hastigheder sammenfaldende
med den ikke-relativistiske definition af impulsen.
49

50 Relativistisk dynamik: Indledning
4.2 Relativistisk impuls
For at finde udtrykket for den relativistiske impuls vil vi antage, at impulsen
er en bevaret størelse i et isoleret system i alle inertialsystemer, og at impulsen
er en vektor i hastighedens retning
p = m f(u) u (4.2)
hvor m er partiklens hvilemasse, og f(u) er en ukendt funktion af partiklen
fart u. For at komme lettere gennem regningerne vil vi stedet for farten u
1
benytte γ-faktoren γ = √ u som den uafhængige variable. Funktionen
1−( )2
c
f(u) bliver dermed erstattet af g(γ), således at vi i stedet for udtrykket i
ligning (4.2) vil se på
p = m g(γ) u (4.3)
Vi ønsker at bestemme forskriften for funktionen g. For at den relativistiske
impuls skal falde sammen med den urelativistiske impuls for små hastigheder,
dvs. for γ tæt på 1, skal gælde g(1) = 1.
Lad os se på et isoleret system bestående af to ens partikler. Partiklerne er
altså isolerede fra omverdenen, men de kan vekselvirke med hinanden. Der
sker nu et elastisk stød mellem disse to partikler. Vi vil betragte dette stød
fra to inertialsystemer, S og S ′ . I inertialsystemet S har den ene partikel
hastigheden uf (f for før) i den positive x-akses retning, og den anden partikel
ligger stille. Se Fig. (4.1).
Inertialsystemet S ′ er valgt således, at de to partikler har samme fart, modsatrettede
hastigheder og således, at bevægelsen foregår før stødet langs x ′ -
aksen. I S ′ er hastighederne altså henholdsvis +v og −v langs x ′ -aksen, hvor
v er hastigheden af S ′ i forhold til S. Se Fig. (4.2).

4.2 Relativistisk impuls 51
y
S
−→
uf
Figur 4.1: Stødet i inertialsystem S før sammenstød.
y ′
S ′
−→ v − −→ v
Figur 4.2: Stødet i inertialsystem S ′ før sammenstød.
x
x ′

52 Relativistisk dynamik: Indledning
Sammenhængen mellem uf i S og v i S ′ findes af formlen for den relativistiske
addition af hastigheder
uf =
v + v
1 +
v v
c 2
=
2 v
1 + ( v
c )2
(4.4)
Vi vil nu se på et stød, der resulterer i, at den ene partikel bevæger sig i
y ′
S ′
−→ v
− −→ v
Figur 4.3: Stødet i inertialsystem S ′ efter sammenstød.
den positive y ′ -akses retning i S ′ . Da vi har antaget, at impulsen er bevaret,
og da impulsen i y ′ -aksens retning er nul før stødet, må den anden partikel
bevæge sig i den negative y ′ -akses retning efter stødet. Stødet er endvidere
antaget at være elastisk, så farten af partiklerne må være uændrede i S ′ . De
har altså også begge farten v i S ′ efter stødet. Se Fig. (4.3)
Set fra S ser situationen efter stødet ud som på Fig. (4.4) Fra formlen for den
relativistiske addition af hastigheder fås for den øverste partikel hastigheden
efter henholdsvis x- og y-aksens retning (e for efter)
ux,e =
0 + v
1 +
c )2
v ·0
c2 uy,e = v 1 − ( v
1 +
0 ·v
c 2
= v
x ′
= v (4.5)
1 − ( v
c )2 (4.6)
For den nederste partikel er hastigheden i y-aksens retning numerisk den
samme som for den øverste partikel, men fortegnet er minus. Hastigheden i

4.2 Relativistisk impuls 53
y
S
Figur 4.4: Stødet i inertialsystem S efter sammenstød.
x-aksens retning er ens for de to partikler. Farten målt i S for de to partikler
er dermed den samme
u 2 e = u 2 x,e + u 2 y,e = v 2 (2 − ( v
c )2 ) (4.7)
Den samlede impuls henholdsvis før og efter stødet er i inertialsystemet S
pf = m g(γf) uf = 2 m g(γf)
v
1 + ( v
c )2
x
(4.8)
pe = 2 m g(γe) v (4.9)
Vektorstregerne er droppede, da vi kun ser på impulsen i x-aksens retning.
Da der gælder impulsbevarelse i S, er pe = pf, og af ligningerne (4.8) og (4.9)
fås
g(γf)
Ved hjælp af ligning (4.4) findes
Af ligning (4.7) findes
γf =
γe =
1
1 + ( v
c )2 = g(γe) (4.10)
1 − ( uf
c )2
1
− 2
1 − ( ue
c )2
1
− 2
= 1 + ( v
=
c )2
1 − ( v
c )2
1
1 − ( v
c )2
(4.11)
(4.12)

54 Relativistisk dynamik: Indledning
Af ligningerne (4.11) og (4.12) følger
γf
γe
= 1 + ( v
c )2
Under anvendelse af ligning (4.13) kan ligning (4.10) omskrives til
g(γf)
Af ligningerne (4.11) og (4.12) udledes
Ligning (4.14) kan så skrives
g(γf)
γf
γf
= g(γe)
γe
1
2 (γf + 1) = γe
= g( 1
2 (γf + 1))
1
2 (γf + 1)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Lad os kalde den uafhængige variable i ligning (4.16) w samt indføre funktionen
h ved
h(w) = g(w)
for w ≧ 1 (4.17)
w
således at ligning (4.16) kan skrives
h(w) = h( 1 (w + 1)) (4.18)
2
For funktionen h gælder h(1) = 1. Endvidere har h den egenskab, at h(w) er
det samme tal som funktionsværdien af det tal, der ligger midt mellem 1 og
(w + 1). Vi kan så igen benytte ligning (4.18) og sige, at
w altså tallet w1 = 1
2
1
w3
w2
w1
Figur 4.5: Talfølgen wn.
h(w1) er det samme tal som funktionsværdien af det tal, der er middelværdien
af 1 og w1: w2 = 1
2 (1 + w1). Således fortsættes. Vi får altså en talfølge
w, w1, w2, w3, w4, . . . med tal, som kommer tættere og tættere på 1, og som
alle har samme funktionsværdi for funktionen h. Se Fig. (4.5). Da funktionen
antages at være "pæn", dvs. kontinuert fra højre, må h(w) = h(1) = 1. Af
ligning (4.17) følger da
g(x) = x (4.19)
w

4.3 Kraft 55
Da funktionen g nu er fastlagt, er også den relativistiske impuls fundet
p =
m
u (4.20)
u 1 − ( )2
c
At den således definerede relativistiske impuls er en bevaret størrelse for et
isoleret system i andre tilfælde end det her betragtede, kan kun afgøres ved
eksperimentets hjælp. Det er en eksperimentel kendsgerning, at impulsen
med definitionen givet i ligning (4.20) er en bevaret størrelse i et isoleret
system.
4.3 Kraft
4.3.1 Definition af kraft
Vi betragter nu en enkelt partikel. Hvis dens impuls givet ved ligning (4.20)
ændrer sig, vil vi sige, at partiklen er påvirket af en kraft F , som er defineret
ved
F = dp
(4.21)
dt
Ligning (4.21) er altså en definitionsligning for kraft i det relativistiske tilfælde.
For |u| ≪ c er ligning (4.21) den gammelkendte Newtons anden lov,
da p jo så er sammenfaldende med den urelativistiske impuls.
På samme måde som vi i den ikke-relativistiske mekanik kan benytte Newtons
anden lov til at bestemme en partikels bevægelse, hvis kraften er kendt,
kan vi også her vha. ligning (4.21) i det relativistiske tilfælde finde partiklens
bane, hvis kraften F er givet. Ligning (4.21) er dermed også den relativistiske
bevægelsesligning.
4.3.2 Kraft og acceleration.
For også her at se på sammenhængen mellem kraft og acceleration omskrives
højresiden af ligning (4.21)
dp
dt
d m u
=
dt
1 −
u 2
c
m
=
1 − du
u 2 dt
c
+ m d
dt
1
1 − u
c
2
u
(4.22)

56 Relativistisk dynamik: Indledning
Lad os se på sidste led i ligning (4.22)
m d
dt
1
u = − m
2
1
1 −
2
hvor
1 − u
c
= 1 m
2
1 −
= 1 m
2
1 −
=
1 −
er den sædvanlige acceleration.
Dvs. ligning (4.21) bliver
F =
m
1 −
u
c
m
u
c
3
2
u
c
3
2
u
c
3
2
u
c
a = du
dt
a +
2
−3 2
2 −1
c2 du 2
dt u
1
c 2
d 2
ux + u
dt
2 y + u 2 z u
1
c2
dux duy
2 ux + 2 uy
dt dt
1
(a · u) u
c2 1 −
m
3
2
u
c
+ 2 uz
duz
u
dt
(4.23)
(4.24)
1
(a · u) u (4.25)
c2 En del af kraften går i accelerationens retning, og en del af kraften går i
hastighedens retning. Det er dermed ikke muligt at definere massen af en
partikel som forholdet mellem kraft og acceleration. Kraften og accelerationen
går altså ikke nødvendigvis i samme retning i en relativistisk regning, som
de jo gør i en klassisk regning.
Ved at tage skalarproduktet mellem F og u fås af ligning (4.25)
F
m
m 1 2
· u =
+
2 3 u a · u (4.26)
2 c2 1 − 1 −
Heraf fås umiddelbart
u
c
a · u =
=
1 − u
c
m
u
c
m
1 − u
c
2 3
2 3
a · u (4.27)
F · u (4.28)

4.3 Kraft 57
Ligning (4.28) benyttes i ligning (4.25), hvorved fås
F =
m
1 −
Ved at omskrive ligning (4.29) til
m
1 −
u
c
u
c
a +
2 F · u
u (4.29)
c2 a =
2 F − F · u
u (4.30)
c2 ses, at accelerationen består af to led. Det ene led (∝ ( F · u) u) er parallel
med hastigheden u, og det andet led er parallel med kraften.
Ved at benytte ligning (4.30) ses at kraften og accelerationen er i samme
retning i netop to tilfælde. Det ene tilfælde er, hvis kraft og hastighed er
parallelle, da der så gælder
F
m
=
1 − 3 a (4.31)
u 2
c
Det andet tilfælde er, hvis kraft og hastighed er ortogonale, da der så gælder
F
m
=
1 − a (4.32)
u 2
c
I ingen af tilfældene er proportionalitetsfaktoren mellem kraft og acceleration
lig partiklens masse m. Endvidere ses, at de to proportionalitetsfaktorer er
forskellige.
4.3.3 Newtons tredje lov?
I urelativistisk fysik gælder som bekendt Newtons tredje lov: "aktion lig
reaktion". Men Newtons tredje lov kan ikke, som vi nu vil argumentere for,
overføres til den relativistiske udgave af mekanikken. Lad to partikler påvirke
hinanden, og lad det være givet, at til et bestemt tidspunkt t i inertialsystemet
S påvirker de to partikler hinanden med kræfter, der netop opfylder kravet
om aktion lig reaktion. I ethvert andet inertialsystem i bevægelse i forhold til
S vil disse to kræfter ikke påvirke partiklerne til samme tidspunkt, medmindre
der er tale om kontaktkræfter. For kræfter, der som gravitationskraften
og Coulombkraften virker over afstand, og da intet signal kan udbrede sig
momentant, kan Newtons tredje lov ikke opretholdes ved relativistiske betragtninger.

58 Relativistisk dynamik: Indledning
4.4 Relativistisk energi
Kraftens arbejde pr. tidsenhed, effekten, defineres ved
P = dA
dt = F · u (4.33)
Endvidere defineres i overensstemmelse med arbejdssætningen den kinetiske
energi Ekin ved
dEkin
dt = F · u (4.34)
med den naturlige randbetingelse, at Ekin = 0 for |u| = 0.
Vha. ligningerne (4.20), (4.21) og (4.34) kan vi finde den relativistiske kinetiske
energi. Under forudsætning af at bevægelsen er endimensional fås
som med Ekin(0) = 0 giver
t
Ekin =
0
F u dt =
t
0
dEkin
dt
m u
= u u 1 − ( )2
c
dp
u dt =
dt
u
0
= F u (4.35)
−
u
0
u
0
m u
u d
u 1 − ( c )2
(4.36)
m u
du (4.37)
u 1 − ( )2
c
Det sidste integral i ligning (4.37) udregnes let ved substitution, og dermed
har vi som resultat, at den relativistiske kinetiske energi er givet ved
Ekin =
m c2
− m c2
u 1 − ( )2
c
(4.38)
Vi behandler dernæst det generelle tilfælde, hvor kraft og hastighed ikke
nødvendigvis er parallelle. Definitionen på kinetisk energi ligning (4.34) omskrives
v.hj.a. ligning (4.27) til
dEkin
dt =
m
1 − u
c
2 3
u · d u
d t
= d
d t
m c 2
1 − ( u
c )2
(4.39)
Hvoraf vi ved integration får det generelle udtryk for den relativistiske kinetiske
energi
m c2
Ekin =
1 − ( u
c )2
− m c 2
(4.40)

4.4 Relativistisk energi 59
For lave hastigheder, hvor |u| ≪ c, er
Ekin =
1−
1
u
m c2
u 1 − ( c )2 − m c2 ≈ 1 m u2
2
c
≈ 1+ 2 1 u ( 2 c )2 , og dermed bliver
(4.41)
Den relativistiske kinetiske energi er altså i grænsen for lave hastigheder
sammenfaldende med definitionen på den urelativistiske kinetiske energi.
Dernæst defineres en partikels totale energi som 1
E = Ekin + m c 2 =
m c2
u 1 − ( c )2
Størrelsen m c 2 benævnes partiklens hvileenergi. Se Fig. (4.6).
E/mc 2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(4.42)
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
u/c
0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figur 4.6: Den totale relativistiske energi i forhold til hvileenergien.
1 Ligning (4.42) giver den korrekte relativistiske tolkning af forsøget vist på Fig. (1.4)
side 8.

60 Relativistisk dynamik: Indledning
Af ligningerne (4.20) og (4.42) fås ved direkte udregning den meget vigtige
relation
E 2 − c 2 |p| 2 = (m c 2 ) 2
(4.43)
Ligningen kaldes undertiden ’Den relativistiske Pythagoras’. Se Fig. (4.7). Da
E
c p
m c 2
Figur 4.7: Den relativistiske Pythagoras.
højresiden af ligning (4.43) kun indeholder partiklens hvilemasse og lyshastigheden,
der begge har samme værdi i alle inertialsystemer, vil venstresiden af
ligning (4.43) altså også være den samme, ligegyldigt i hvilket inertialsystem
den totale energi og impulsen er målt. Vi siger, at E 2 − c 2 |p| 2 er Lorentzinvariant.
Af ligningerne (4.20) og (4.42) for henholdsvis den relativistiske impuls og
den totale relativistiske energi får vi sammenhængen
p = E
u (4.44)
c2 Denne ligning kan bruges til at finde partiklens totale relativistiske energi,
hvis det er muligt at bestemme både partiklens hastighed og dens relativistiske
impuls.
4.5 Transformation af impuls og energi
4.5.1 Impulsen parallel med v
Da vi kender transformationsformlerne for hastighed, kan vi også finde sammenhængen
mellem impulsen og energien målt i to forskellige inertialsystemer.
For at simplificere regningerne antager vi, at partiklens hastighed og
dermed dens impuls er rettet efter x, x ′ -akserne. Se Fig. (4.8).

4.5 Transformation af impuls og energi 61
y
S
p
x
Figur 4.8: Transformation af impuls med impulsen rettet efter x, x ′ -aksen.
Lad os først se på impulsen p ′ x i systemet S ′ . Under anvendelse af hastighedstransformationen
for u ′ x kan den skrives
p ′ x =
m u ′ x
1 − ( u′ x
c )2
=
y ′
m
S ′
1 − ( u′ x
c )2
v
· ux − v
1 −
ux v
c 2
Der indgår stadig størrelser målt i S ′ . Dem skal vi af med.
1 − ( u′ x
c )2 = 1 −
= 1 + ( ux v
ux − v
1 −
ux v
c 2
2
c2 ) 2 − ( ux
c )2 − ( v
c )2
= (1 − ( ux
(1 −
c )2 ) (1 − ( v
c )2 )
(1 −
· 1
c 2
x ′
(4.45)
(4.46)
ux v
c 2 ) 2 (4.47)
ux v
c 2 ) 2 (4.48)
Denne omskrivning, der ledte os frem til udtrykket i ligning (4.48), benyttes
nu i ligning (4.45), og p ′ x bliver nu kun udtrykt ved størrelser målt i S
p ′ x =
m ux √ v
ux −
1−( ) 2 c
c 2 m c · 2
√ ux 1−( ) c 2
1 − ( v
c )2
(4.49)
Det ses, at ligning (4.49) indeholder px og E, begge målt i systemet S. Vi
har nu fundet transformationsformlen for impulsen
p ′ x = px − v
c 2 E
1 − ( v
c )2
(4.50)

62 Relativistisk dynamik: Indledning
For energien kan vi lave helt samme regnestykke ved igen at benytte omskrivningen,
der førte frem til udtrykket i ligning (4.48)
E ′ =
m c 2
1 − ( u′ x
c )2
=
=
ux v m (1 − c2 ) c2
ux 1 − ( c )2 1 − ( v
c )2
m c2 √ ux 1−( ) c 2 − v m ux √ ux 1−( ) c 2
1 − ( v
c )2
(4.51)
(4.52)
Her genkendes E og px, begge målt i S, og transformationen for energien er
dermed også bestemt
E ′ =
E − v px
1 − ( v
c )2
(4.53)
I det her betragtede simple tilfælde, hvor hastighederne er rettede efter x, x ′ -
akserne gælder umiddelbart py = 0 og p ′ y = 0 samt pz = 0 og p ′ z = 0. I
det almene tilfælde, hvor hastighederne kan have vilkårlig retning, gælder
for impulstransformationerne vinkelret på medføringshastigheden v af S ′ , at
impulserne er ens, dvs.
p ′ y = py og p ′ z = pz
4.5.2 Impulsen i vilkårlig retning
(4.54)
Transformationen for p og E, i tilfældet hvor p også har en komposant vinkelret
på inertialsystemet S ′ ’s hastighed v, kan findes på helt samme måde som
ovenfor. Regnestykket er kun lidt længere.
Vi kan altid vælge koordinatakser, således at p kun har komposanter i xretningen
og i y-retningen. Hvis p havde en z-komposant, kunne vi blot foretage
en drejning af inertialsystemet S, således at pz = 0 og en tilsvarende
drejning af inertialsystemet S ′ så p ′ z = 0. Det er altså nok at se på transformation
af px og py (eller p ′ x og p ′ y). Se Fig. (4.9).
I både impulsen og energien vil størrelserne ( |u|
c )2 og ( |u′ |
c )2 optræde. Her er
|u| 2 = u2 = u2 x + u2 y og |u ′ | 2 = u ′2 ′ 2 ′ 2
= u x + u y . Ved igen at benytte transfor-
mationen for hastighed får vi

4.5 Transformation af impuls og energi 63
y
S
p
x
Figur 4.9: Transformation af impuls med impulsen i vilkårlig retning.
1 − ( u′
c )2 = 1 − 1
c 2
= 1 − ( v
y ′
(ux − v) 2
(1 −
S ′
v
v ux
c2 ) 2 + u2y (1 − ( v
c )2 )
v ux (1 − c2 ) 2
c )2 − ( u
c )2 + ( v
c )2 ( u
= (1 − ( v
(1 −
c )2 ) (1 − ( u
(1 −
c )2
x ′
(4.55)
v ux
c 2 ) 2 (4.56)
c )2 )
v ux
c 2 ) 2 (4.57)
(Jævnfør denne udregning med regningerne fra ligning (4.46) til ligning (4.48)).
Omskrivningerne, der førte frem til ligning (4.57) benyttes nu i omskrivningen
af impulserne p ′ x og p ′ y og af energien E ′ . For p ′ x fås under anvendelse af
hastighedstransformationen og ligning (4.57)
p ′ x =
m u ′ x
1 − ( u′
c )2
= m (ux − v)
v ux 1 − c2 v ux 1 − c2
u 1 − ( c )2 1 − ( v
c )2
m ux √ v
u −
1−( )2 c
c 2
=
v 1 − ( c )2
Heraf ses, at den søgte transformation er
m c2 √ u
1−( c )2
p ′ x = px − v
c 2 E
1 − ( v
c )2
For impulsen i y ′ -retningen fås på samme måde
p ′ y =
m u ′ y
1 − ( u′
c )2
(4.58)
(4.59)
(4.60)
(4.61)

64 Relativistisk dynamik: Indledning
= m uy
v 1 − (
1 −
v ux
c 2
Men dette er jo netop
c )2
v ux 1 − c2
u 1 − ( c )2 1 − ( v
c
p ′ y = py
)2 =
m uy
u 1 − ( c )2
(4.62)
(4.63)
Transformationen for energien udledes ligeledes ved at benytte ligning (4.57)
Det vil sige
E ′ =
m c2
1 − ( u′
c )2
=
=
m c2 √ u
1−( c
E ′ =
m c2
u 1 − ( c )2
√ u
1−( c )2
m ux − v
)2
v 1 − (
c )2
E − v px
1 − ( v
c )2
v ux 1 − c2
v 1 − (
c )2
(4.64)
(4.65)
(4.66)
Hvis den rumlige del af vore inertialsystemer ikke på forhånd var valgt, så
pz = 0 og p ′ z = 0, men havde fra nul forskellige værdier, ville vi også få, at
impulserne i z, z ′ -retningen var ens i de to inertialsystemer, altså at p ′ z = pz.
Det endelige resultat for transformation af den relativistiske energi og impuls
er dermed
p ′ x = px − v
c2 E
v 1 − ( c )2
p ′ y = py
p ′ z = pz
E ′ =
E − v px
1 − ( v
c )2
4.6 Transformation af kraft
Af sammenhængen
fås ved differentiation m.h.t. t
E 2 − (c p) 2 = (m c 2 ) 2
2 E dE
dt − 2 c2 p · dp
dt
dE
dt
= c2 p
E
(4.67)
(4.68)
(4.69)
(4.70)
(4.71)
= 0 ⇔ (4.72)
· dp
dt = u · F (4.73)

4.7 Ækvivalensen mellem masse og energi 65
Ved hjælp af ligning (4.73) samt Lorentztransformationen for impuls og for
tid kan vi nu finde sammenhængen mellem kraften F ′ i inertialsystemet S ′
og kraften F i inertialsystemet S. For kraften F ′ i systemet S ′ gælder for
x ′ -komponenten
F ′ x = dp′ x
=
dt ′
F ′ x =
F ′ x =
d
dt
dp ′ x
dt
dt ′
dt
v E
px−
c2 √ v
1−(
c )2
v x
d t−
c
dt
2 √ v
1−( c )2
dpx
dt
v − c2 dE
dt
v ux
c2 1 −
F ′ x = Fx − v
For y ′ -komponenten findes tilsvarende
Analogt fås
F ′ y = dp′ y
=
dt ′
F ′ y =
F ′ y = Fy
F ′ z = Fz
c2 u · F
1 −
v ux
c 2
dp ′ y
dt
dt ′
dt
d
dtpy v ux
1−
c2 √ v
1−( c )2
1 − ( v
1 −
v ux
c 2
1 − ( v
1 −
v ux
c 2
⇔ (4.74)
⇔ (4.75)
⇔ (4.76)
(4.77)
⇔ (4.78)
⇔ (4.79)
c )2
c )2
(4.80)
(4.81)
Vi kan altså konkludere, at i den relativistiske udgave af mekanikken er
kraften ikke en Lorentzinvariant størrelse. Dette står imodsætning til den
urelativistiske udgave af mekanikken, hvor kraften er Galileiinvariant.
Vi kan ligeledes se, at ligningerne for kraftens transformation ikke har samme
form som Lorentztransformationen for tid og sted.

66 Relativistisk dynamik: Indledning
m m
u −u
Før stød
mny
Efter stød
Figur 4.10: Omdannelse af energi til masse.
4.7 Ækvivalensen mellem masse og energi
Vi betragter et uelastisk stød mellem to ens partikler, som støder frontalt
sammen og danner en ny partikel. Se Fig. (4.10).
Lad de to partikler hver have en hvilemasse på m og den nydannede partikel
hvilemassen mny. De to ens partikler har hastighederne u og −u efter x-aksen
i systemet S. I S gælder da for de to partiklers impuls p1 og p2
p1 + p2 = 0 (4.82)
Da impulsen er bevaret, er impulsen for den nye partikel p3 = 0, og den
nye partikel ligger altså stille i systemet S. I et andet inertialsystem, S ′ , har
partiklerne andre impulser, men impulsbevarelsen er stadig opfyldt
p ′
1 + p ′
2 = p ′
3
(4.83)
Disse impulser kan udtrykkes ved størrelser observeret i S vha. ligning (4.50)
p ′ 1x + p ′ 2x = p1x − v
c2 E1
v 1 − ( c )2 + p2x − v
c2 E2
v 1 − ( c )2
= p1x + p2x
v 1 − ( c
)2 −
v
c2 (E1 + E2)
v 1 − ( c )2
= p ′ 3x = p3x − v
c 2 E3
1 − ( v
c )2
(4.84)
(4.85)
(4.86)

4.8 Lys 67
hvor E1 og E2 er energierne af de to ens partikler og E3 er energien af den
nye partikel, alle målt i systemet S.
Da p1x + p2x = p3x = 0 får vi af de to sidste ligninger
E1 + E2 = E3
(4.87)
Vi har altså vist, at under antagelse af at impulsen er bevaret, er også den
totale relativistiske energi bevaret. Endvidere fås af ligning (4.87) samt
at
E1 = E2 =
m c2
u 1 − ( c )2 og E3 = mny c 2
mny c 2 =
2 m c2
1 − ( u
c )2
(4.88)
(4.89)
Bemærk at mny er større end summen af de to oprindelige partiklers hvilemasser,
og at forskellen ∆m = mny − 2 m er bestemt af
∆m c 2 = mny c 2 − 2 m c 2
2 m c
= 2 − m c2 = 2 Ekin (4.90)
u 1 − ( )2
c
hvor Ekin er den kinetiske energi af én partikel. Den kinetiske energi af de
to oprindelige partikler er altså omdannet til hvilemasse i den nydannede
partikel.
4.8 Lys
Lys med frekvens f er ifølge Einsteins forklaring af den fotoelektriske effekt
en strøm af fotoner med energi
E = h f (4.91)
hvor h er Plancks konstant. Da fotonen er masseløs er den tilhørende impuls
p =
h f
c
4.8.1 Longitudinal Dopplereffekt
(4.92)
Vi kan nu benytte transformationsegenskaberne for energi og impuls til at
udlede Dopplereffekten for lys. I inertialsystemet S ′ , hvor lysgiveren er i
hvile, udsendes lys i x ′ -aksens retning med frekvensen f ′ og dermed energien

68 Relativistisk dynamik: Indledning
y ′
S ′
Mod iagttager Iagttager Væk fra iagttager
v
x ′
y
S
Figur 4.11: Ny udledning af Dopplereffekt.Der ses på to tilfælde: Kilde på
vej mod iagttager og kilde på vej væk fra iagttager.
h f ′
c
E ′ = h f ′ og impulsen p ′ x = . Se Fig. (4.11).
I inertialsystemet S er energien da i tilfældet ’Mod iagttager’
E = E′ + v p ′ x
som da E = h f umiddelbart giver
1 − = h f
v 2
c
′
f = f ′
1 + v
c
1 − v
c
1 + v
c
1 − v
c
Tilfældet ’Væk fra iagttager’ er helt analogt, blot med fortegnsskift
som dermed giver
1 − = h f
v 2
c
′
E = E′ − v p ′ x
f = f ′
1 − v
c
1 + v
c
1 − v
c
1 + v
c
x
y ′
S ′
v
(4.93)
(4.94)
(4.95)
(4.96)
Ligningerne (4.94) og (4.96) er netop de tidligere udledte ligninger (3.85) og
(3.87) for den longitudinale Dopplereffekt.
x ′

4.8 Lys 69
4.8.2 Vilkårlig retning af lys
Hvis lyset udsendes efter en anden retning end x ′ -aksen i systemet S ′ , men
stadig i x ′ y ′ -planen, har fotonen en impulskomponent både i x ′ - og i y ′ -
retningen. Lad vinklen fotonens impuls danner med x ′ -aksen være α ′ . Da
er
E ′ = h f ′
p ′ x =
p ′ y =
(4.97)
′ h f
cos(α
c
′ ) (4.98)
′ h f
sin(α
c
′ ) (4.99)
Disse transformeres til inertialsystemet S, og resultatet er
E = h f
px =
py =
h f ′
c
h f ′
c
c cos(α′ )
1 −
v 2
c
′ 1 + v
cos(α ′ ) + v
c
2 1 − v
c
Af ligning (4.100) følger at frekvensen f i S er
f = f
(4.100)
(4.101)
sin(α ′ ) (4.102)
c cos(α′ )
1 −
v 2
c
′ 1 + v
(4.103)
Da der i inertialsystemet S gælder px = cos(α), hvor α er den vinkel,
c
impulsen i S danner med x-aksen, kan vi ved anvendelse af ligningerne (4.101)
og (4.103) finde sammenhængen mellem retningerne α ′ og α
h f
cos(α) = cos(α′ ) + v
c
1 + v
c cos(α′ )
(4.104)
For en lysgiver, der udsender lys i alle retninger, og som bevæger sig henimod
en iagttager, ses at gælde ifølge ligning (4.104) cos(α) ≥ cos(α ′ ). Vinklen α
er dermed mindre end eller lig med vinklen α ′ og kun lig med for α ′ =
0 ∨ α ′ = π. Hvis der udsendes lys med samme intensitet i alle retninger i
kildens hvilesystem S ′ , vil lyset af iagttageren ses at være mere koncentreret
i forlæns retning. Denne effekt kaldes ’Relativistisk beaming’. Se Fig. (4.12).
Den omvendte ligning til ligning (4.104) er

70 Relativistisk dynamik: Indledning
α : vinklen målt i S
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
v/c=-0.8
v/c=-09
v/c=0.8
v/c=0.9
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
α' : vinklen målt i S'
Figur 4.12: Relativistisk ’beaming’.
cos(α ′ ) =
cos(α) − v
c
1 − v
c cos(α)
som kan benyttes i ligning (4.103), som derved bliver
f = f ′
1 −
v 2
c
1 − v
c cos(α)
(4.105)
(4.106)
Da α = π − θ, hvor θ er retningen i S til lysgiveren (se Fig. (3.8) og Fig.
(4.13)), bliver ligning (4.106)
f = f ′
1 −
v 2
c
(4.107)
1 + v
c cos(θ)
Dette er netop det generelle relativistiske udtryk for Dopplereffekten, vi fandt
tidligere (se ligning (3.97)).

4.8 Lys 71
Iagttager
Kilde
Figur 4.13: Dopplereffekt forvilkårlig retning til kilde.
θ
α
v

72 Relativistisk dynamik: Indledning

Kapitel 5
Relativistisk dynamik:
Partikelsystemer
Dette kapitel giver eksempler på anvendelse af relativistisk dynamik i forbindelse
med partikelproduktion og partikelhenfald. Der udledes visse bånd i forbindelse
med disse processer. Disse bånd er uafhængige af, hvilke mekanismer der ligger
bag processerne. Til slut behandles massebevarelse i urelativistisk fysik.
5.1 Invarians
For en enkelt partikel med hvilemasse m er E 2 − (c p) 2 = (m c 2 ) 2 , hvor energi
og impulse er målt i inertialsystemet S. I inertialsystemet S ′ gælder
tilsvarende E ′2 − (c p ′ ) 2 = (m c 2 ) 2 . Dvs. for en enkelt partikel gælder, at
E 2 −(c p) 2 er invariant. Dette kunne vi også vise direkte ved at se på, hvorledes
(E, p) i S transformerer til (E ′ , p ′ ) i S ′ og udregne de to størrelser i henholdsvis
S og i S ′ . For et partikelsystem bestående af n partikler med hver
deres energi og impuls (Ei, pi), i = 1, . . . , n er den samlede energi og impuls
(E, p) af partikelsystemet
E =
p =
n
i=1
Ei
n
pi
i=1
(5.1)
(5.2)
Da transformationen af energi og impuls fra S til S ′ er lineær for hver enkelt
partikel, transformerer den samlede energi og impuls på helt samme måde
73

74 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
som energi og impuls for en enkelt partikel. Derfor vil også 1
s = E 2 − (c p) 2 = n
i=1
2
Ei − c
n
i=1
2 pi
(5.3)
være invariant. Det er altså underordnet, om s udregnes i S eller i S ′ .
Partiklerne i vores system kan tænkes at reagere med hinanden, således at
de partikler, vi har i sluttilstanden, er forskellige fra de partikler, vi har i
begyndelsestilstanden. Men da energien og impulsen af partikelsystemet er
bevarede størrelser
n1
E
i=1
beg
i
n1
p
i=1
beg
i
=
n2
j=1
E slut
j
−→
=
n2 −−→
j=1
p slut
j
(5.4)
(5.5)
er værdien af s også den samme før og efter en eventuel reaktion mellem
partiklerne. Konklusionen er, at s ikke blot er uafhængig af i hvilket inertialsystem,
den udregnes i, men den er også uafhængig af, om den udregnes før
eller efter, at en reaktion mellem partiklerne har fundet sted.
Det har ofte i elementarpartikelfysik interesse at beskrive reaktioner mellem
partikler i det specielle inertialsystem, hvor den samlede impuls er nul. Dette
inertialsystem betegnes CM-systemet (CM for center of mass). I dette system
bliver s = n i=1 ECM
2, i altså kvadratet på den samlede energi i CMsystemet.
5.2 Partikelproduktion
Et typisk eksperiment i elementarpartikelfysik er at lade to partikler støde
sammen for derefter at registrere de partikler, der bliver produceret ved
stødet
A + B → C + D + E + · · · (5.6)
Energi og impuls antages kendte for partiklerne A og B. For at afgøre om
der er tilstrækkelig energi til rådighed til at producere partiklerne i sluttilstanden,
er det mest hensigtsmæssigt at se på den samlede energi i CMsystemet.
I CM-systemet er den samlede impuls jo nul, og dette kan opnås
1 Vi har ganske vist brugt symbolet s før (se ligning (3.2)), men der er i elementarpartikelfysik
tradition for i denne situation at benytte s som her defineret. Det er en af de
såkaldte Mandelstamvariable.

5.2 Partikelproduktion 75
ved den specielle situation, hvor alle partikler i dette system ligger stille
således, at al deres energi er hvileenergi. En nødvendig betingelse for, at
den ønskede reaktion kan finde sted, er derfor, at den samlede energi i CMsystemet
er mindst lig summen af slutpartiklernes hvileenergier. Den samlede
energi i CM-systemet findes lettest ved at udregne den invariante størrelse s,
da E CM = √ s.
Lad os se på en speciel udgave af reaktionen i ligning (5.6), nemlig
A + B → A + B + C + D + · · · (5.7)
Masserne af partiklerne A og B er mA og mB. Summen af masserne for de
nye partikler C, D, ... er M. I laboratoriesystemet ligger partikkel B stille,
og vi ønsker at bestemme den mindste kinetiske energi Ekin af partikel A,
således at reaktionen er kinematisk mulig. Dette gøres ved at udregne den
invariante størrelse s. For begyndelsessituationen udregnes s i LAB-systemet,
og for slutsituationen udregnes s i CM-systemet. Mindste energi er den, hvor
alle partikler i slutsituationen har impulsen nul i CM-systemet. Vi får
(EA + mB c 2 ) 2 − pA 2 c 2 = (mA + mB + M) 2 c 4
(5.8)
hvor EA er den totale energi af partikel A i LAB-systemet. Under anvendelse
af ligning (4.43) for partikel A bestemmes EA af denne ligning
EA = 2 mA mB + 2 mA M + 2 mB M + M 2
2 mB
Heraf findes Ekin = EA − mA c 2 til
Ekin = M
mB (mA + mB + 1 M) c2
2
c 2
(5.9)
(5.10)
Lad os se på et eksperiment hvor partikel A (beampartiklen) med masse mA
og energi og impuls (EA, pA) i laboratoriesystemet støder ind i den stationære
partikel B (targetpartiklen) med masse mB og energi og impuls (mB c 2 , o)
også i laboratoriesystemet. Vi finder s
Heraf følger
s = (EA + mB c 2 ) 2 − (c pA) 2 ⇔ (5.11)
s = 2 mB c 2 EA + (mA c 2 ) 2 + (mB c 2 ) 2
(5.12)
E CM = 2 mB c 2 EA + (mA c 2 ) 2 + (mB c 2 ) 2 (5.13)

76 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
Ligning (5.13) viser, at den portion energi, der er til rådighed til partikelproduktion,
kun vokser med kvadratroden af laboratorieenergien af beampartiklen.
Det vil altså groft taget sige, at for at få ti gange så meget energi til
rådighed, skal beampartiklens energi gøres hundrede gange så stor. Og det
er dyrt!!
Dette problem kan omgås ved at benytte to kolliderende beams, da man
derved kan opnå at være i CM-systemet fra start. Her er altså al den energi,
man har givet de to partikler, til rådighed til partikelproduktion. Men ingen
roser uden torne. Det er selvfølgelig langt vanskeligere at styre to beams
igennem hinanden, end det er at ramme et stillestående target. Desuden vil
antallet af reaktioner pr. tid gå ned, da der vil være mange "forbiere".
5.3 Partikelhenfald
En ustabil partikel A med hvilemasse mA henfalder til to partikler B og C
med hvilemasser henholdsvis mB og mC
A → B + C (5.14)
I partikel A’s hvilesystem er impulserne af B og C lige store (men modsatrettede)
ifølge impulsbevarelsesloven. Lad denne fælles impulslængde være p.
Partiklernes energier betegnes henholdsvis EA, EB og EC. For hver af partiklerne
B og C gælder
E 2 B − c 2 p 2 = (mB c 2 ) 2
E 2 C − c 2 p 2 = (mC c 2 ) 2
Ligning (5.16) trækkes fra ligning (5.15), og vi får
E 2 B − E 2 C = (EB + EC)(EB − EC) = (mB c 2 ) 2 − (mC c 2 ) 2
Energibevarelsen medfører
EB + EC = EA = mA c 2
Ligning (5.17) divideres med ligning (5.18), og følgende ligning dukker op
EB − EC = (mB c 2 ) 2 − (mC c 2 ) 2
mA c 2
Ligningerne (5.18) og (5.19) løses med hensyn til EB og EC
EB = m2 A + m2 B − m2 C
2 mA
EC = m2 A − m2 B + m2 C
2 mA
c 2
c 2
(5.15)
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)

5.4 Annihilation 77
Da vi nu har fundet energierne af B og C, kan vi også finde impulslængden
p ved at benytte enten ligning (5.15) eller ligning (5.16). Resultatet er
2 (mA − (mB + mC)
p =
2 )(m2 A − (mB − mC) 2 )
c (5.22)
2 mA
Bemærk at partiklerne B og C indgår symmetrisk i ligning (5.22).
5.4 Annihilation
Ved reaktion mellem en partikel og dens antipartikel kan en mulig sluttilstand
være to fotoner. Et eksempel på dette er elektronpositronannihilation
e + + e − → γ + γ (5.23)
Partiklen og dens antipartikel har samme masse m. Vi ser på situationen i
LAB-systemet, hvor partiklen er i hvile, og hvor antipartiklen har energi E
og impuls p. Fotonernes impulser er henholdsvis p1 og p2, og deres energier
er E1 og E2. Se Fig. (5.1).
y
x
Figur 5.1: Partikel-antipartikelannihilation til to fotoner.
Sammenhængen mellem impuls og energi for en masseløs partikel som fotonen
er som bekendt E = c |p|. Energi- og impulsbevarelse giver følgende tre
ligninger
p
m c 2 + E = E1 + E2
p = E1
c
0 = E1
c
E2 cos(θ) + c
E2 sin(θ) − c
θ
φ
p2
p1
(5.24)
cos(φ) (5.25)
sin(φ) (5.26)

78 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
Vi ønsker at finde fotonenergien E1 som funktion af vinklen θ for fast værdi
af den indkommende antipartikels energi E.
Af ligning (5.26) findes
cos(φ) = ± 1 −
E1
2 2 sin (θ) (5.27)
E2
Dette indsættes i ligning (5.25), og der rumsteres
p − E1
c cos(θ)
2 = E2 2
c2
1 −
E1
2 2
sin (θ)
E2
Med brug af E2 = m c 2 + E − E1 fra ligning (5.24) kan vi nu finde E1
E1 =
m c2 (m c 2 + E)
m c 2 + E − c p cos(θ)
Tilsvarende findes den anden fotons energi
E2 =
m c2 (m c 2 + E)
m c 2 + E − c p cos(φ)
(5.28)
(5.29)
(5.30)
Det ses, at E1 er maksimal for θ = 0 o , altså med fotonens impuls i forlæns
retning. E1 er minimal for θ = 180 o , dvs. fotonens impuls er bagudrettet. For
θ = 0 o er φ = 180 o , og for θ = 180 o er φ = 0 o , således at maksimal energi for
den ene foton svarer til minimal energi for den anden foton og vice versa.
Den maksimale og den minimale energi er, idet vi benytter c p = √ E 2 − m 2 c 4
E maks =
E min =
m c 2 (m c 2 + E)
m c 2 + E − √ E 2 − m 2 c 4
m c 2 (m c 2 + E)
m c 2 + E + √ E 2 − m 2 c 4
(5.31)
(5.32)
For lave hastigheder v af antipartiklen er E ≈ m c2 og p ≈ m v, således
at
E1 = E2 ≈ m c2 · 2 m c2 = m c 2
(5.33)
2 m c 2
uafhængig af vinklen θ.
For meget store hastigheder af antipartiklen er E ≫ m c 2 og c p ≈ E. For
den mindste energi af fotonen gælder da
E min =
m c2 (m c2 + E)
m c2 + E + √ E2 − m2 c4 ≈ m c2 E
2 E
1 = m c2
2
(5.34)

5.5 CM-system og LAB-system 79
og dermed også
E max ≈ E + 1 m c2
2
5.5 CM-system og LAB-system
(5.35)
For et eksperiment, der udføres med et stillestående target og en beampartikel
med høj energi, måles de spredte eller de producerede partikler naturligt i
laboratoriesystemet, LAB-systemet. Men ved mange teoretiske overvejelser
foretrækkes CM-systemet. Det er derfor vigtigt at kunne transformere fysiske
størrelser fra det ene system til det andet. For at kunne gøre det er det
nødvendigt at kende de to systemers hastighed i forhold til hinanden udtrykt
ved de relevante kinematiske variable.
Lad beampartiklens masse være mb og dens impuls pL og den dertil hørende
energi EL i LAB-systemet. Targetpartiklens masse er mt, og dens impuls er
nul i LAB-systemet. Ved at transformere til CM-systemet findes impulserne
her at være (vi ser her kun på x/x ′ -retningen)
p ′ b = pL − v
c2 EL
2 1 − v
c
p ′ t = −mt v
1 − v
c
2
(5.36)
(5.37)
hvor v er CM-systemets hastighed i forhold til LAB-systemet. Da CM-systemet
er defineret ved, at den samlede impuls i dette system skal være nul, skal følgende
være opfyldt
Heraf findes v
pL − v
c2 EL
1 − +
v 2
c
−mt v
1 − = 0 (5.38)
v 2
c
v =
pL
mt + EL
c 2
Ved at anvende ligning (4.43) omskrives dette til
v
c =
2 EL − (mb c2 ) 2
EL + mt c2 (5.39)
(5.40)
Af denne ligning ses umiddelbart v < c, og dermed har v en fysisk realistisk
værdi. For mb = mt bliver ligning (5.40)
v
c =
EL − mt c2 EL + mt c2 (5.41)

80 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
Blandt de partikler, som reaktionen resulterer i, ser vi nu på en bestemt
partikel, som vi vil kalde Ny. Lad denne partikel bevæge sig i xy-planen i
LAB-systemet og lad dens bevægelsesretning være givet ved den vinkel θLAB,
som dens impuls danner med x-aksen. Den tilsvarende vinkel θCM i CMsystemet
kan da findes af den tidligere udledte formel, ligning (3.58), idet vi
nu benytter sammenhængen mellem den nye partikels hastighed −→
uNy , impuls
−→
pNy og energi ENy (se ligning (4.44)) alle målt i LAB-systemet
u Ny
x = c2
E Ny pNy cos(θLAB) (5.42)
u Ny
y = c2
E Ny pNy sin(θLAB) (5.43)
hvor pNy = | −→
pNy |. Ved en lille omskrivning finder vi, at vinklen θLAB er fastlagt
ved
1 −
tan(θCM) =
v 2 Ny p sin(θLAB)
c
pNy cos(θLAB) − v
c2 ENy (5.44)
Den urelativistiske grænse Ligning (5.39) kan i den urelativistiske grænse,
dvs. for lave beamenergier, hvor EL ≈ mb c2 og pL ≈ mb vb, approksimeres
ved
v ≈
mb
(5.45)
vb
mt + mb
som netop er det sædvanlige urelativistiske udtryk for massemidtpunktets
hastighed i denne situation. Tilsvarende fås i denne grænse at ligning (5.44)
under anvendelse af E Ny ≈ m Ny c 2 og p Ny ≈ m Ny u Ny , hvor m Ny , u Ny og E Ny
henholdsvis er den nye partikels masse, fart og energi i LAB-systemet, kan
approksimeres ved
tan(θCM) ≈ uNy sin(θLAB)
u Ny cos(θLAB) − v
som også er det sædvanlige urelativistiske resultat da
−−→
uCM = −−→
uLAB − v =
uLAB cos(θLAB) − v
uLAB sin(θLAB)
(5.46)
(5.47)
som anvendt i vores problem, hvor uLAB er farten u Ny for partiklen Ny, netop
medfører
tan(θCM) = uNy sin(θLAB)
u Ny cos(θLAB) − v
(5.48)

5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik 81
5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik
I den relativistiske beskrivelse af fysiske fænomener har vi nu set, at der ikke
nødvendigvis er massebevarelse ved alle processer, idet en del af partiklernes
hvilemasse kan omdannes til energi, eller det kan være den omvendte proces,
hvor en del af energien omdannes til hvilemasse. Vi vil i dette afsnit se på
sammenhængen mellem massebevarelse, Galileitransformation og impulsbevarelse
samt bevarelse af kinetisk energi ved elastiske stød i urelativistisk
fysik.
5.6.1 Massebevarelse og impulsbevarelse
Der er på sædvanlig vis to inertialsystemer S og S ′ , hvor S ′ bevæger sig med
hastighed v i forhold til S. Lad der være givet n partikler som vekselvirker
med hinanden, og hvor der efter vekselvirkningen er N partikler. Partiklernes
masser før vekselvirkningen betegnes mi , i = 1, . . . , n, og partiklernes masser
efter vekselvirkningen betegnes Mi , i = 1, . . . , N. Det antages, at massen
af en partikel er en Galileiinvariant størrelse. I systemet S er partiklernes
hastighed før vekselvirkningen ui , i = 1, . . . , n og efter vekselvirkningen er
deres hastighed wi , i = 1, . . . , N. Impulsbevarelsen i systemet S betyder
n
mi ui =
i=1
N
i=1
Mi wi
(5.49)
Ved at benytte Galileitransformationen for hastighed, u = u ′ +v, kan ligning
(5.49) omskrives til
n
i=1
mi ( u ′ i
+ v) =
n
mi u ′ i + n
mi v =
i=1
i=1
i=1
N
i=1
Mi ( w ′ i
hvor u ′ i og w ′ i betegner partiklernes hastigheder i S′ .
Ved at benytte at der også er impulsbevarelse i S ′ ,
medfører ligning (5.51), at
n
i=1
n
i=1
mi u ′ i =
mi
+ v) ⇔ (5.50)
N
Mi w ′ i + N
Mi v (5.51)
N
i=1
v = N
i=1
Mi w ′ i
i=1
(5.52)
Mi v (5.53)

82 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
hvoraf fås
n
i=1
mi =
N
i=1
Mi
(5.54)
Vi har altså vist, at impulsbevarelse i alle inertialsystemer i kombination
med Galileitransformationen medfører, at den samlede masse er en bevaret
størrelse.
Vi bytter nu lidt rundt på forudsætninger og konklusion. Antag at der gælder
massebevarelse, Galileitransformation, og at impulsen er bevaret i et bestemt
inertialsystem S ′
n
mi u ′ i =
N
(5.55)
i=1
i=1
Mi w ′ i
Impulsen i inertialsystemet S er da før, pf, henholdsvis efter vekselvirkningen,
pe
pf =
pe =
n
i=1
N
i=1
mi ( u ′ i
Mi ( w ′ i
+ v) =
+ v) =
n
mi u ′ i + n
mi v (5.56)
i=1
i=1
i=1
N
Mi w ′ i + N
Mi v (5.57)
Med anvendelse af impulsbevarelse i S ′ samt af massebevarelse følger af
ligningerne (5.56) og (5.57), at pf = pe, altså, at der er også er impulsbevarelse
i alle andre inertialsystemer.
5.6.2 Massebevarelse og kinetisk energi
For et elastisk stød gælder pr. definition, at den kinetiske energi før og efter
stødet er ens. I inertialsystemet S er denne betingelse
1
2
n
i=1
mi ui 2 = 1
2
N
i=1
i=1
Mi wi 2
Ved at anvende Galileitransformationen omskrives dette til
1
2
n
i=1
mi u ′ i
2
+ 1
2
n
i=1
2
mi v +v·
n
i=1
mi u ′ i
= 1
2
N
i=1
Mi w ′ i
2
+ 1
2
N
i=1
(5.58)
2
Mi v +v·
(5.59)
Hvis stødet også kan betragtes som værende elastisk i inertialsystemet S ′ ,
kan vi af ligning (5.59) slutte, at der gælder massebevarelse, og at impulsen
er bevaret i systemet S ′ .
N
i=1
Mi w ′ i

5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik 83
Igen bytter vi nu lidt rundt på forudsætninger og konklusion. Vi går ud fra
gyldigheden af Galileitransformationen, massebevarelse samt impulsbevarelse
i inertialsystemet S ′ . Lad os nu antage, at den kinetiske energi er bevaret i
systemet S ′
E ′ før
kin
= 1
2
n
i=1
mi u ′ 2
i
= 1
2
N
i=1
Mi w ′ 2
i
= E ′ efter
kin
(5.60)
I inertialsystemet S er den kinetiske energi før og efter stødet henholdsvis
E før 1
kin =
2
E efter
kin = 1
2
n
i=1
N
i=1
mi ui 2
= 1
2
Mi wi 2 = 1
2
n
i=1
N
i=1
mi u ′ 2
i
Mi w ′ 2
i
+ 1
2
+ 1
2
n
i=1
N
i=1
2
mi v + v ·
2
Mi v + v ·
n
i=1
N
i=1
mi u ′ i
(5.61)
Mi w ′ i
(5.62)
Da vi har antaget massebevarelse og impulsbevarelse i S ′ , følger af ligningerne
(5.61) og (5.62) at E før
kin = Eefter kin , dvs. den kinetiske energi er også bevaret i
inertialsystemet S. Stødet er altså også elastisk set fra S.

84 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer

Kapitel 6
Relativistisk dynamik:
Bevægelsesligningen
I dette kapitel behandles nogle konkrete anvendelser af den relativistiske
bevægelsesligning. De løsninger, vi finder, vil blive sammenlignet med de
løsninger, vi ville få ved en urelativistisk behandling af problemet.
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt
6.1.1 Begyndelseshastighed nul
Vi betragter en partikel med masse m og positiv elektrisk ladning q, der
befinder sig i et homogent tidsuafhængigt elektrisk felt E rettet efter x-aksen.
Kraften på partiklen er F = q E i den positive x-akses retning. Partiklen
bliver derved accelereret i den positive x-akses retning. Hvis partiklens begyndelseshastighed
til tiden t = 0 er u = o, vil partiklen foretage en retlinet
bevægelse langs x-aksen. Vi ønsker at bestemme partiklens hastighed og sted
som funktion af tiden t. Da bevægelsen foregår langs x-aksen, vil vi kun se på
hastigheden i denne retning. Denne vil blive betegnet u. Ifølge ligning (4.21)
gælder
m d u
dt
u 1 − ( c )2
= q E ⇔ (6.1)
u
1 − ( u
c
85
)2 = q E
m
t (6.2)

86 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
hvor E = | E| 1 og hvor vi har benyttet u(0) = 0. Hermed kan hastigheden
som funktion af tiden bestemmmes ved at isolere u i ligning (6.2). Dette giver
u =
1 +
q E
m t
q E
m c
Bemærk at ligning (6.3) kan omskrives til
u
c =
1 +
2
t 2
t
m c
q E
2 t
m c
q E
Af ligning (6.4) ses, at der altid
gælder u < c og at u → c for t → ∞.
For meget små værdier af t er
1 +
u =
t
m c
q E
q E
m
2
≈ 1 og dermed er
(6.3)
(6.4)
t (6.5)
som jo også er det resultat, vi får ved en urelativistisk regning.
Stedet x som funktion af tiden t findes ved at bestemme stamfunktionen 2 til
u i ligning (6.3)
= m c2
q E
u(t) dt =
1 +
q E
1 +
m t
q E
m c
2 t2 dt (6.6)
q E
2 t
m c
2 + konstant (6.7)
Ligning (6.7) giver med begyndelsesbetingelsen x(0) = 0
m
c2
x(t) =
q E
q E
2 1 + t
m c
2
− 1
Det ses let, at ligning (6.8) kan omskrives til
(x +
( m c2
q E
m c2
q E )2
t2
−
)2 ( m c
q E
(6.8)
)2 = 1 (6.9)
1 For ikke at blande energien E sammen med længden af det elektriske felt, benyttes
symbolet E her.
2 Benyt substitution.

6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 87
Da ligning (6.9) er ligningen for en hyperbel, kaldes denne bevægelse for hyperbolsk
bevægelse.
Analogt med bevægelse med konstant kraft F i det urelatistiske tilfælde
kan vi også her finde en sammenhæng mellem hastighed og sted ved at eliminere
tiden (eller ved at bruge arbejdssætningen). For en partikel med masse
m gælder der urelativistisk u2 = 2 a x under forudsætning af begyndelseshastighed
nul, og hvor a = F er accelerationen, og x er den tilbagelagte vej.
m
Med brug af ligning (6.3) får vi her i det relativistiske tilfælde
q E
2 t
m c
2 =
u 2
c
1 − u
c
som ved indsættelse i ligning (6.8) giver den ønskede sammenhæng
som omskrives til
x =
2
m
c2 1
q E
1 −
− 1
u 2
c
(6.10)
(6.11)
m c2
1 − = m c
u 2
c
2 + q E x (6.12)
Venstresiden i ligning (6.12) er partiklens energi E, således at denne ligning
også kan udtrykkes ved
E = m c 2 + q E x ⇔ (6.13)
E = m c 2 + |∆Epot| (6.14)
idet tabet i potentiel energi for en ladet partikel i et homogent elektrisk felt
netop er q E x, hvor x er flytningen i feltretningen.
Ved at benytte ligning (6.13) samt ligning (4.43) findes impulsen på stedet x
p = m c
6.1.2 Vilkårlig begyndelseshastighed
q E
m c2 x 2 q E
+ 2 x (6.15)
m c2 Vi vælger koordinatsystem, så det elektriske felt E er rettet efter x-aksen, og
således at y- og z-akserne er fastlagt ved, at partiklens begyndelseshastighed
u0 får koordinaterne u0 = (u0x, u0y, 0). Da kraften er rettet efter x-aksen,
kan vi i det følgende se bort fra bevægelse i z-aksens retning og betragte
problemet som et todimensionalt problem. Vi vil derfor benytte betegnelserne

88 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
u = (ux, uy), u0 = (u0x, u0y) samt sætte u 2 0 = u 2 0x + u 2 0y. Bevægelsesligningen
bliver her
m d
dt
som skrevet ud i koordinater giver
d
dt
u
1 − u2 x +u2 y
c 2
ux
1 − u2x +u2 y
c2 d
dt
uy
= q E
1 − u2 x+u 2 y
c 2
= q E (6.16)
m
(6.17)
= 0 (6.18)
hvor der igen er benyttet E = | E|. Ligningerne (6.17) og (6.18) har med de
givne begyndelsesbetingelser løsningen
ux
1 − u2 x+u 2 y
c 2
= q E
m
uy
1 − u2x +u2y c2 t +
=
u0x
1 − u2 0x +u2 0y
c2 u0y
1 − u2 0x +u2 0y
c2 (6.19)
(6.20)
Det ses af ligning (6.20), at der er et bånd mellem ux og uy. Ved en lille
regning kan dette udtrykkes ved
u 2 y = u 2 0y
1 − u2x c2 1 − u2 0x
c2 (6.21)
Ideen er nu at indsætte ligning (6.21) i ligning (6.19), men inden vi gør det,
vil vi se på indmaden af kvadratroden, der indgår i ligning (6.19). Denne
indmad kan ved brug af ligning (6.21) omskrives til
1 − u2 x + u 2 y
c 2
= (1 − u2 0
c 2 ) (1 − u2 x
c 2 )
1 − u2 0x
c 2
(6.22)
Ligning (6.22) benyttes til omskrivning af ligning (6.19), og følgende udtryk
for ux opnås
ux =
q E
m
1 − u2 0
c 2 t + u0x
q E
1 + ( m c )2 (1 − u2 0
c2 ) t2 + 2
q E
m c 2
1 − u2 0
c 2 t u0x
(6.23)

6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 89
Herefter kan vi finde uy ved at benytte ligning (6.23) i ligning (6.21). Resultatet
er
uy =
u0y
(6.24)
q E
1 + ( m c )2 (1 − u2 0
c2 ) t2 q E
+ 2 m c2
1 − u2 0
c2 t u0x
Af udtrykket ligning (6.23) for ux vises let, at ux er en voksende funktion af
t. Ligning (6.24) viser tilsvarende, at uy er en aftagende funktion af t. Dette
følger også af ligning (6.21), når vi ved, at ux er en voksende funktion af
t. Man ser endvidere også let af ligning (6.23), at ux → c for t → ∞. Da
farten |u| af partiklen skal være mindre end c, må gælde, at hastigheden uy
i y-aksens retning bliver mindre og mindre, efterhånden som t bliver større
og større. Relativistisk gælder altså, at selv om der ikke virker en kraft i yaksens
retning, er hastigheden i denne retning ikke konstant, men aftagende.
Dette vil ikke gælde urelativistisk. Men både i det relativistiske og i det
urelativistiske tilfælde er impulsen i y-aksens retning konstant.
Resultaterne i afsnittene (6.1.1) og (6.1.2) kan umiddelbart oversættes til
tilsvarende resultater for en partikel påvirket af en konstant kraft F i xaksens
retning. I alle udtryk i de to nævnte afsnit skal q E blot erstattes af
F = | F |.
6.1.3 Begyndelseshastighed vinkelret på E-felt
+ −
Figur 6.1: Ladet partikel i homogent og konstant elektrisk felt E. Begyndelseshastigheden
u0 er vinkelret på E.
Vi ser nu på det tilfælde, hvor begyndelseshastigheden uo er rettet efter yaksen
og dermed vinkelret på det elektriske felt E. Dvs. uo = (0, uo). Se Fig.
uo
y
E
x

90 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
(6.1).
Dermed giver ligning (6.23)
Ved at indføre α =
d x
d t
= c
1 + (
q E
1 − m c
u2 0
c2 t
q E
m c )2 (1 − u2 0
c2 ) t2
q E
1 − m c
u2 0
c2 ses, at ligning (6.25) er af formen
d x
d t
= c
α t
√ 1 + α 2 t 2
(6.25)
(6.26)
Heraf fås ved integration
x =
2 2 α t d t c d (1 + α t )
c √ =
1 + α2 t2 α
2 √ 1 + α2 t2 ⇔ (6.27)
x = c
√
1 + α2 t2 + k α
(6.28)
Med x = 0 for t = 0 er k = − c , således at vi af ligning (6.28) får
α
α x
c + 1 = √ 1 + α 2 t 2 ⇔ (6.29)
α
2 c2 x2 + x 1 = α t2
(6.30)
2 c
som med udtrykket for α indsat giver følgende sammenhæng mellem x og t
q E
2 m c 2 x2 +
1
1 − u2 0
c 2
x =
q E
2 m t2
Dernæst ser vi på bestemmelsen af y v.hj.a. ligning (6.24)
Dvs.
y = u0
d y
d t =
d t
√ 1 + α 2 t 2
u0
√ 1 + α 2 t 2
(6.31)
(6.32)
= u0
α ln(α t + √ 1 + α 2 t 2 ) + k (6.33)
Med y = 0 for t = 0 fås k = 0. Altså
y = u0
d t u0
√ =
1 + α2 t2 α ln(α t + √ 1 + α2 t2 ) (6.34)

6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 91
som med α indsat giver følgende sammenhæng mellem t og y
m c u0 q E
y =
ln 1 −
m c
q E
u2 0
c2
t + 1 +
1 − u2 0
c 2
q E
2 (1 −
m c
u2 0
c2 ) t2
(6.35)
For α t ≪ 1 kan indmaden til ln i ligning (6.34) til første orden i t approksimeres
ved
således at 3
α t + √ 1 + α 2 t 2 ≈ α t + 1 + 1
2 α2 t 2 ≈ 1 + α t (6.36)
ln(α t + √ 1 + α 2 t 2 ) ≈ α t (6.37)
Dermed har vi et approksimativt udtryk y i ligning (6.34)
y = u0 t (6.38)
For små værdier af t er x heller ikke særlig stor. Dvs. vi kan se bort fra
x 2 -leddet i ligning (6.31). Dermed kan vi finde et approksimativt udtryk for
sammenhængen mellem t og x
x =
1 − u2 0
c 2
q E
2 m t2
(6.39)
I ligning (6.39) erstatter vi nu t med t = y
, se ligning (6.38), og finder derved
u0
sammenhængen mellem x og y for små værdier af t
x =
1 − u2 0
c 2
Banekurven bliver altså en parabel.
q E
2 m u 2 0
y 2
(6.40)
En urelativistisk regning giver som bekendt i den her undersøgte situation
m d2 x
dt2 = q E ⇒ 1 q E
x = 2 m t2 (6.41)
m d2 y
dt2 = 0 ⇒ y = u0
hvoraf vi finder banekurven
t (6.42)
x =
q E
y 2
(6.43)
2 m u 2 0
som jo er et eksempel på den sædvanlige kasteparabel. Den relativistiske og
den urelativistiske kasteparabel afviger fra hinanden ved koefficienten til y 2 .
For u0 ≪ c er to koefficienter som forventet identiske.
3 Benyt at for |x| ≪ 1 gælder ln(1 + x) ≈ x.

92 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
6.1.4 Acceleration af ustabil partikel
Vi forestiller os, at vi i laboratoriet har produceret et antal ustabile partikler
med levetid 4 τo. Disse partikler ønskes vha. et konstant elektrisk felt E accelereret
fra hvile op til en bestemt slutenergi E = n m c 2 , som er n gange en
partikels hvileenergi. Hvis feltstyrken er lille, vil det tage lang tid, og mange
af partiklerne vil være henfaldet, inden kraftpåvirkningen kan nå at få dem
op på den ønskede energi. For at en bestemt brøkdel f af disse partikler overlever,
skal feltstyrken have en bestemt størrelse. Denne værdi af E = | E| vil
vi nu finde. Sammenhængen mellem et tidsforløb dτ i partiklens hvilesystem
og det tilsvarende tidsforløb dt i laboratoriesystemet er
dτ = dt
1 − ( u
c )2 (6.44)
hvor u er partiklens øjeblikkelige hastighed. Ved hjælp af ligning (6.3) fås
1 − ( u
c )2 =
således at ligning (6.44) kan omskrives til
1
1 + q E 2
t2 m c
1
dτ = dt
1 + q E 2
t2 m c
(6.45)
(6.46)
Dermed kan sammenhængen mellem det samlede tidsforløb τ i partiklens
hvilesystem og tidsforløbet t i laboratoriesystemet findes ved integration
τ =
τ
Resultatet af integrationen er
τ =
0
dτ =
t
0
m c
q E ln
t +
1
1 + dt (6.47)
q E 2
t2 m c
t2 + m c
m c
q E
q E
2
(6.48)
Kravet om, at slutenergien skal være n gange partiklens hvileenergi, medfører,
at n kan udtrykkes ved slutfarten us
E = n m c 2 =
4 Levetiden hænger sammen med halveringstiden T 1
2
m c2 ⇔ (6.49)
us 1 − ( )2
c
via T 1 = ln(2) τo.
2

6.2 Det skrå kast 93
n =
1
1 − ( us
c )2
(6.50)
Ved hjælp af ligningerne (6.45) og (6.50) kan vi finde den nødvendige tid t i
laboratoriesystemet for at accelerere partiklen op til den ønskede energi
n =
1 + q E 2 t2 ⇔ (6.51)
m c
t =
m c
q E
√ n 2 − 1 (6.52)
Ligning (6.52) benyttes nu i ligning (6.48), og vi får sammenhængen mellem
tiden τ målt i partiklens hvilesystem og den ønskede slutenergi angivet ved
faktoren n. Resultatet er
τ =
m c
q E ln(n + √ n 2 − 1) (6.53)
Da antallet af endnu ikke henfaldne partikler kan findes af henfaldsloven, er
det nu muligt ved hjælp af ligning (6.53) at finde den nødvendige feltstyrke
for, at brøkdelen f af partikler overlever accelerationen
τ
−
e τo > f ⇔ (6.54)
τ < −τo ln(f) ⇔ (6.55)
m c
E > −
q τo ln(f) ln(n + √ n2 − 1) (6.56)
Ligning (6.56) er det ønskede resultat. (Husk f < 1 derfor er ln(f) < 0, og E
bliver positiv).
6.2 Det skrå kast
Vi vil i dette afsnit se på den relativistiske behandling af det skrå kast. For
at kunne sammenligne direkte med den sædvanlige urelativistiske behandling
af det skrå kast vælger vi at beskrive bevægelsen i et koordinatsystem med
en y-akse, hvis retning er modsat den konstante kraft F , der påvirker partiklen.
Dvs. F = (0, −F ). Til tiden t = 0 er partiklen i punktet (0, 0) og
har hastigheden u0 = (u0x, u0y) = | u0| (cos(θ), sin(θ)), hvor θ er den vinkel,
begyndelseshastigheden danner med x-aksen. Se Fig. (6.2).

94 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
y
u0
6.2.1 Banekurven
θ
F
u
Figur 6.2: Det skrå kast.
Bevægelsesligningerne, der skal løses, er
d
dt
d
dt
ux
1 − u2x +u2y c2 uy
1 − u2x +u2y c2 = 0 (6.57)
= − F
m
x
(6.58)
Løsningen til disse ligninger foretages helt på samme måde som i afsnit 6.1.2.
Resultatet er
ux =
uy =
u0x
1 + ( F
m c )2 (1 − u2 0
c 2 ) t 2 − 2 F
m c 2
−F
m
1 − u2 0
c 2 t + u0y
1 + ( F
m c )2 (1 − u2 0
c 2 ) t 2 − 2 F
m c 2
1 − u2 0
c 2 t u0y
1 − u2 0
c 2 t u0y
(6.59)
(6.60)
Vi kan nu finde stedet som funktion af tiden ved integration af ligningerne
(6.59) og (6.60). For x-koordinaten fås efter en lille omskrivning

6.2 Det skrå kast 95
=
x(t) =
F
m
t
c u0x
0
1 − u2 0
c 2
1 + ( F
m c )2 1 − u2 0
c2 t
0
F
m
d F
m
u0x dt
t 2 − 2 F
m c 2
1 − u2 0
c2
t − u0y
1 − u2 0
c 2 t − u0y
2
1 − u2 0
c 2 t u0y
+ c 2 − u 2 0y
(6.61)
Ved opslag i en integraltabel findes
1
√ dx = ln |x +
x2 + a √ x2 + a| (6.62)
Da integralet i ligning (6.61) netop er af denne form, finder vi
x(t) =
F
m
c u0x
1 − u2 0
c 2
ln
F
For y-koordinaten fås tilsvarende
=
−F
m
y(t) =
c
t
0
1 − u2 0
c 2
m
1 − u2 0
c2 2 t − u0y + c2 − u2 0y + F
1 − m
u2 0
c2 t − u0y
( −F
m
c − u0y
1 − u2 0
c 2 t + u0y) dt
1 + ( F
m c )2 (1 − u2 0
c 2 ) t 2 − 2 F
m c 2
t
0
2
d
− F
m
− F
m
1 − u2 0
c2 2 t + u0y
1 − u2 0
c 2 t + u0y
2
1 − u2 0
c 2 t u0y
+ c 2 − u 2 0y
Dette integral kan umiddelbart findes, og resultatet for y(t) er
y(t) =
c
F 1 − m
u2 0
c2
c −
− F
m
1 − u20 t + u0y
c2 2
+ c 2 − u 2 0y
Dermed er banekurven for partiklen bestemt. Se Fig. (6.3).
(6.63)
(6.64)
(6.65)

96 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
y
y
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
u 0 /c=0.8, θ=60 o
y
-0.1
0 0.5 1 1.5
x
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
u 0 /c=0.5, θ=60 o
y
-0.02
0 0.2
x
0.4
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
u 0 /c=0.8, θ=45 o
-0.05
0 0.5 1 1.5
0.08
0.06
0.04
0.02
0
x
u 0 /c=0.5, θ=45 o
y
-0.02
0 0.2 0.4
x
y
0.15
0.1
0.05
0
u 0 /c=0.8, θ=30 o
-0.05
0 0.5
x
1
0.04
0.03
0.02
0.01
0
u 0 /c=0.5, θ=30 o
data1
data2
data1
data2
-0.01
0 0.2
x
0.4
Figur 6.3: Banekurven for det skrå kast. Data1 ′ − ′ er den relativistiske
banekurve. Data2 ′ − · ′ er den klassiske banekurve. Kurverne er tegnet for
to forskellige værdier af begyndelsesfarten og for tre forskellige værdier af
begyndelseshastighedens vinkel med x-aksen. Arbitrær akseinddeling.
Bemærk at i alle tilfældene er både den relativistiske kastelængde og den
relativistiske maksimale højde større end den tilsvarende klassiske størrelse.
Ved at eliminere t fra ligningerne (6.63) og (6.65) kan vi finde en ligning
for banekurven. Af ligning (6.63) fås efter nogen regning
− F
1 −
m
u20 c2 t+u0y
F
= u0y cosh
m c u0x
1 − u20 x
c2
F
−c sinh 1 −
m c u0x
u2
0
x
c2 (6.66)
Dette resultat indsættes i ligning (6.65). Under anvendelse af cosh 2 (v) −
sinh 2 (v) = 1 fås efter en del regneri den ønskede ligning

6.2 Det skrå kast 97
y =
F
m c 2
1 − u2 0
c 2
F
1−cosh
m c u0x
1 − u20 x
c2
+ u0y
c
F
sinh
m c u0x
1 − u20 x
c2 (6.67)
Denne ligning er ikke ligningen for en parabel, som jo ville være det resultat,
en urelativistisk regning ville have givet.
6.2.2 Nogle resultater for det skrå kast
I dette underafsnit vil vi udlede nogle resultater for det skrå kast og sammenligne
disse med tilsvarende resultater for en urelativistisk regning.
Maksimale højde. Den maksimale højde ymax under kastet er karakteriseret
ved at uy = 0. Af ligning (6.60) findes tidspunktet t1, hvor dette sker
t1 =
F
m u0y
1 − u2 0
c2 Højden y til dette tidspunkt findes af ligning (6.65)
ymax = y(t1) =
F
m c
1 − u2 0
c 2
c − c2 − u2
0y
(6.68)
(6.69)
Dette resultat for den maksimale højde kan vi sammenligne med den maksimale
højde ved det sædvanlige skrå kast, hvor tyngdekraften antages at være
konstant og af formen F = m g for u0 ≪ c. I denne approksimation fås af
ligning (6.69)
ymax = y(t1) ≈
m g
m c 2
1 − u2 0
c 2
1 − 1 − u20 c2
≈ c2
g
u 1
2
2 0y
c2 = u20 sin2 (θ)
2 g
(6.70)
hvilket netop er det klassiske resultat for maksimalhøjden for det skrå kast.
Vi kan lave et energicheck af vores resultat for maksimalhøjden. Til tiden
t = t1 kan vi finde hastigheden i x-aksens retning ved at benytte ligning

98 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
(6.59) 5
ux =
u0x
1 − u2 0y
c2 (6.71)
Da, der her gælder uy = 0, er den totale relativistiske energi i toppen af
banekurven
= m c2
1 − u2 0y
c2 (6.72)
Etop =
m c2
1 − u2
c 2
1 − u2 0
c 2
Energien i toppen af banekurven kan også findes ved at se på kraftens arbejde
på turen op. Dette arbejde er A = −F · ymax. Energien i toppen skal da også
være givet ved
hvor E0 =
Etop = E0 − F · ymax =
m c2
1− u2 0
c 2
benyttet ligning (6.69).
m c2
1 − u2
c 2
= m c2
1 − u2 0y
c2
1 − u2 0
c2 (6.73)
er begyndelsesenergien af partiklen, og hvor vi også har
De to ligninger (6.72) og (6.73) stemmer heldigvis overens.
Kastelængden. Kastelængden xmax for det relativistiske skrå kast opnås
til det tidspunkt t2, hvor y = 0. Af ligning (6.65) findes
t2 = 0 ∨ t2 =
F
2 m u0y
1 − u2 0
c 2
(6.74)
t2 = 0 er løsningen, der hører til starten af kastet. Den interessante løsning
er derfor
2 m u0y
t2 = (6.75)
F
1 − u2 0
c 2
Bemærk at der også i det relativistiske tilfælde gælder t2 = 2 t1. Altså at
turen op tager lige så lang tid som turen ned.
Kastelængden findes nu ved at indsætte t2 i ligning (6.63)
xmax = x(t2) =
F
m c u0x
1 − u2 0
c 2
c +
u0y
ln
c − u0y
(6.76)
5 Bemærk at hastigheden i x-aksens retning ikke er konstant selv om, der ikke virker en
kraft i denne retning.

6.2 Det skrå kast 99
Også dette resultat sammenlignes med det urelativistiske resultat for kastelængden.
Ved at benytte at for |x| ≪ 1 gælder ln
1+x ≈ 2 x, fås af ligning (6.76)
1−x
xmax = x(t2) ≈
≈
c u0x
g
m g
m c u0x
1 − u2 0
c2 2 u0y
c = 2 u0x u0y
g
u0y
1 + c ln
1 − u0y
c
= u2 0 sin(2 θ)
g
som netop er det sædvanlige urelativistiske resultat for det skrå kast.
(6.77)
Til tiden t = t2 findes hastigheden af ligningerne (6.59) og (6.60): ux = u0x
og uy = −u0y. Dette er samme resultat som i det urelativistiske tilfælde.
For fast værdi af begyndelsesfarten u0 vil vi nu forsøge at finde den vinkel,
hastighedsvektoren skal danne med x-aksen for at få den største kastelængde.
Af ligning (6.76) ses, at vinkelafhængigheden er bestemt af funktionen
1 + β sin(θ)
f(θ) = cos(θ) ln
1 − β sin(θ)
(6.78)
hvor β = u0
c .
For at finde maksimum af denne funktion differentieres den mht. θ, og differentialkvotienten
sættes lig nul. Derved fås ligningen
1 + β sin(θ)
2 cos
− sin(θ) ln
+ β
1 − β sin(θ)
2 (θ)
1 − β2 sin2 (θ)
= 0 (6.79)
Denne ligning har ingen analytisk løsning, men må løses numerisk. I modsætning
til det urelativistiske tilfælde hvor den største kastelængde fås for
θ = 45 o for alle værdier af u0, er vinklen, der giver den største kastelængde i
det relativistiske tilfælde, afhængig af begyndelsesfarten. Se Fig. (6.4).
Hastighedsbegrænsning. Af udtrykket for ux ligning (6.59) ses let, at ux
er voksende for 0 ≤ t ≤ t1 og aftagende for t ≥ t1. Endvidere ses at gælde
ux(t) → 0 for t → ∞ (6.80)
I det urelativistiske tilfælde er ux som bekendt konstant.

100 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
θ
58
56
54
52
50
48
46
44
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
u /c
0
0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figur 6.4: Vinklen θ (målt i grader) der giver den største kastelængde som
funktion af begyndelsesfarten.
Af udtrykket for uy ligning (6.60) ses, at uy er aftagende for alle t. Endvidere
ses at gælde
uy(t) → −c for t → ∞ (6.81)
I det urelativistiske tilfælde er uy også aftagende for alle t, men her vil
uy(t) → −∞ for t → ∞.
Ved direkte udregning af farten |u| vha. ligningerne (6.59) og (6.60) får vi
|u| < c for alle værdier af t. Hvis dette ikke havde været opfyldt, ville vi have
haft et problem!
Relativitetsteorien rækker længst. For fast værdi af begyndelsesfarten
u0 vil vi se på forskellen mellem den relativistiske kastelængde og den urela-

6.3 Ladet partikel i magnetfelt 101
tivistiske kastelængde
∆ x = x rel
max − x urel
max =
c
F
m
u2 0 − u2
0y
ln
1 − u2 0
c 2
f ′ (z) = 2
− 2
1 − z2 u0y 1+ c
1− u0y c
− 2 u0y
c
1 − u2 0
c 2
(6.82)
Parentesen i ovenstående ligning er en funktion af formen
f(z) = ln
1+z − 2 z 1 − 1−z
u20 c2 for 0 ≤ z < 1 (6.83)
med differentialkvotienten
1 − u2 0
c 2
(6.84)
Der gælder f ′ (z) > 0, således at f er voksende. Endvidere er f(0) = 0. Altså
er f(z) > 0 for z > 0, og dermed er ∆ x > 0. Heraf følger, at den relativistiske
kastelængde er større end den urelativistiske kastelængde.
Tilsvarende ses på forskellen på de to maksimalhøjder
∆ y = y rel
max − y urel
max =
c2
1 − 1 − u2 0y
c2 1 − 2
F
m
1 − u2 0
c 2
u 2 0y
c 2
1 − u2 0
c 2
(6.85)
Lad os på parentesen i ovenstående ligning. Denne indeholder en funktion af
formen
g(z) = 1 − √ 1 − z − 1
2 z
med differentialkvotienten
g ′ (z) =
1 − u2 0
c 2 for 0 ≤ z < 1 (6.86)
1
2 √
1 − 1 − 2
1 − z u20 c2 (6.87)
Der gælder g ′ (z) > 0, således at g er voksende. Endvidere er g(0) = 0. Altså
er ∆ y > 0, og dermed er den relativistiske maksimalhøjde større end den
urelativistiske maksimalhøjde.
6.3 Ladet partikel i magnetfelt
En partikel med masse m og elektrisk ladning q sendes ind i et område med
et tidsuafhængigt homogent magnetfelt B. Bevægelsesligningen er
d
dt
m u
1 − ( u
c )2 = q u × B (6.88)

102 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
Da kraften er vinkelret på hastigheden, er farten konstant, og vi kan derfor
trække kvadratroden udenfor differentiationen således, at ligning (6.88)
omskrives til
d
dt u = α u × B (6.89)
hvor
α ≡ q
m
1 − ( u
c )2 (6.90)
Ligning (6.89) er helt den samme ligning som i det urelativistiske tilfælde
m
blot med den forskel, at m er erstattet af √ u . Løsningen er defor også
1−( )2
af samme form. Altså i B-feltets retning fortsætter partiklen med konstant
hastighed, og vinkelret på B-feltet er bevægelsen en jævn cirkelbebevægelse.
Men lad os nu gennemføre regnestykket i detaljer.
Vi vælger koordinatsystem så z-aksen går i B-feltets retning: B = (0, 0, B).
Hermed bliver u × B = (B uy, −B ux, 0), og ligning (6.89) er i koordinater
c
d ux
dt = α B uy (6.91)
d uy
dt = −α B ux (6.92)
d uz
= 0
dt
(6.93)
Ligning (6.93) giver umiddelbart, at hastigheden i z-retningen er konstant
uz = uoz
(6.94)
hvor uoz er begyndelseshastigheden i z-aksens retning. Dvs.bevægelsen i zaksens
retning er en jævn bevægelse.
Ligningerne (6.91) og (6.92) kobler. Ved differentiation af ligning (6.91) mht.
t og anvendelse af ligning (6.92) fås
hvor
Ligning (6.95) har løsningen
Ligningerne (6.92) og (6.97) giver
d 2 ux
dt 2 = −ω2 ux (6.95)
ω ≡ α B (6.96)
ux(t) = A cos(ω t + δ) (6.97)
uy = −A sin(ω t + δ) (6.98)

6.3 Ladet partikel i magnetfelt 103
Stedkoordinaterne x og y findes ved integration af ligningerne (6.97) og (6.98)
x(t) = A
ω
y(t) = A
ω
sin(ω t + δ) + c1
(6.99)
cos(ω t + δ) + c2
(6.100)
Dvs. i xy-planen har vi en jævn cirkelbevægelse med radius A,
vinkelhastighed
ω
ω og centrum i (c1, c2). Hele banekurven kan altså karakteriseres ved at være
en skruelinje (eller helix). Se Fig. (6.5).
z
30
25
20
15
10
5
0
2
Δ z
1
0
y
-1
-2
Figur 6.5: Ladet partikels bevægelse i magnetfelt. Banekurven er en skruelinje.
Akseinddelingen er arbitrær.
Omløbstiden T er
T =
2 π
ω =
-2
-1
2 π m
q B 1 − ( u
c )2
x
0
1
2
(6.101)

104 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
I løbet af en omgang i cirkelbevægelsen vil forskydningen ∆ z, skruehøjden,
i z-aksens retning være
∆ z = u0z T =
2 π m u0z
q B 1 − ( u
c )2
(6.102)
Konstanterne A, δ, c1 og c2 bestemmes af begyndelsesbetingelserne. Lad disse
være x(0) = y(0) = 0, ux(0) = 0 og uy = uoy. Med disse værdier bliver
ligningerne (6.99) og (6.100)
Radius i cirklen er
x(t) = − uoy
ω
y(t) = uoy
ω
r = uoy
ω =
cos(ω t) + uoy
ω
(6.103)
sin(ω t) (6.104)
m uoy
q B 1 − ( u
poy
=
)2 q B
c
(6.105)
hvor poy er partiklens startimpuls i y-retningen. Denne er også hele partiklens
startimpuls i xy-planen. Længden af impulsvektoren er uændret under hele
bevægelsen. Endvidere er impulsen i z-retningen konstant. Derfor er længden
af impulsvektorens projektion på xy-planen konstant, således at ligning
(6.105) kan skrives
6.4 Relativistisk raket
r = |−→ pxy|
q B
(6.106)
Vi vil i det følgende se på en raket, der bevæger sig efter x-aksen i inertialsystemet
S. Fremdriften af raketten foregår ved, at der sendes noget masse
i form af en gas ud af raketten i den negative x-akses retning. Denne gas
antages at have den konstante hastighed −vo i forhold til raketten målt i
rakettens hvilesystem. Lad raketten have den øjeblikkelige hastighed u målt
i inertialsystemet S. Se Fig. (6.6). Dermed bliver gassens hastighed ug i systemet
S
u − vo
ug =
1 −
u vo
c 2
(6.107)
Raketten befinder sig langt væk fra alle andre legemer, således at raket plus
gas udgør et isolereret system. Rakettens startmasse er m1, og dens slutmasse
er m2. Rakettens starthastighed er u1, og dens sluthastighed er u2. Vi

6.4 Relativistisk raket 105
y
S
Figur 6.6: Raketfremdrift i feltfrit område.
ønsker at finde sammenhængen mellem disse fire størrelser. Dette gøres ved
at benytte energi- og impulsbevarelse for systemet raket+gas: Ændringen i
rakettens energi/impuls er lig minus ændringen i gassens energi/impuls. Lad
den udsendte gasmængde i et vist tidsrum være ∆m og lad rakettens øjeblikkelige
masse være m. Følgende to ligninger kan da opstilles for energi- og
impulsbalancen
d m c2
u 1 − ( c )2
∆m c
= − 2
1 − ( ug
c )2
d m u
u 1 − ( c )2
∆m ug
= − 1 − ( ug
c )2
u
x
(6.108)
(6.109)
Ved at dividere ligning (6.109) med ligning (6.108) falder ∆m ud, og vi får
d √ m u
u
1−( c )2
d = ug
(6.110)
m
√ u
1−( c )2
Differentialerne i ligning (6.110) udregnes
√ u
u dm + m d
1−( )2
c
√ 1
u dm + m d
1−( )2
c
u
√ u
1−( c )2
√ 1
u
1−( c )2
Ved at benytte ligning (6.107) samt
d u
u 1 − ( c )2
1
=
u 1 − (
d 1
u 1 − ( c )2
=
3
2 )2 c
u
c2 3
u 2 1 − ( )2 c
= ug
(6.111)
du (6.112)
du (6.113)

106 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
kan ligning (6.111) omskrives til
Ligning (6.114) integreres
m2
og vi får
m1
vo
vo
dm
m
dm
m
= − du
1 − ( u
c )2
u2
= −
u1
m2 c
vo ln(m) = − ln
m1 2
du
1 − ( u
c )2
1 + u
c
1 − u
c
u2
u1
(6.114)
(6.115)
(6.116)
Hvis vi antager, at u1 = 0, altså at raketten starter i hvile i inertialsystemet
S, får vi et lidt simplere regnestykke. Sluthastigheden u2 findes af ligning
(6.116)
u2 = c
2 vo
m2 1 − ( ) c
m1
1 + ( m2
2 vo
) c
m1
For vo ≪ c fås, at u2 i ligning (6.117) kan aproksimeres til 6
2 v0 − ln( c
u2 ≈ c m2
m1 )
2 v0 2 + ln( c m2
m1 ) ≈ vo ln m1
m2
som jo også det resultat, en urelativistisk regning giver.
(6.117)
(6.118)
Lad os nu forestille os, at gassen, der blev sendt ud, var en fotongas. Fotonernes
frekvens er f, og der udsendes n fotoner i et givet tidsrum. Ligningerne
(6.108) og (6.109) bliver da ændret til
d m c2
u 1 − ( c )2
= −n h f (6.119)
d m u
u 1 − ( c )2
h f
= −n (6.120)
c
Ved at benytte helt samme metode som før får vi her ligningen
c dm
m
= − du
1 − ( u
c )2
(6.121)
Denne ligning kan igen løses ved integration, og med samme betingelser som
før fås her for u2
u2 = c
1 − ( m2
m1 )2
1 + ( m2
m1 )2
som er det samme, som vi ville få af ligning (6.117) ved at sætte vo = c.
6 Benyt at for |x| ≪ 1 gælder a x ≈ 1 + x ln(a).
(6.122)

Kapitel 7
Elektriske og magnetiske felter
Elektriske og magnetiske felter spiller allerede fra starten af Einsteins overvejelser
om rum og tid en central rolle for udviklingen af den specielle relativitetsteori.
Einstein funderer over, at det er lige meget om en magnet bevæger
sig forbi en stationær leder, eller om, det er lederen, der bevæger sig forbi
en stationær magnet. Den iagttagne elektriske strøm, der genereres, er den
samme. Endvidere stod det med formuleringen af Maxwells ligninger klart,
at lys er udbredelse af elektriske og magnetiske felter i rummet, og med Einsteins
forkastelse af æterteorien, blev det ligeledes klart, at disse felter ikke
behøver et medium for at kunne udbrede sig, men også kan udbrede sig i det
tomme rum. Da et af grundpostulaterne i den specielle relativitetsteori er, at
alle inertialsystemer er lige gode, vil vi i dette kapitel undersøge, hvorledes
elektriske og magnetiske felter transformerer fra et inertialsystem til et andet
inertialsystem.
7.1 Transformationsformlerne
For at finde transformationsformlerne for det elektriske felt E og for det
magnetiske felt B går vi ud fra, at Lorentzkraften i de to inertialsystemer S
og S ′ er givet ved henholdsvis
F = q ( E + u × B) (7.1)
F ′ = q ( E ′ + u ′ × B ′ ) (7.2)
hvor u og u ′ er partiklens hastighed i henholdsvis S og S ′ . Tilsvarende notation
for kræfter og felter. Det er endvidere antaget, at den elektriske ladning
q af partiklen er invariant. Lad os se på x ′ -komponenten af F ′
F ′ x = q (E ′ x + u ′ y B ′ z − u ′ z B ′ y) (7.3)
107

108 Elektriske og magnetiske felter
Hastighederne målt i S ′ kan udtrykkes ved hastighederne i S, således at
ligning (7.3) kan skrives
F ′ x = q E ′ x + uy
1 − ( v
1 −
c )2
v ux
c2 B ′ z − uz
1 − ( v
1 −
v ux
c 2
c )2
B ′
y
(7.4)
Vi kan også finde F ′ x af ligning (7.1) ved at benytte transformationsformlen
ligning (4.77) for kraft
F ′ x = Fx − v
c2 u · F
v ux 1 − c2 ⇔ (7.5)
F ′ x = q (Ex + uy Bz − uz By − v
1 −
c2 (ux Ex + uy Ey + uz Ez))
v ux
c2 (7.6)
Ved i ligningerne (7.4) og (7.6) at sammenligne de hastighedsuafhængige led
og de led, der afhænger af henholdsvis uy og af uz, fås 1
samt
For F ′ y fås på samme måde
E ′ x = Ex
B ′ y = By + v
c 2 Ez
1 − ( v
c )2
B ′ z = Bz − v
c 2 Ey
1 − ( v
c )2
(7.7)
(7.8)
(7.9)
F ′ y = q (E ′ y + u ′ z B ′ x − u ′ x B ′ z) ⇔ (7.10)
F ′ y = q E ′ y + uz
1 − ( v
1 −
v ux
c 2
c )2
B ′ x − ux − v
1 −
v ux
c 2
B ′
z
(7.11)
F ′ y kan også findes ved at benytte krafttransformationsformlen ligning (4.80)
for Fy
F ′ y = q (Ey + uz Bx − ux Bz) 1 − ( v
1 −
v ux
c 2
c )2
(7.12)
Ved at sammenholde led med uz i ligningerne(7.11) og (7.12) ses, at der
gælder
(7.13)
B ′ x = Bx
1 Det forudsættes, at hastigheden u ikke indgår i transformationsformlerne.

7.1 Transformationsformlerne 109
Fra ligning (7.9) kender vi B ′ z. Dette indsættes i ligning (7.11) og led uden
uz i ligningerne (7.11) og (7.12) sammenlignes. Dette giver
E ′ y − Bz − v
c 2 Ey
1 − ( v
c )2
som efter lidt regning medfører
Vi ser dernæst på F ′ z
ux − v
1 −
v ux
c 2
= (Ey − ux Bz) 1 − ( v
1 −
E ′ y = Ey − v Bz
v 1 − ( c )2
v ux
c 2
c )2
(7.14)
(7.15)
F ′ z = q (E ′ z + u ′ x B ′ y − u ′ y B ′ x) ⇔ (7.16)
som efter brug af hastighedstransformationen giver
F ′ z = q E ′ z + ux − v
B
1 − ′ y − uy
1 − v
c
1 −
v ux
c 2
v ux
c 2
Ved transformation af Fz ved brug af ligning (4.81) fås
F ′ z = q (Ez + ux By − uy Bx) 1 − ( v
1 −
v ux
c 2
2
c )2
B ′
x
(7.17)
(7.18)
Fra ligning (7.8) kendes B ′ y. Dette indsættes i ligning (7.17), og led uden uy
sammenlignes i ligningerne (7.17) og (7.18), hvorved vi får
E ′ z + By + v
c 2 Ez
1 − ( v
c )2
som efter lidt regning giver
ux − v
1 −
v ux
c 2
= (Ez + ux By) 1 − ( v
1 −
E ′ z = Ez + v By
v 1 − ( c )2
v ux
c 2
c )2
(7.19)
(7.20)
Lad os samle de opnåede resultater for transformation af det elektriske og
det magnetiske felt fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ′
E ′ x = Ex
B ′ x = Bx
E ′ y = Ey − v Bz
v 1 − ( c )2
B ′ y = By + v
c 2 Ez
1 − ( v
c )2
E ′ z = Ez + v By
v 1 − ( c )2
B ′ z = Bz − v
c 2 Ey
1 − ( v
c )2
(7.21)
(7.22)

110 Elektriske og magnetiske felter
og de tilsvarende formler for transformationen fra S ′ til S
Ex = E ′ x
Bx = B ′ x
Ey = E′ y + v B ′ z
v 1 − ( c )2
By = B′ y − v
c 2 E ′ z
1 − ( v
c )2
Ez = E′ z − v B ′ y
v 1 − ( c )2
Bz = B′ z + v
c 2 E ′ y
1 − ( v
c )2
(7.23)
(7.24)
7.2 Konsekvenser af transformationsformlerne
7.2.1 Invariante størrelser
Det ses ved direkte udregning, at følgende størrelser er invariante
samt
E 2 − c 2 B 2
= E ′ 2
− c 2 B ′ 2
(7.25)
E · B = E ′ · B ′ (7.26)
Ligning (7.26) viser, at hvis det elektriske felt og det magnetiske felt er ortogonale
i inertialsystemet S, er de også ortogonale i inertialsystemet S ′ .
7.2.2 Specialtilfældet E = o
For E = o og B vilkårlig følger umiddelbart af ligningerne (7.21) og (7.22)
E ′ x = 0 E ′ y =
B ′ x = Bx
B ′ y =
−v Bz
1 − ( v
c )2
By
1 − ( v
c )2
E ′ z =
B ′ z =
v By
1 − ( v
c )2
Bz
1 − ( v
c )2
(7.27)
(7.28)
Af disse to ligninger ses, at det der i inertialsystemet S kun er et magnetisk
felt, i inertialsystemet S ′ er både et magnetisk felt og et elektrisk felt.
Da v = vi og B = Bx i + By j + Bz k, hvor i, j og k er de sædvanlige
basisvektorer i rumdelen af inertialsystemet S, er v × B = v By k − v Bz j.
Ligningerne (7.27) og (7.28) kan derved i dette tilfælde sammenfattes ved
E ′ =
1
1 − v ×
v 2
c
B = v × B ′ (7.29)

7.3 Den kørende stang 111
7.2.3 Specialtilfældet B = o
For B = o og E vilkårlig følger umiddelbart af ligningerne (7.21) og (7.22)
E ′ x = Ex
E ′ y =
B ′ x = 0 B ′ y =
Ey
1 − ( v
c )2
v
c 2 Ez
1 − ( v
c )2
E ′ z =
B ′ z =
Ez
1 − ( v
c )2
− v
c 2 Ey
1 − ( v
c )2
(7.30)
(7.31)
Af disse to ligninger ses, at det, der i inertialsystemet S kun er et elektrisk
felt, i inertialsystemet S ′ både er et elektrisk felt og et magnetisk felt.
Da v = vi og E = Ex i + Ey j + Ez k, er v × E = v Ey k − v Ez j. I dette
specialtilfælde kan ligningerne (7.30) og (7.31) derved sammenskrives til
B ′ = −1
c 2
7.3 Den kørende stang
v × E −1
= v 1 − ( )2 c
c 2 v × E ′ (7.32)
Vi vil se på en meget lang stang med positiv elektrisk ladning homogent
påsmurt. I inertialsystemet S ′ , hvor stangen er i hvile, er ladningstætheden,
ladning pr. længde, λo. I S ′ er der kun et elektrisk felt rettet radialt væk fra
x ′ -aksen. For et punkt beliggende i x ′ y ′ -planen med y ′ > 0 er det elektriske
felt i y ′ -aksens retning
E ′ y = λo
2 π ɛo r ′
(7.33)
hvor r ′ er afstanden fra det pågældende punkt til x ′ -aksen.
Inertialsystemet S ′ bevæger sig med hastighed v i forhold til inertialsystemet
S (se Fig. (7.1)), og derfor bliver ladningstætheden λ i S på grund af Lorentzforkortningen
λ =
λo
1 − v
c
2
(7.34)
Denne ladningsfordeling giver også i S et elektrisk felt i det givne punkt
rettet efter y-aksen
Ey =
λo
2 π ɛo r 1 − v
c
2
(7.35)

112 Elektriske og magnetiske felter
y
S
y ′
S ′
v
Figur 7.1: Kørende stang med elektrisk ladning.
x, x ′
Men i S får vi også et magnetfelt fra Biot-Savarts lov, idet vi i dette inertialsystem
har en elektisk strøm i x-aksens retning med stømstyrke
I =
Magnetfeltet i det givne punkt er
Bz = µo
2 π
λo v
1 − v
c
2
λo v
r 1 − v
c
2
(7.36)
(7.37)
hvor r er afstanden fra punktet til x-aksen. Da afstande vinkelrette på x, x ′ -
akserne er ens i S og S ′ er r = r ′ .
Vi kan også finde Ey og Bz ved at benytte de fundne transformationsregler
for elektriske og magnetiske felter ligningerne (7.23) og (7.24) samt ligning
(7.33). Dette giver
samt
Ey = E′ y + v B ′ z
λo
1 − =
v 2
2 π ɛo r 1 − c
v
c
c2 E ′ y
1 − v
c
Bz = B′ z + v
2 = µo
2 π
λo v
r 1 − v
c
2
2
(7.38)
(7.39)
hvor vi også har benyttet B ′ z = 0. Ligningerne (7.38) og (7.39) er præcis de
samme som ligningerne (7.35) og (7.37).

7.4 Ladet partikel med konstant hastighed 113
7.4 Ladet partikel med konstant hastighed
En partikel med elektrisk ladning q bevæger sig med konstant hastighed v
efter x-aksens retning i inertialsystemet S. Se Fig. (7.2).
z
q
y
θ
v
r
Figur 7.2: Det elektriske og det magnetiske felt fra ladning med konstant
hastighed v langs x-aksen.
I partiklens hvilesystem S ′ er i punktet P (x ′ , y ′ , z ′ ) til alle tider det elektriske
felt givet ved Coulombfeltet, og det magnetiske felt er nul
E ′ = q
4 π ɛ0
r ′
|r ′ |
= q
4 π ɛ0
P
1
B
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3
2
E
x
(x ′ , y ′ , z ′ ) (7.40)
B ′ = o (7.41)
hvor r ′ er stedvektoren til P i S ′ .
Vi vil finde det elektriske felt og det magnetiske felt i inertialsystemet S til
tiden t = 0. Af transformationsformlerne for felterne ligningerne (7.23) og

114 Elektriske og magnetiske felter
(7.24) får vi
Ex = q
4 π ɛ0
Ey = q
4 π ɛ0
Ez = q
4 π ɛ0
Bx = 0
By = − v
c 2
Bz = v
c 2
x ′
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3
2
1
1 − v
c
1
1 − v
c
2
2
q
4 π ɛ0
1
1 − v
c
q
4 π ɛ0
1
1 −
v 2
c
Af disse to ligningssæt ses, at der gælder
y ′
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3
2
z ′
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3
2
2
z ′
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3
2
y ′
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3
2
(7.42)
(7.43)
B = 1
c 2 v × E (7.44)
Til t = 0 er P i S beskrevet ved r = (x, y, z) og i S ′ ved
x ′ =
x
1 − v
c
2
y ′ = y z ′ = z (t ′ =
v − c2 x
1 − ) (7.45)
v 2
c
Ligning (7.45) benyttes i ligning (7.42), og vi får det elektriske felt (og dermed
også det magnetiske felt) i punktet P i systemetS udelukkende beskrevet ved
koordinater angivet i S. Først foretages en lille omskrivning af x ′2 + y ′2 + z ′2
x ′2 + y ′2 + z ′2 =
=
=
1
1 −
v 2 x
c
2 + y 2 + z 2
1
1 −
v 2 (x
c
2 + y 2 + z 2 1
) + (1 −
1 −
v 2 ) (y
c
2 + z 2 )
1
1 −
v 2 |r|
c
2 (1 −
v 2 2
sin (θ)) (7.46)
c

7.4 Ladet partikel med konstant hastighed 115
hvor θ er vinklen mellem v og r. Denne mellemregning anvendes i ligning
(7.42), og vi får med r = |r|
Ex = q
4 π ɛ0
Ey = q
4 π ɛ0
Ez = q
4 π ɛ0
(1 −
v 2)
c
(1 −
v 2)
c
(1 −
v 2)
c
r 3 (1 − v
c
r 3 (1 − v
c
r 3 (1 − v
c
x
2 sin 2 (θ)) 3
2
y
2 sin 2 (θ)) 3
2
z
2 sin 2 (θ)) 3
2
(7.47)
Dvs. E er rettet radiært væk fra ladningens øjeblikkelige position. B-feltets
retning er pga. krydsproduktet både vinkelret på v og r og har samme længde
for alle r, der fås ved at roterere r rundt om x-aksen med fast åbningsvinkel
(som på en kegle). Dvs. B-feltet er for alle disse r tangent til den derved
fremkomne cirkel. Se Fig. (7.2). Endvidere ses af vinkelafhængigheden θ,
at det elektriske felt er størst for θ = 90 o , altså i retninger vinkelrette på
ladningens bevægelsesretning, og det elektriske felt er mindst i og modsat
bevægelsesretningen. 2 Længden af det elektriske felt er nemlig
| E| = q
4 π ɛ0
r 2 1 − v
c
1 −
v 2
c
2 sin 2 (θ) 3
2
(7.48)
For B-feltet kommer der yderligere en formindskende θ-afhængighed via
krydsproduktet i ligning (7.44). Derved bliver længden af B-feltet
Se Fig. (7.3).
| B| =
q
4 π ɛ0 c
v
c
v 2
1 − sin(θ)
c
r 2 1 − v
c
2 sin 2 (θ) 3
2
(7.49)
Bemærk at både | E| og B| er symmetriske omkring θ = 90 o , og at B = o i
både forlæns og baglæns retning, dvs. for θ = 0 o og θ = 180 o .
2 Disse betragtninger gælder til ethvet tidspunkt i inertialsystemet S. Vi har af regnemæssige
bekvemmelighedsgrunde valgt at se på situationen for t = 0, men som det ses,
indgår tiden ikke i vores konklusion.

116 Elektriske og magnetiske felter
E/E 0
1.5
1
0.5
Elektrisk felt
1a
0
0
1.5
50 100 150 200
1
0.5
2a
0
0
1.5
50 100 150 200
1
0.5
0
0
2
3a
50 100 150 200
1
0
0
4a
50 100
θ
150 200
B/B 0
1
0
Magnetisk felt
-1
0
0.4
1b
50 100 150 200
0.2
0
0
1
50 100 150 200
0.5
0
0
1.5
50 100 150 200
1
2b
3b
0.5
4b
0
0 50 100
θ
150 200
Figur 7.3: Det elektriske og det magnetiske felt for en ladet partikel, der
bevæger sig med farten v i x-aksens retning som funktion af vinklen θ.
Felterne er skalerede med henholdsvis E0 = q
4 π ɛ0 r2 q
og B0 = 4 π ɛ0 c r2 .
1.række: v
c
= 0, 2.række: v
c
= 0.25, 3.række: v
c
= 0.50, 4.række: v
c
= 0.75.

Kapitel 8
Invarians af Maxwells ligninger
Vi har i kapitel 4 set, at kravene, der fører frem til Lorentztransformationen,
medfører, at den Newtonske mekanik skal ændres. Det viste sig nødvendigt
at indføre en ny definition af impuls. Dermed blev Newtons 2. lov justeret,
og vi fik en teori for den relativistiske mekanik, der gælder i alle inertialsystemer.
Vi skal nu undersøge, om Lorentztransformationen også medfører
at elektrodynamikken, som den er beskrevet ved Maxwells ligninger, også
skal ændres. Resultatet af disse undersøgelser er, at Maxwells ligninger er
invariante under en Lorentztransformation.
8.1 Maxwells ligninger i vakuum
Maxwells ligninger i vakuum har som bekendt formen
∇ · E = 0 (8.1)
∇ · B = 0 (8.2)
∇ × E = − ∂B
∂t
(8.3)
∂E
∇ × B = µo ɛo
∂t
(8.4)
117

118 Invarians af Maxwells ligninger
Skrevet ud i koordinater lyder de
∂Ex
∂x
∂Bx
∂x
+ ∂Ey
∂y
+ ∂By
∂y
∂Ez
∂y
∂Ex
∂z
∂Ey
∂x
∂Bz
∂y
∂Bx
∂z
∂By
∂x
+ ∂Ez
∂z
+ ∂Bz
∂z
− ∂Ey
∂z
− ∂Ez
∂x
− ∂Ex
∂y
= 0 (8.5)
= 0 (8.6)
= −∂Bx
∂t
= −∂By
∂t
= −∂Bz
∂t
∂By
−
∂z = µo
∂Ex
ɛo
∂t
∂Bz
−
∂x = µo
∂Ey
ɛo
∂t
∂Bx
−
∂y = µo
∂Ez
ɛo
∂t
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
Vi ønsker at vise, at Maxwells ligninger har samme form i alle inertialsystemer.
Lorentztransformationen fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ′
vil i dette afsnit blive skrevet på formen
x ′ = γ (x − v t) y ′ = y z ′ = z t ′ = γ (t − v
c 2 x) (8.13)
hvor
γ =
1
1 − v
c
2
(8.14)

8.1 Maxwells ligninger i vakuum 119
Lad en fysisk størrelse F være en funktion af t og x samt y og z. Da t og x er
funktioner af t ′ og x ′ som angivet i ligning (8.14), gælder ifølge kædereglen
Endvidere gælder
∂F
∂t
∂F
∂x
∂F
=
∂t ′
= ∂F
∂t
∂t ′
∂t
+ ∂F
∂x ′
∂x ′
∂t
∂F
γ − v γ (8.15)
′ ∂x ′
∂F
=
∂t ′
∂t ′
∂x
= − ∂F
∂t ′
v
c
∂F
∂y
∂F
∂z
= ∂F
∂y ′
= ∂F
∂z ′
+ ∂F
∂x ′
∂x ′
∂x
∂F
γ + γ (8.16)
2 ∂x ′
(8.17)
(8.18)
Ved at benytte transformationsreglerne for det elektriske felt og for det magnetiske
felt (se ligningerne (7.23) til (7.24)) samt ovenstående differentiationsregler
omskrives ligning (8.7)
∂
∂y ′ (γ (E′ z − v B ′ y)) − ∂
∂z ′ (γ (E′ y + v B ′ z)) = −(γ ∂
∂t ′ B′ x − γ v ∂
∂x ′ B′ x) ⇔
∂E ′ z
∂y ′ − ∂E′ y
∂z ′ + ∂B′ x
∂t ′
∂B
− v ′ x
∂x ′ + ∂B′ y
∂y ′ + ∂B′ z
∂z ′
= 0 (8.19)
Ligeledes omskrives ligning (8.6)
− v
c 2 γ ∂B′ x
∂t ′ + γ ∂B′ x
∂x
∂
+ ′ ∂y ′
′
γ B y − v
c2 E′ ∂
z +
∂z ′
′
γ B z + v
c2 E′
y = 0 ⇔
− v
c2 ∂E ′ z
∂y ′ − ∂E′ y
∂z ′ + ∂B′ x
∂t ′
∂B
+ ′ x
∂x ′ + ∂B′ y
∂y ′ + ∂B′ z
∂z ′
= 0 (8.20)
Hvis ligningerne (8.19) og (8.20) skal gælde for alle v, må følgende være
opfyldt
∂B ′ x
∂x ′ + ∂B′ y
∂y ′ + ∂B′ z
∂z
′ = 0 (8.21)
∂E ′ z
∂y ′ − ∂E′ y
∂z ′ = −∂B′ x
∂t ′
(8.22)

120 Invarians af Maxwells ligninger
Men ligningerne (8.21) og (8.22) er jo netop to af Maxwells ligninger (8.6)
og (8.7) opskrevet i inertialsystemet S ′ . Dvs. disse to ligninger er Lorentzinvariante.
Ligning (8.8) omskrives
∂E ′
x
− −
∂z ′ ∂
∂t ′
′
γ (E z − v B ′ y) v
c2 ∂
γ +
∂x ′ (γ (E′ z − v B ′
y)γ =
∂
−
∂t ′
′
γ B y − v
c2 E′ ∂
z γ −
∂x ′
′
γ B y − v
c2 E′
z v γ ⇔ (8.23)
∂E ′ x
∂z ′ − ∂E′ z
∂x ′ = −∂B′ y
∂t ′
(8.24)
Ligning (8.24) Maxwells ligning (8.8) i inertialsystemet S ′ . Igen er invariansen
af en Maxwellligning hermed vist. Invariansen af ligning (8.9) kan gennemføres
helt analogt.
Dernæst ser vi på ligning (8.5) med udnyttelse af c 2 = 1
µo ɛo
− ∂E′ x
∂t ′
v
c2 γ + ∂E′ x
∂x
∂
γ + ′ ∂y ′ (γ(E′ y + v B ′ z)) + ∂
∂z ′ (γ(E′ z − v B ′ y)) = 0 ⇔
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z ′
∂B
+ v ′ z
∂y ′ − ∂B′ y 1
−
∂z ′ c2 ∂E ′ x
∂t ′
= 0 ⇔
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z ′
∂B
+ v ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ − µo
∂E
ɛo
′ x
∂t ′
= 0 (8.25)
Endelig får ligning (8.10) samme behandling
∂
∂y ′
′
γ B z + v
c2 E′ ∂
y −
∂z ′
′
γ B y − v
c2 E′ ∂E
z = µo ɛo
′ x
∂t ′ γ − ∂E′ x
∂x ′ v γ ⇔
v
c2 ∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z ′
∂B
+ ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ − µo
∂E
ɛo
′ x
∂t ′
= 0 (8.26)
Hvis ligningerne (8.25) og (8.26) skal gælde for alle v, må følgende være
opfyldt
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z
∂B ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ = µo
∂E
ɛo
′ x
∂t ′
′ = 0 (8.27)
(8.28)
Ligningerne (8.27) og (8.28) er netop Maxwellligningerne (8.5) og (8.10).
Altså igen er det vist, at to af Maxwllligningerne er Lorentzinvariante.
De resterende ligningers invarians vises på samme måde.

8.2 Ladningstæthed og strømtæthed 121
8.2 Ladningstæthed og strømtæthed
Lad os betragte et system af ladninger i bevægelse i et inertialsystem S. Ladningernes
hastighed i S er u. I ladningernes hvilesystem er ladningstætheden
ρo. På grund af Lorentzforkortningen i bevægelsesretningen (se ligning (3.62))
er ladningstætheden ρ i inertialsystemt S da
1
ρ = ρo
1 − u
c
Strømtætheden j bliver derfor i dette inertialsystem
2
j
u
= ρ u = ρo
1 − u
c
2
(8.29)
(8.30)
Vi vil nu finde transformationsreglerne for ladningstæthed og strømtæthed
ved overgang mellem to inertialsystemer S og S ′ , hvor S ′ bevæger sig med
hastighed v i forhold til S. Til brug for dette benytter vi hastighedstransformationen
ligningerne (3.36) til (3.38) samt relationen (se ligningerne (4.55)
til (4.57))
Først omskrives ρ
1 − u
c
1
ρ = ρo
1 − =
u 2
c
ρ = ρ′ + v
c 2 j ′ x
1 − v
c
2
Dernæst på samme måde
jx =
ρo ux
2 =
1 − =
u 2
c
jx = j′ x + v ρ ′
2 1 − v
c
1 − v
c
2
1 + v u′ x
c 2
ρo +
u ′
2
1− c
v
c2
ρo u ′ x
u ′
1− c
1 − v
c
1 − u ′
c
ρo u ′ x
u ′
1− c
2 2 + v
1 − v
c
2
2
ρo u ′
1− c
2 ⇔
2
⇔
(8.31)
(8.32)
(8.33)

122 Invarians af Maxwells ligninger
For jy og jz ses at gælde
Altså har vi
jy =
jz =
ρo uy
1 − =
u 2
c
ρo uz
1 − =
u 2
c
jy = j ′ y
jz = j ′ z
ρo u ′ y
1 − u ′
= j
2
c
′ y
ρo u ′ z
1 − u ′
= j
2
c
′ z
(8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
Vi kan hermed konkludere, at (ρ, jx, jy, jz) transformerer på samme måde
som (t, x, y, z) under en Lorentztransformation. Endvidere kan vi slutte, at
(c ρ) 2 − j 2 er invariant. Den bliver
(c ρ) 2 − j 2 = c 2 ρ 2 o
8.3 Maxwells ligninger med kilder
Maxwells ligninger med kilder er
∇ · E = ρ
ɛo
(8.38)
(8.39)
∇ · B = 0 (8.40)
∇ × E = − ∂B
∂t
∇ × B = µo j + µo ɛo
∂E
∂t
(8.41)
(8.42)

8.3 Maxwells ligninger med kilder 123
På koordinatform er de
∂Ex
∂x
∂Bx
∂x
+ ∂Ey
∂y
+ ∂By
∂y
∂Ez
∂y
∂Ex
∂z
∂Ey
∂x
∂Bz
∂y
∂Bx
∂z
∂By
∂x
+ ∂Ez
∂z
+ ∂Bz
∂z
− ∂Ey
∂z
− ∂Ez
∂x
− ∂Ex
∂y
= ρ
ɛo
(8.43)
= 0 (8.44)
= −∂Bx
∂t
= −∂By
∂t
= −∂Bz
∂t
∂By
−
∂z = µo
∂Ex
jx + µo ɛo
∂t
∂Bz
−
∂x = µo
∂Ey
jy + µo ɛo
∂t
∂Bx
−
∂y = µo
∂Ez
jz + µo ɛo
∂t
(8.45)
(8.46)
(8.47)
(8.48)
(8.49)
(8.50)
Vi skal nu vise Lorentzinvariansen af ligningerne (8.43) til (8.50). Fremgangsmåden
er den samme som i det kildefrie tilfælde. Omskrivningen af
ligning (8.43) giver i forhold til før blot et ekstra led, der hidrører fra transformationen
af ρ ligning (8.32). Resultatet er, idet vi igen benytter c 2 = 1
µo ɛo
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z ρ′
−
∂z ′
ɛo
+ v ∂B ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ − µo j ′ x − µo ɛo
∂E ′ x
∂t ′
= 0 (8.51)
Ved omskrivningen af ligning (8.48) benyttes ligning (8.33) til at udtrykke
µo jx ved de målte størrelser i inertialsystemet S ′ . Resultatet er
v
c2 ∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z ρ′
−
∂z ′
ɛo
+ ∂B ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ − µo j ′ x − µo ɛo
∂E ′ x
∂t ′
= 0 (8.52)

124 Invarians af Maxwells ligninger
Da ligningerne (8.51) og (8.52) skal gælde for alle v, slutter vi
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z ρ′
=
∂z ′
ɛo
∂B ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ = µo j ′ x + µo ɛo
∂E ′ x
∂t ′
(8.53)
(8.54)
Hvilket netop er Maxwellligningerne (8.43) og (8.48) i inertialsystemet S ′ .
Ligning (8.49) omskrives analogt med (8.48). Efter nogen rumsteren rundt
fås her
∂B ′ x
∂z ′ − ∂B′ z
∂x ′ (1 − µo ɛo v 2 ) γ 2 ∂E
= µo ɛo
′ y
∂t ′
v 2 2
1 − γ + µo j
c
′ y (8.55)
Ved at udnytte (1 − µo ɛo v2 ) γ2 = 1 − omskrives til
v 2
2 γ c = 1 kan ligning (8.55)
∂B ′ x
∂z ′ − ∂B′ z
∂x ′ = µo j ′ y + µo ɛo
∂E ′ y
∂t ′
(8.56)
som netop er Maxwelligning (8.49) i S ′ .
Ligning (8.50) behandles helt analogt med dette. Ligningerne (8.44) til (8.47)
vises helt som før i det kildefrie tilfælde.
Konklusionen er, at også Maxwells ligninger med kilder er af samme form i
alle inertialsystemet. Dvs. disse ligninger er Lorentzinvariante.
8.4 Bølgeligningen
Bølgeligningen for det elektriske og for det magnetiske felt er en følge af
Maxwells ligninger (8.1) til (8.4)
og
∂ 2
∂x
∂ 2
∂x
∂y
∂z 2
∂2 ∂2
+ + 2 2
∂y
∂z 2
∂2 ∂2
+ + 2 2
E − µo ɛo
B − µo ɛo
∂2 E = 0 (8.57)
∂t2 ∂2 B = 0 (8.58)
∂t2 Da disse bølgeligninger udeledes direkte fra Maxwells ligninger, og da Maxwells
ligninger er Lorentzinvariante, har bølgeligningen samme form i alle inertialsystemer,
og dermed er udbredelsesfarten for de elektromagnetiske bølger
også den samme i alle inertialsystemer i overensstemmelse med den
grundlæggende antagelse i relativitetsteorien, nemlig at lysets fart har samme
værdi i alle inertialsystemer.

Kapitel 9
Firevektorer
Vi vil i dette kapitel indføre et nyt begreb, som kan være meget nyttigt ved
både teoretiske og konkrete regninger i relativitetsteorien. Den nye størrelse
vi vil indføre er firevektoren, som er analog til den sædvanlige vektor i planen
eller rummet. For sædvanlige vektorer er skalarproduktet ofte en bekvem
størrelse at ty til ved både teoretiske og konkrete beregninger. Ligeledes er
længder (eller afstande) i planen eller i rummet jo sædvanligvis via skalarproduktet
givet ved |a| = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3, dvs. vektorens længde kvadreret er
|a| 2 = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 , som tydeligt er en positiv definit størrelse. For firevektorer
vil vi nu indføre tilsvarende størrelser.
9.1 Definition af firevektor
Lorentztransformationen ligning (2.25) til ligning (2.28) for tid og sted minder
på mange måder om koordinatskifte ved en drejning af koordinatsystemet
i den sædvanlige plan. Hvis koordinatsystemet K ′ fremkommer ved en drejning
bestemt ved vinklen θ af koordinatsystemet K, kan et punkt P i planen
som bekendt beskrives ved både et koordinatsæt (x, y) i K og ved et koordinatsæt
(x ′ , y ′ ) i K ′ . Se fig. (9.1).
Sammenhængen mellem de to koordinatsæt er
eller skrevet på matrixform
x ′ = x cos(θ) + y sin(θ) (9.1)
y ′ = −x sin(θ) + y cos(θ) (9.2)
′ x
y ′
cos(θ) sin(θ) x
=
− sin(θ) cos(θ) y
125
(9.3)

126 Firevektorer
y ′
K ′
y
K
Figur 9.1: Rotation af koordinatsystem.
Koordinaterne x og y og tilsvarende koordinaterne x ′ og y ′ har samme dimension
således, at koefficienterne cos(θ) og sin(θ), der bestemmer koordinatskiftet,
er dimensionsløse. Koefficienterne, der bestemmer Lorentztransformationen
fra S til S ′ , er ikke dimensionsløse, men vi kan skaffe os et nyt
sæt variable i stedet for t, x, y og z i S og tilsvarende t ′ , x ′ , y ′ og z ′ i S ′ ,
som har dimensionsløse koefficienter for den transformation, der beskriver
koordinatskiftet fra S til S ′ . Ligningerne (2.25) og (2.28) omskrives til
θ
P
c t ′ v c t − c = x
1 − v
c
x ′ v x − c t c =
1 − v
c
2
2
x ′
x
(9.4)
(9.5)
Dvs. sættet (c t, x) transformerer til sættet (c t ′ , x ′ ) med dimensionsløse koefficienter.
y og z har som sædvanlig den trivielle transformation y ′ = y og
z ′ = z.
I stedet for sættet (c t, x, y, z) vil vi benytte sættet (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) defineret
ved
(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = (c t, x, y, z) (9.6)
Endvidere vil vi benytte standardforkortelserne
γ =
1
1 − v
c
2
og β = v
c
(9.7)

9.1 Definition af firevektor 127
Transformationen fra (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) til (x ′ 0 , x ′ 1 , x ′ 2 , x ′ 3 ) kan nu skrives
på matrixform
⎛
x
⎜
⎜x
⎝x
x
′ 0
′ 1
′ 2
′ 3
⎞
⎟
⎠ =
⎛
γ
⎜
⎜−β
γ
⎝ 0
−β γ
γ
0
0
0
1
⎞ ⎛
0 x
0⎟
⎜
⎟ ⎜
0⎠
⎝
0 0 0 1
0
x1 x2 x3 ⎞
⎟
⎠
(9.8)
Matricen i ligning (9.8) betegnes Λ. Række- og søjleindeks har værdierne
0, 1, 2, 3. De enkelte elementer i Λ betegnes Λρ σ, således at rækkeindeks ρ
skrives øverst, og søjleindeks σ skrives nederst. Værdierne for Λρ σ er Λ0 0 =
Λ1 1 = γ, Λ0 1 = Λ1 0 = −β γ, Λ2 2 = Λ3 3 = 1, og de resterende elementer af Λ er
alle nul.
Den omvendte transformation fra inertialsystemet S ′ til S har den inverse
matrix Λ som transformationsmatrix
⎛
⎞−1
⎛
⎞
γ −β γ 0 0 γ β γ 0 0
⎜−β
γ γ 0 0⎟
⎜β
γ γ 0 0⎟
⎜
⎝
0 0 1 0
0 0 0 1
⎟
⎠
= ⎜
⎝
0 0 1 0
0 0 0 1
Altså ⎛
x
⎜
⎝
0
x1 x2 x3 ⎞
⎟
⎠ =
⎛
γ
⎜
⎜β
γ
⎝ 0
β γ
γ
0
0
0
1
⎞ ⎛
0 x
0⎟
⎜
⎟ ⎜x
0⎠
⎝x
0 0 0 1 x
′ 0
′ 1
′ 2
′ 3
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠
(9.9)
(9.10)
Matricen Λ, der beskriver den generelle Lorentztransformation fra inertialsystemet
S til inertialsystemet S ′ uden drejning af de rumlige koordinatakser,
aflæses af ligningerne (2.57) og (2.58) at være
Λ µ ν =
⎛
γ −γ β1 −γ β2 −γ β3
⎜
⎜−γ
β1 1 + (γ − 1)
⎜
⎝
β2 1
β2 (γ − 1) β1 β2
β2 (γ − 1) β1 β3
β2 −γ β2 (γ − 1) β1 β2
β2 1 + (γ − 1) β2 2
β2 (γ − 1) β2 β3
β2 −γ β3 (γ − 1) β1 β3
β 2
(γ − 1) β2 β3
β 2
hvor β = (β1, β2, β3) = ( vx vy vz , , c c c ) og β2 = | β| 2 .
Matricen Λ ses at være symmetrisk, dvs. Λ µ ν = Λν µ.
1 + (γ − 1) β2 3
β 2
⎞
⎟
⎠
(9.11)
En fysisk størrelse A med fire komponenter (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ), der ved transformation
fra et inertialsystem til et andet inertialsystem transformerer som

128 Firevektorer
(x0 , x1 , x2 , x3 ), kaldes en firevektor. Altså transformationen1 for (A0 , A1 , A2 , A3 )
er ⎛ ⎞
′ 0 A
⎜ ′ 1
⎜A
⎟
⎝ ′ 2 A ⎠
′ 3 A =
⎛
γ
⎜
⎜−β
γ
⎝ 0
−β γ
γ
0
0
0
1
⎞ ⎛
0 A
0⎟
⎜
⎟ ⎜
0⎠
⎝
0 0 0 1
0
A1 A2 A3 ⎞
⎟
⎠
(9.12)
0’te komponenten af A, A 0 , kaldes tidsdelen af A, og de sidste tre komponenter
af A kaldes rumdelen af A og skrives ofte som A = (A 1 , A 2 , A 3 ).
Eksempler på firevektorer udover (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) er sættet bestemt af en par-
tikels energi og impuls ( E
c
, p) = ( E
c , px, py, pz) kaldet fireimpulsen, se afs-
nit (9.6), samt sættet bestemt af ladningstæthed og strømtæthed (c ρ, j) =
(c ρ, jx, jy, jz) kaldet firestrømtætheden. Se afsnit (8.2) for hvorledes ρ og
j transformerer. Endvidere vil vi se i afsnit (9.10), at bølgevektoren for en
harmonisk bølge indgår i en firevektor.
9.2 Regning med firevektorer
Summen af to firevektorer A = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) og B = (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )
defineres ved komponentvis summation, dvs. A+B = (A 0 +B 0 , A 1 +B 1 , A 2 +
B 2 , A 3 + B 3 ).
Ligeledes defineres et tal λ gange en firevektor ved λ A = (λ A 0 , λ A 1 , λ A 2 , λ A 3 ),
dvs. komponentvis multiplikation med λ.
Det vises let, at både A + B og λ A opfylder betingelsen for at være firevektorer,
da transformationen ligning (9.12) er lineær.
Det er en umiddelbar følge af en firevektors transformationsegenskab (ligning
(9.12)) at
A 0 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 = A ′0 2 − A ′1 2 − A ′2 2 − A ′3 2
(9.13)
Det vil altså sige at A0 2 1 2 2 2 3 2
− A − A − A er en invariant størrelse under
transformationen ligning (9.12). Størrelsen A0 2 1 2 2 2 3 2
− A − A − A er analog
til en sædvanlig vektors længde kvadreret, men i modsætning til denne er
den ikke positiv definit, men indefinit.
Ved at indføre metrikken gµν defineret ved matrixformen af den
⎛
⎞
1 0 0 0
⎜
gµν = ⎜0
−1 0 0 ⎟
⎝0
0 −1 0 ⎠
(9.14)
0 0 0 −1
1 Vi ser på standardtransformationen her.

9.3 Skalarprodukt 129
kan den invariante størrelse A ′ 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 skrives
3
µ=0 ν=0
3
gµνA µ A ν = A 0 2 1 2 2 2 3 2
− A − A − A
(9.15)
og denne kan gøres yderligere kompakt ved at benytte Einsteins summationskonvention
3 3
gµνA µ A ν = gµν A µ A ν
(9.16)
µ=0 ν=0
hvor udeladelsen af et summationstegn pr. definition betyder, at hvis et indeks
forekommer både foroven og forneden skal der summeres fra 0 til 3. Ved
hjælp af denne summationskonvention kan transformationen ligning (9.12)
også skrives
A ′µ = Λ µ ν A ν
(9.17)
At størrelsen s 2 er Lorentzinvariant stiller et krav til Λ, som ses af følgende
regnestykke
s ′2 = s 2 ⇔ gν µ x ′ν x ′µ = gρ σ x ρ x σ ⇔
gν µ Λ ν ρ x ρ Λ µ σ x σ = gρ σ x ρ x σ
(9.18)
Da ligning (9.18) skal gælde for alle firevektorer xρ , skal matricen Λ opfylde
kravet
(9.19)
9.3 Skalarprodukt
gν µ Λ ν ρ Λ µ σ = gρ σ
Ved hjælp af metrikken gµν kan vi også indføre et skalarprodukt A·B mellem
to firevektorer A og B ved definitionen
A · B = gµν A µ B ν = A 0 B 0 − A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3
(9.20)
For dette skalarprodukt vises let A · B = B · A og A · (B + C) = A · B +
A · C. Størrelsen gµν A µ A ν er altså skalarproduktet af A med sig selv. Dette
betegnes også
A 2 = A · A (9.21)

130 Firevektorer
Vi har tidligere vist, at A 2 er invariant. Ved anvendelse af dette viser følgende
regning, at også skalarproduktet mellem to firevektorer er invariant
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B (9.22)
da det heraf fremgår, at skalarproduktet kan udtrykkes ved invariante størrelser.
Afhængig af fortegnet for A2 gives A følgende navne
A 2
⎧
⎪⎨ > 0 A siges at være tidsagtig
= 0
⎪⎩
< 0
A siges at være lysagtig
A siges at være rumagtig
(9.23)
Sætning 1 . Lad A være en tidsagtig firevektor. Da findes et inertialsystem,
så det for rumdelen af A gælder A = o.
Bevis. Vi drejer den rumlige del af inertialsystemet, så vi får et inertialsystem
S med A = (A 0 , A 1 , 0, 0), hvor |A 0 | > |A 1 |, da A er tidsagtig. Det vi
søger, er et inertialsystem S ′ med hastighed v i forhold til S så A ′ = o. Dette
krav medfører
A ′1 = γ (A 1 − β A 0 ) = 0 ⇔ (9.24)
β = A1
A0 ⇒ (9.25)
|β| < 1 (9.26)
da |A 0 | > |A 1 |. Dvs. det er altid muligt at finde et inertialsystem, således at
rumdelen af firevektoren A er nulvektoren.
Sætning 2 . Lad A og B være tidsagtige firevektorer med positive tidskomponenter.
Da er A · B > 0. Endvidere er A + B tidsagtig med positiv tidskomponent.
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge forudsætningen
er A 0 > | A| og B 0 > | B|. Heraf følger
A 0 > | A| ∧ B 0 > | B| ⇒ (9.27)
A 0 B 0 > A · B ⇔ (9.28)
A 0 B 0 − A · B > 0 (9.29)

9.3 Skalarprodukt 131
Dvs. der gælder A · B > 0.
Vi udregner nu (A + B) 2
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B > 0 (9.30)
At udtrykket i (9.30) er positivt følger af forudsætningen om, at A og B er
tidsagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist, at A + B er
tidsagtig med positiv tidskomponent.
Sætning 3 . Lad A være en tidsagtig firevektor og B en lysagtig firevektor,
begge med positive tidskomponenter. Da er A · B > 0. Endvidere er A + B
tidsagtig med positiv tidskomponent.
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge forudsætningen
er A 0 > | A| og B 0 = | B|. Heraf følger
Dvs. der gælder A · B > 0.
Vi udregner nu (A + B) 2
A 0 > | A| ∧ B 0 = | B| ⇒ (9.31)
A 0 B 0 > A · B ⇔ (9.32)
A 0 B 0 − A · B > 0 (9.33)
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B > 0 (9.34)
At udtrykket i (9.34) er positivt følger af forudsætningen om, at A er tidsagtig,
og at B er lysagtig samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist,
at A + B er tidsagtig med positiv tidskomponent.
Sætning 4 . Lad A og B være lysagtige firevektorer med positive tidskomponenter.
Da er A · B ≥ 0. Endvidere er A + B lysagtig, hvis vinklen mellem
rumdelene af A og B er nul, ellers er summen tidsagtig. I begge tilfælde er
tidskomponenten positiv.
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge forudsætningen
er A 0 = | A| og B 0 = | B|. Heraf følger A · B = A 0 B 0 (1 − cos(θ))
hvor θ er vinklen mellem A og B. Dette viser at A · B ≥ 0. Igen udregnes
(A + B) 2 , som her giver
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B ≥ 0 (9.35)
At udtrykket i (9.35) er positivt eller nul følger af forudsætningen om, at A
og B er lysagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist, at A + B
er tidsagtig eller lysagtig med positiv tidskomponent. A+B er lysagtig, netop
når θ = 0.

132 Firevektorer
9.3.1 Invarians
For skalarproduktet gælder følgende
Sætning 5 . Lad A være en vilkårlig firevektor og B være et talsæt (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )
for hvilket det gælder, at skalarproduktet A · B er en invariant størrelse. Da
er B en firevektor.
Bevis. At A · B er invariant betyder
A 0 B 0 − A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3 = A ′ 0 B ′ 0 − A ′ 1 B ′ 1 − A ′ 2 B ′ 2 − A ′ 3 B ′ 3 (9.36)
hvor
således at ligning (9.36) bliver
A ′ 0 = γ(A 0 − β A 1 ) (9.37)
A ′ 1 = γ(A 1 − β A 0 ) (9.38)
A ′ 2 = A ′ 2
A ′ 3 = A ′ 3
A 0 B 0 − A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3 =
γ(A 0 − β A 1 ) B ′ 0 − γ(A 1 − β A 0 ) B ′ 1 − A 2 B ′ 2 − A 3 B ′ 3
(9.39)
(9.40)
(9.41)
Hvis ligning (9.41) skal gælde for alle firevektorer A kan vi vælge A 0 = A 1 =
A 2 = 0. Heraf fås B ′ 3 = B 3 . Hvis vi vælger A 0 = A 1 = A 3 = 0 fås tilsvarende
B ′ 2 = B 2 . Ligning (9.41) bliver dermed
A 0 B 0 − A 1 B 1 = γ(A 0 − β A 1 ) B ′ 0 − γ(A 1 − β A 0 ) B ′ 1
som omskrives til
(9.42)
A 0 B 0 − A 1 B 1 = A 0 γ(B ′ 0 + β B ′ 1) − A 1 γ(B ′ 1 + β B ′ 0) (9.43)
heraf aflæses de resterende transformationsegenskaber for B
B 0 = γ(B ′ 0 + β B ′ 1) (9.44)
B 1 = γ(B ′ 1 + β B ′ 0) (9.45)
Vi har nu vist, at B transformerer som en firevektor, og dermed per definition
er en firevektor. (Egentlig har vi den omvendte transformation til den i
ligningerne (9.37) til (9.40)).

9.4 Firehastighed 133
9.4 Firehastighed
Som vi tidligere har set i afsnit (3.3) har hastigheden temmelig kedelige
transformationsegenskaber sammenlignet med f.eks. tid og sted, der jo transformerer
ved den kendte (og derfor pæne!) Lorentztransformation. Men vi vil
nu definere en ny størrelse vha. en partikels hastighed u, som har pæne transformationsegenskaber.
Denne størrelse er firehastigheden U defineret for en
partikel med hvilemasse forskellig fra nul ved
U = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) = (c γ, γ u) (9.46)
Lad os se på rumdelen af U: d x
U = γ u, hvor u = . γ-faktoren er givet
d t
ved forholdet mellem tidsforløbet d t i inertialsystemet S og det tilsvarende
tidsforløb d τ, egentiden, i partiklens hvilesystem, inertialsystemet S ′ . Dvs.
1 γ = . Altså er
1−( v
d t = d τ
)2
c
U
d x
=
d τ
Tilsvarende gælder for tidskomponenten af U, at
Dvs.
U 0 = c
U = c
d t
d τ
d t
d τ
d x
,
d τ
(9.47)
(9.48)
(9.49)
Da d τ er invariant, og da (c d t, d x) transformerer som (c t, x), er U også en
firevektor.
For U 0 2 − U 2 fås ved direkte udregning
U 0 2 − U 2 = c 2
altså som ventet en invariant størrelse.
9.5 Fireacceleration
(9.50)
I lighed med indførelsen af firehastigheden U indfører vi nu en fireacceleration,
A, ved definitionen
d U
A = (9.51)
d τ
Da U er en firevektor og d τ er en invariant størrelse, er fireaccelerationen en
firevektor, som navnet jo lægger op til.

134 Firevektorer
A kan angives v.hj.a. den sædvanlige hastighed u og den sædvanlige acceleration
a = . For at gøre dette ser vi på højre side af ligning (9.51)
d γ
d t fås
d u
d t
d U
d τ
= d t
d τ
d U
d t
= γ
c
d γ d γ
,
d t d t
d u
u + γ
d t
(9.52)
For
d γ 1 = γ3
c d t 2 u · a (9.53)
således at det søgte udtryk for fireaccelerationen bliver
A =
1
c γ4 u · a, γ 2 4 u · a
a + γ u
c2 (9.54)
Da U 2 = c2 d U
, se ligning (9.50), er 2 U · = 0. Dvs. U ·A = 0. Firehastigheden
d τ
og fireaccelerationen er altså ortogonale.
9.6 Fireimpuls
9.6.1 Definition af fireimpuls
Ved at gange firehastigheden U med partiklens masse m fås en ny firevektor
P
P = m U = E
, p
(9.55)
c
som kaldes fireimpulsen. Da vi nu ved, at fireimpulsen er en firevektor, kan
vi umiddelbart opskrive dens transformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet
S ′ og derved mere elegant finde transformationen for energi og
impuls (se ligningerne (4.67) til (4.70)), som vi møjsommeligt udledte i afsnit
(4.5).
For fireimpulsen fås endvidere
P 0 2 − P 2 = m 2 c 2
(9.56)
altså som ventet igen en invariant størrelse. Ligning (9.56) er blot en anden
udgave af den relativistiske Pythagoras ligning (4.43).
Da alle fireimpulser for partikler med hvilemasse forskellig fra nul opfylder
egenskaben om at være tidsagtige og med positiv tidskomponent, er den
samlede fireimpuls for et partikelsystem af sådanne partikler også tidsagtig.
Ligeledes vil den samlede fireimpuls for et partikelsystem, som blot indeholder
en partikel med hvilemasse forskellig fra nul, også være tidsagtig. Vi
kan defor altid finde et inertialsystem, så rumdelen af systemets fireimpuls

9.6 Fireimpuls 135
er nulvektoren. Dette system er netop CM-systemet. Hvis alle de ingående
partikler i systemet er lysagtige, findes et sådant system ikke, hvis alle partiklernes
sædvanlige impulser er i samme retning. Se sætningerne 1 til 4 afsnit
9.3.
9.6.2 Comptoneffekt
Som eksempel på anvendelse af firevektorer vil vi se på Comptoneffekten 2 .
En foton med frekvens f rammer en hvilende elektron og spredes på denne.
Fotonens frekvens efter spredningen er f ′ , og den spredte fotons impuls danner
vinklen θ med den indkommende fotons impuls. Hele processen foregår i
xy-planen. Se Fig. (9.2).
y
x
f
f ′
Figur 9.2: Comptonspredning.
Lad fireimpulsen af fotonen før spredningen være P1 = (
θ
p ′ 2
h f
c
h f
, , 0, 0) og efter
c
spredningen er dens fireimpuls P ′ h f ′ h f ′
h f ′
1 = ( , cos(θ), sin(θ), 0). For elek-
c c c
tronen er de tilsvarende fireimpulser P2 = (m c, 0, 0, 0) og P ′
2 = ( E′
c , p ′
2),
hvor m er elektronens masse, E ′ er dens energi, og p ′
2 er dens impuls efter
spredningen. Energi- og impulsbevarelse er indeholdt i firevektorudtrykket
Heraf fås
som ved kvadrering giver
P ′
2
P1 + P2 = P ′
1 + P ′
2
P ′
2 = P1 + P2 − P ′
1
2
= P1 2 + P2 2 + P ′ 2
1 + 2 P1 · P2 − 2 P1 · P ′
1 − 2 P2 · P ′
1
(9.57)
(9.58)
(9.59)
2 Effekten er opkaldt efter A.H. Compton, der med sit eksperiment i 1922 viste, at
fotonen kan opføre sig som en partikel.

136 Firevektorer
Under anvendelse af P2 2 = P ′ 2 2 2
2 = m c og P1 2 = P ′ 2
1 = 0 reduceres ligning
(9.59) til
f − f ′ = h
m c 2 f f ′ (1 − cos(θ)) ⇔ (9.60)
1 1
−
f ′ f
h
= (1 − cos(θ)) (9.61)
m c2 som med brug af λ f = λ ′
f ′ = c, hvor λ og λ ′
er bølgelængderne af fotonen
henholdsvis før og efter spredningen, giver udtrykket for bølgelængdeændringen
∆λ = λ ′
− λ
∆λ = h
(1 − cos(θ)) (9.62)
m c
Dette er netop den sædvanlige ligning for Comptoneffekten.
9.6.3 Elastisk stød
For to partikler A og B med masser mA og mB og fireimpulser PA og PB er
skalarproduktet PA · PB uafhængigt af hvilket inertialsystem, det udregnes i.
Hvis vi udregner det i partikel B’s hvilesystem, får vi
1 − vAB
c
PA · PB = mB EA = mA mB c 2
2
(9.63)
hvor EA er A’s energi i B’s hvilesystem, og vAB er farten af A i B’s hvilesystem.
3
Lad nu de to partikler støde elastisk sammen
Fireimpulsbevarelsen giver
P før
A
A + B → A + B (9.64)
+ Pfør
B
= Pefter
A
+ P efter
B
før 2
Ved at kvadrere ligning (9.65) samt anvende P
P
før 2
2
B = Pefter B = m2 B c2 får vi
P før
A
· Pfør
B
3 vAB er også farten af B i A’s hvilesystem.
= Pefter
A
A
· P efter
B
2 = Pefter A
(9.65)
= m 2 A c2 og
(9.66)

9.6 Fireimpuls 137
Ved at udnytte ligning (9.63) er denne ligning ensbetydende med
mA mB c2
=
2
c
mA mB c2
1 − vefter 2 AB
c
1 − v før
AB
(9.67)
Heraf ses, at den relative fart af partiklerne A og B er den samme før og
efter stødet.
Ikkerelativistisk beregning. Vi vil nu vise, at en ikkerelativistisk regning
giver samme resultat. Først transformerer vi til CM-systemet. Her er før
stødet p før før
A = −p B
elastisk, gælder
efter
= p og efter stødet p A
efter = −p B = q. Da stødet er
|p| 2
1
+
2 mA
1
= |q|
2 mB
2
1
+
2 mA
1
2 mB
(9.68)
Heraf fås |p| = |q|. p og q er ikke ens, men er drejet i forhold til hinanden.
De relative hastigheder af partiklerne før og efter stødet er
v før før før
AB = v A − v B
v efter
AB = v efter
A − v efter
B
1
= p +
mA
1
mB
1
= q +
mA
1
mB
(9.69)
(9.70)
Da længderne af p og q er ens, er også |v før efter
AB | = |v AB | ens. Den relative
fart er altså uændret i CM-systemet. Dette gælder da også i et vilkårligt
inertialsystem S, da hastighedstransformationen fra CM-systemet til S ifølge
Galileitransformationen er u = vCM + u, hvor vCM er hastigheden af CMsystemet
i forhold til S. Differensen mellem to hastigheder i de to systemer
er ens, og dermed naturligvis deres længder. Vi har altså vist, at også ved en
ikkerelativistisk regning er den relative fart af partiklerne A og B den samme
før og efter stødet.
9.6.4 Partikelproduktion
Vi ser igen på reaktionen
A + B → C + D + E + · · · (9.71)
Fireimpulserne i begyndelsestilstanden er PA og PB. For fireimpulserne i
sluttilstanden benyttes symbolerne Pi, i = 1, 2, . . . , n. Fireimpulsbevarelsen

138 Firevektorer
giver
PA + PB =
Ved kvadrering af ligning (9.72) får vi
m 2 A c 2 + m 2 B c 2 + 2 PA · PB =
n
i=1
n
i=1
Pi
m 2 i c 2 +
Ved at benytte ligning (9.63) bliver ligning (9.73)
m 2 A c 2 + m 2 B c 2 + 2 mB EA =
n
i=1
m 2 i c 2 +
n
i,j=1, i=j
n
i,j=1, i=j
Pi · Pj
mi mj c 2
1 − vij
c
2
(9.72)
(9.73)
(9.74)
hvor EA er partikel A’s energi i B’s hvilesystem, som vi kan opfatte som
laboratoriesystemet, og hvor vij er den relative fart af partikel i og partikel
j. Hvis vi ønsker, at EA skal være så lille som mulig for denne reaktion, skal
alle vij = 0. Dvs. alle partikler i sluttilstanden skal ligge stille i forhold til
hinanden. Ligning (9.74) bliver så
m 2 A c 2 + m 2 B c 2 + 2 mB EA =
Heraf findes
EA =
n
i=1
n
m 2 i c 2 +
i=1 mi
2
2 mB
n
i,j=1, i=j
− m2 A − m2B c 2
mi mj c 2 =
n
i=1
mi
2
c 2
(9.75)
(9.76)
som altså er den mindste energi for partikel A i LABsystemet, således at
reaktionen kinematisk kan finde sted.
Denne ligning sammenlignes med den tidligere fundne ligning (5.9). Ved at
indsætte n i=1 mi = mA + mB + M med samme definition af M som den, der
indgår i ligning (5.9), ses at de to ligninger er identiske.
9.6.5 Partikelhenfald
For partikelhenfaldet
gælder fireimpulsbevarelsen
A → B + C (9.77)
PA = PB + PC
(9.78)

9.7 Firekraft 139
Denne ligning kvadreres, og vi får
m 2 A c 2 = m 2 B c 2 + m 2 C c 2 + 2 PB · PC
(9.79)
Skalarproduktet i ovenstående ligning udregnes i partikels A’s hvilesystem
under anvendelse af EA = mA c 2 = EB + EC samt, at den samlede impuls i
dette system er nul
PB · PC = EB
c , p · EC
c , −p = mA EB − m 2 B c 2
Ligning (9.80) anvendes i ligning (9.79), og vi får
og vha. energibevarelsen
EB = m2 A + m2 B − m2 C
2 mA
EC = m2 A − m2 B + m2 C
2 mA
c 2
c 2
(9.80)
(9.81)
(9.82)
Disse resultater stemmer overens med de tidligere fundne, se ligningerne
(5.20) og (5.21).
9.7 Firekraft
Ved at benytte definitionen på kraft F , se ligning (4.21), på fireimpuls P, se
ligning (9.55), og på fireacceleration A, se ligning (9.51), finder vi
d p
d t = F ∧
d p
d τ = d P
d τ = m d U
d τ = m A ∧
d p
d τ
= d t
d τ
d p
d t = γ F ⇒
(9.83)
m A = γ F (9.84)
hvor A er rumdelen af fireaccelerationen A. Det er nu fristende at identificere
γ F med rumdelen af en firevektor F, som vi vil kalde firekraften. p er som
bekendt rumdelen af fireimpulsen P, hvis tidskomponent er P0 = E . Vi har
c
derfor behov for at finde (benyt ligning (4.25)
d P 0
d τ
d P0
d τ
1 d t d E 1
= = c c d τ d t γ F · u
=
(9.85)
1
c γ
3 a · u
2
m γ a · u + m γ u
c2 (9.86)
= m 1
c γ4 a · u (9.87)
= m A 0
(9.88)

140 Firevektorer
Som tidskomponenten af firekraften bruger vi derfor
Dvs. firekraften er defineret ved
F 0 = 1
c γ F · u (9.89)
F · u
F = γ ,
c
F
(9.90)
Med denne definition har vi på kompakt form både bevægelsesligningen og
energibevarelsen udtrykt i én ligning v.hj.a. firevektorer
d P
d τ
= F (9.91)
9.8 Dobbelt Lorentztransformation
Lad os se på den dobbelte Lorentztransformation fra afsnit 2.6. Matricerne,
der beskriver de to transformationer, er
⎛
γi
⎜−βi
γi
Λ[i] = ⎜
⎝ 0
−βi γi
γi
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
(9.92)
0 0 0 1
for i = 1, 2 og hvor β1 = v
c og β2 = w med tilhørende γ’er.
c
Den dobbelte transformation er beskrevet ved matricen
⎛
γ1 γ2 (1 + β1 β2)
⎜−γ1
γ2 (β1
Λ = Λ[2] Λ[1] = ⎜ + β2)
⎝ 0
−γ1 γ2 (β1 + β2)
γ1 γ2 (1 + β1 β2)
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
Vi sætter nu
Heraf fås umiddelbart
Med dette β udregnes
(9.93)
γ1 γ2 (1 + β1 β2) = γ (9.94)
γ1 γ2 (β1 + β2) = β γ (9.95)
1
1 − β 2 =
β = β1 + β2
1 + β1 β2
1 + β1 β2
2 2 1 − β1 1 − β2 (9.96)
(9.97)

9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 141
Dvs. ved at sammenligne med ligning (9.94) får vi
1
γ =
1 − β2 Vi har altså vist, at med de fundne værdier af β og γ er Λ af formen
⎛
⎞
γ −β γ 0 0
⎜
Λ = ⎜−β
γ γ 0 0 ⎟
⎝ 0 0 1 0⎠
0 0 0 1
(9.98)
(9.99)
og dermed er den samlede transformation en Lorentztransformation fra S til
S ′′ , hvor S ′′ bevæger sig langs x, x ′′ -aksen med farten V = c β.
Hvis vi bytter om på rækkefølgen af de to transformationer og udregner
Υ = Λ[1] Λ[2], vil vi opdage, at Λ = Υ. Det vil altså sige, at i denne situation
er rækkefølgen af transformationerne uden betydning for den samlede
transformation.
9.9 Lorentztransformationen tager en drejning
Vi ser nu på tre inertialsystemer S, S ′ og S ′′ . S ′ bevæger sig i x, x ′ -aksens
retning med hastighed v = (v, 0, 0) i forhold til S. S ′′ bevæger sig i y, y ′ -
aksens retning med hastighed w = (0, w, 0) i forhold til S ′ . Transformationen
fra S til S ′ er bestemt af matricen Λ[x]
Λ µ
[x] ν =
⎛
γx
⎜−γx
βx ⎜
⎝ 0
−γx βx
γx
0
0
0
1
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
og transformationen fra S ′ til S ′′ er bestemt af matricen Λ[y]
Λ µ
[y] ν =
− 1
⎛
γy
⎜ 0
⎝−γy
βy
0
1
0
−γy βy
0
γy
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
(9.100)
(9.101)
hvor βx = v
c , γx = (1−β 2 2 x) , βy = w
c og γy = (1−β 2 2 y) . Transformationen
fra S til S ′′ beskrives ved matricen Λ givet ved
⎛
⎞
γx γy −γx γy βx −γy βy 0
⎜ −γx βx γx
Λ = Λ[y] Λ[x] = ⎜
0 0 ⎟
⎝−γx
γy βy γx γy βx βy γy 0⎠
(9.102)
0 0 0 1
− 1

142 Firevektorer
Matricen Λ er ikke symmetrisk. Dermed kan transformationen fra S til S ′′
ikke være en Lorentztransformation, hvor S ′′ bevæger sig med de rumlige
akser parallelle med de rumlige akser i S. Vi vil vise, at denne transformation
er givet ved en Lorentztransformation af inertialsystemet S til inertialsystemet
S ∗ , hvor S ∗ bevæger sig med de rumlige koordinatakser parallelle
med akserne i S, efterfulgt af en drejning af den rumlige del af S ∗ til den
rumlige del af S ′′ , og hvor tiderne under drejningen er ens. Vi skal altså finde
en matrix Λ ∗ , der beskriver Lorentztransformationen, og en matrix D, der
beskriver drejningen. Disse matricer skal opfylde ligningen
Λ = D Λ ∗
(9.103)
Da z-retningen ingen rolle spiller her for transformationerne af x og y, må
drejningen være om netop z∗-aksen. Drejningsmatricen er derfor af formen
⎛
1
⎜
D = ⎜0
⎝
0
cos(θ
0 0
∗ ) sin(θ∗ 0 − sin(θ
) 0
∗ ) cos(θ∗ )
⎞
⎟
0⎠
(9.104)
0 0 0 1
hvor θ ∗ er vinklen, den rumlige del af S ∗ skal drejes for at falde sammen med
den rumlige del af S ′′ .
Af ligningerne (9.102) og (9.103) fås
Λ[y] Λ[x] = D Λ ∗ ⇔ Λ ∗ = D −1 Λ[y] Λ[x] (9.105)
hvor D−1 er den inverse matrix til D
D −1 ⎛
1 0 0 0
⎜
= ⎜0
cos(θ
⎝
∗ ) − sin(θ∗ ⎞
) 0 ⎟
⎠
0 sin(θ ∗ ) cos(θ ∗ ) 0
0 0 0 1
(9.106)
Af ligningerne (9.102), (9.105) og (9.106) fås
Λ ∗ ⎛
1
⎜
= ⎜0
⎝
0
cos(θ
0 0
∗ ) − sin(θ∗ 0 sin(θ
) 0
∗ ) cos(θ∗ )
⎞ ⎛
γx γy
⎟ ⎜ −γx βx ⎟ ⎜
0⎠
⎝−γx
γy βy
−γx γy βx
γx
γx γy βx βy
−γy βy
0
γy
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1 0 0 0 1
⎛
γx γy
⎜−γx
βx
= ⎜ cos(θ
⎝
−γx γy βx −γy βy 0
∗ ) + γx γy βy sin(θ∗ ) γx cos(θ∗ ) − γx γy βx βy sin(θ∗ ) −γy sin(θ∗ −γx βx sin(θ
) 0
∗ ) − γx γy βy cos(θ∗ ) γx sin(θ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ∗ ) γy cos(θ∗ )
⎞
⎟
0⎠
0 0 0
(9.107)
1

9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 143
Denne matrix skal være symmetrisk. Dvs. der skal gælde Λ ∗1 2 = Λ ∗2 1, altså
eller
Af ligning (9.108) findes
−γy sin(θ ∗ ) = γx sin(θ ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ ∗ ) ⇔
tan(θ ∗ ) = − γx γy βx βy
γx + γy
cos(θ ∗ ) = γx + γy
1 + γx γy
βx βy
tan(θ ∗ ) = −
1 − β2 x + 1 − β2 y
og sin(θ ∗ ) = − γx γy βx βy
1 + γx γy
(9.108)
(9.109)
(9.110)
Vha. af ligning (9.110) kan vi checke, at de øvrige matrixelementer af matricen
i ligning (9.107) også opfylder kravet om symmetri. Eksplicit finder vi, at Λ∗ er
Λ ∗ ⎛
γx γy −γx γy βx −γy βy 0
⎜
⎜−γx
γy βx 1 +
= ⎜
⎝
γ2 x γ2 y β2 x γx γ
1+γx γy
2 y βx βy
0
1+γx γy
γx γ
−γy βy
2 ⎞
⎟ (9.111)
y βx βy γy (γx+γy)
0⎠
1+γx γy 1+γx γy
0 0 0 1
som altså er den matrix, der bestemmer transformationen fra S til S ∗ . Hastighe-
den af S ∗ , v ∗ = c β ∗ , i forhold til S aflæses ved at se på 0’te søjlerne af
matricerne i ligningerne (9.11) og (9.111). Dette giver med γ∗ = (1 − β∗2 1
−
) 2
og β∗ = | β∗ |
heraf fås
og dermed
γ ∗ = γx γy
γ ∗ β ∗ 1 = γx γy βx
γ ∗ β ∗ 2 = γy βy
γ ∗ β ∗ 3 = 0 (9.112)
β ∗ = (β ∗ 1, β ∗ 2, β ∗ 3) = (βx, γ −1
x βy, 0) (9.113)
v ∗ = c β ∗ = (c βx, c γ −1
x βy, 0) (9.114)
Vi har altså vist, at sammensætning af to Lorentztransformationer, hvor

144 Firevektorer
bevægelsen af systemerne ikke er i samme retning, giver en Lorentstransformation,
der ikke kan fås ved en Lorentztransformation af det oprindelige
system S til slutsystemet S ′′ ved kun at udføre en transformation i en eller
anden retning, men kræver en Lorentztransformation af det oprindelige system
S i en veldefineret retning til systemet S ∗ efterfulgt af en rotation af de
rumlige akser af S ∗ efter denne Lorentztransformation.
Rækkefølge af transformationer. Ved at bytte om på rækkefølgen af de
to transformationer, dvs. først foretages en transformation efter y, y ′ -aksen
med hastighed w = (0, w, 0) og derefter en transformation efter x ′ , x ′′ -aksen
med hastighed v = (v, 0, 0), fås en transformation, der er bestemt af matricen
Υ
Υ = Λ[x] Λ[y]
som ved direkte udregning af matrixproduktet bliver
⎛
γx γy
⎜−γx
γy βx
Υ = ⎜
⎝ −γy βy
−γx βx
γx
0
−γx γy βy
γx γy βx βy
γy
⎞
0
0 ⎟
0⎠
0 0 0 1
(9.115)
(9.116)
Da Λ = Υ er de to sammensatte transformationer i almindelighed ikke ens.
Rækkefølgen af transformationerne er altså afgørende vigtig.
Heller ikke Υ er symmetrisk. Derfor ønsker vi som før at finde to matricer, Υ ⋆
og D, som bestemmer henholdsvis en Lorentztransformation efter vektoren
v ⋆ fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ⋆ og en drejning med vinklen
θ ⋆ af S ⋆ om z ⋆ -aksen til S ′′ , således at
Υ = D Υ ⋆
Ved at foretage samme regnestykke som før finder vi
eller
Af ligning (9.118) findes
tan(θ ⋆ ) =
cos(θ ⋆ ) = γx + γy
1 + γx γy
tan(θ ⋆ ) = γx γy βx βy
γx + γy
βx βy
1 − β 2 x + 1 − β 2 y
og sin(θ ⋆ ) = γx γy βx βy
1 + γx γy
(9.117)
(9.118)
(9.119)
(9.120)

9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 145
samt
⎛
Υ ⋆ ⎜
= ⎜
⎝
γx γy −γx βx −γx γy βy 0
γ2 x +γx γy γ
1+γx γy
2 x γy βx βy
0
1+γx γy
γ2 x γy βx βy
1 + 1+γx γy
γ2 x γ2 y β2 ⎞
⎟
y
0⎠
1+γx γy
0 0 0 1
−γx βx
−γx γy βy
Hastigheden v ⋆ findes ved at se på 0’te-søjlen af Υ ⋆ . Dette giver
hvoraf findes
og dermed
γ ⋆ = γx γy
γ ⋆ β ⋆ 1 = γx βx
(9.121)
γ ⋆ β ⋆ 2 = γx γy βy
γ ⋆ β ⋆ 3 = 0 (9.122)
β ⋆ = (β ⋆ 1, β ⋆ 2, β ⋆ 3) = (γ −1
y βx, βy, 0) (9.123)
v ⋆ = c β ⋆ = (c γ −1
y βx, c βy, 0) (9.124)
For de to drejningsvinkler θ ∗ og θ ⋆ ses af ligningerne (9.110) og (9.120), at de
er lig hinanden med modsat fortegn. De to vektorer v ∗ og v ⋆ , som Lorentztransformationen
skal foregå efter, er forskellige, se ligningerne (9.114) og
(9.124). Retningerne af disse vektorer er forskellige, men deres længder er ens
idet | β ∗ | = | β ⋆ | = 1 − γ −2
x γ −2
y . Vinklen φ mellem disse to hastighedsvektorer
kan bestemmes af
cos(φ) = β ∗ · β ⋆
| β ∗ | | β ⋆ |
γ−1 y β
= 2 x + γ−1 x β2 y
1 − γ−2 x γ−2 y
= γ−1 y (1 − γ−2 x ) + γ−1 x (1 − γ−2 y )
1 − γ−2 x γ−2 y
= γx + γy
1 + γx γy
(9.125)
Vinklen φ mellem v ∗ og v ⋆ målt i inertialsystemet S har altså samme størrelse
som den numeriske værdi af drejningsvinklen θ ∗ målt i inertialsystemet S ∗
og af drejningsvinklen θ ⋆ målt i inertialsystemet S ⋆ .
Hastighedstransformation. Hastigheden w = (0, w, 0) i S ′ er i S ved
hastighedstransformationen ligningerne (3.36) til (3.38) netop v ∗ , se ligning
(9.114)
v ∗
= (v, w 1 −
v 2,
0) (9.126)
c

146 Firevektorer
Hastigheden v = (v, 0, 0) i S ′′ er i S, her benyttes ligningerne (3.41) - (3.43)
netop v ⋆ , se ligning (9.124)
v ⋆
= (v 1 −
w 2,
w, 0) (9.127)
c
At de fundne vektorer v ∗ og v ⋆ er forskellige, afspejler altså at rækkefølgen
en hastighedssammensætning foregår i med udgangspunkt i Lorentztransformationen
er vigtig. Hvis hastighedssammensætningen foretages med
udgangspunkt i Galileitransformationen spiller rækkefølgen ingen rolle. Her
finder vi nemlig v ∗ = v ⋆ = (v, w, 0) og dermed φ = 0 o . Ligeledes finder vi her
θ ∗ = θ ⋆ = 0 o , idet sammensætning af to Galileitransformationer ikke giver
anledning til nogen drejning af systemerne i forhold til hinanden.
9.10 Harmonisk bølge
En harmonisk bølge er i et inertialsystem beskrevet ved et udtryk af formen
ψ(t, r) = A cos( k ·r −ω t) = A cos( k ·r − ω
c c t), hvor k er bølgevektoren, hvis
retning bestemmer bølgens udbredelsesretning, og hvis længde er bestemt
af bølgelængden λ ved | 2 π k| = . ω hænger sammen med frekvensen f via
λ
ω = 2 π f, og for elektromagnetiske bølger (f.ex. lys) gælder jo endvidere
c = f λ. Da en iagttager i S og en iagttager i S ′ er enige om, hvor bølgen har
bølgedale og bølgetoppe må fasen φ = k · r − ω c t være invariant. Da (c t, r)
c
er en firevektor, følger det af sætningen i afsnit (9.3.1), at K = ( ω
c , k) er en
firevektor. Vi kan derfor uden videre opskrive K’s transformationsegenskaber
K ′ 0 ω
= ′
c
K ′ 1 ′ 1
= k
K ′ 2 = k ′ 2
K ′ 3 = k ′ 3
= γ(K 0 − β K 1 ) = γ( ω
c − β k1 )
= γ(K
(9.128)
1 − β K 0 ) = γ(k 1 − β ω
)
c
(9.129)
= K 2 = k 2
(9.130)
= K 3 = k 3
(9.131)
Hvis der specielt gælder k 2 = k 3 = 0, dvs. bølgen udbreder sig i x-aksens
retning, fås af ligningerne (9.128) og (9.129)
ω ′
c
= γ(ω
c − β k1 ) (9.132)
k ′ 1 1 ω
= γ(k − β ) (9.133)
c

9.10 Harmonisk bølge 147
Ligningerne (9.132) og (9.133) omskrives under brug af ω = 2 π f, ω ′
=
2 π f ′
, k = , k′ = 2 π samt λ f = λ ′
f ′
= c
2 π
λ
λ ′
2 π f ′
c = γ2 π f
c
f ′ = f γ (1 − β) = f
f ′ = f
2 π f
− β ⇔ (9.134)
c
1 − v
c
1 − ⇔ (9.135)
v 2
c
1 − v
c
1 + v
c
(9.136)
Ligning (9.136) er netop den tidligere udledte ligning (3.85) for den longitudinale
Dopplereffekt.
I det generelle tilfælde kan vi vælge koordinatsystemet, så k = (k cos(α), k sin(α), 0),
hvor k =
2 π f
c . Ligningerne (9.128) til (9.130) bliver da
Ligning (9.137) giver
2 π f ′
c = γ 2 π f 2 π f
− β cos(α)
c c
2 π f
(9.137)
′
cos(α
c
′ ) = γ 2 π f
2 π f
cos(α) − β
c
c
(9.138)
2 π f ′
sin(α
c
′ 2 π f
) =
c
sin(α) (9.139)
f = f ′
1 − β2 1 − β cos(α)
Da α = π − θ, se Fig. (3.8), bliver ligning (9.140)
f = f ′
1 − β2 1 + β cos(θ)
(9.140)
(9.141)
som er det generelle udtryk for Dopplereffekten, vi fandt tidligere (se ligning
(3.97)). Af ligning (9.138) fås med brug af ligning (9.140)
cos(α ′ ) =
cos(α) − β
1 − β cos(α)
(9.142)
som er den tidligere udledte ligning (3.22) for sammenhængen mellem en
lysstråles retning i de to inertialsystemer.

148 Firevektorer
9.11 Den elektromagnetiske felttensor
I afsnit (7.1) udledte vi, hvorledes det elektriske felt E og det magnetiske
felt B transformerer ved overgang fra inertialsystemet S til inertialsystemet
S ′ . Disse transformationer kan beskrives mere kompakt ved at indføre den
elektromagnetiske felttensor F µν
⎛
F µν ⎜
= ⎜
⎝
0
Ex
c
Ey
c
Ez
c
− Ex 0 Bz −By
c
− Ey
c −Bz 0 Bx
− Ez
c By −Bx 0
⎞
⎟
⎠
(9.143)
hvor µ er rækkeindeks og ν er søjleindeks i F µν . Det ses af definitionen af
F µν , at F µν = −F νµ . Dvs. F µν er antisymmetrisk.
Påstanden er nu, at i inertialsystemet S ′ er den elektromagnetiske felttensor
bestemt af transformationen
F ′µν = Λ µ ρ Λ ν σ F ρσ
(9.144)
hvor Einsteins summationskonvention benyttes, dvs. at der summeres over ρ
og σ fra 0 til 3.
Vi viser påstanden ved direkte kontrol. Først ser vi på F ′01
F ′01 = Λ 0 ρ Λ 1 σ F ρσ
= Λ 0 0 Λ 1 σ F 0σ + Λ 0 1 Λ 1 σ F 1σ
= Λ 0 0 (Λ 1 0 F 00 + Λ 1 1 F 01 ) + Λ 0 1 (Λ 1 0 F 10 + Λ 1 1 F 11 )
= γ −β γ · 0 + γ Ex
c
= γ 2 (1 − β 2 ) Ex
c
= Ex
c
+ (−β γ) −β γ −Ex
c
+ γ · 0
(9.145)
Da per definition F ′01 = E′ x
c følger det af ligning (9.145), at E ′ x = Ex, som
jo netop er den tidligere viste transformationsregel (se ligning (7.21)) for det
elektriske felt.

9.11 Den elektromagnetiske felttensor 149
Dernæst ser vi på F ′02
F ′02 = Λ 0 ρ Λ 2 σ F ρσ
= Λ 0 0 Λ 2 σ F 0σ + Λ 0 1 Λ 2 σ F 1σ
= Λ 0 0 Λ 2 2 F 02 + Λ 0 1 Λ 2 2 F 12
= γ · 1 · Ey
c
= γ Ey
c
+ (−β γ) · 1 · Bz
− β Bz
(9.146)
Da per definition F ′02 = E′ y
c følger det af ligning (9.146), at E ′ y = γ (Ey−v Bz),
som også er i overensstemmelse med transformationen ligning (7.21).
Som næste element af F ′ ser vi på F ′12
F ′12 = Λ 1 ρ Λ 2 σ F ρσ
= Λ 1 0 Λ 2 σ F 0σ + Λ 1 1 Λ 2 σ F 1σ
= Λ 1 0 Λ 2 2 F 02 + Λ 1 1 Λ 2 2 F 12
= −β γ · 1 · Ey
+ γ · 1 · Bz
c
= γ Bz − β Ey
(9.147)
c
Heraf aflæses B ′ z = γ Bz − v
c2
Ey som netop er den tidligere viste ligning
(7.22).
På samme direkte måde for F ′13
F ′13 = Λ 1 ρ Λ 3 σ F ρσ
= Λ 1 0 Λ 3 σ F 0σ + Λ 1 1 Λ 3 σ F 1σ
= Λ 1 0 Λ 3 3 F 03 + Λ 1 1 Λ 3 3 F 13
= −β γ · 1 · Ez
c
= γ −By − β Ez
c
Heraf aflæses igen det ønskede B ′ y = γ By − v
+ γ · 1 · (−By)
(9.148)
c2 Ez
Vi mangler selvfølgelig stadig at checke mange elementer i den elektromagnetiske
felttensor, men reelt kun to, nemlig f. eks. F ′03 og F ′23 , da vi kan
udnytte følgende
F ′νµ = Λ ν ρ Λ µ σ F ρσ
= −Λ ν ρ Λ µ σ F σρ
= −Λ µ σ Λ ν ρ F σρ
= −F ′µν
.
(9.149)

150 Firevektorer
Altså F ′µν bliver også antisymmetrisk. Derfor er det nok kun at checke
halvdelen af komponenterne. Vi har nu vist, at F ′µν transformerer som angivet
i ligning (9.144), og at denne transformation netop bestemmer transformationen
af de elektriske og magnetiske felter fra inertialsystemet S til
inertialsystemet S ′
En størrelse, der transformerer som F ′µν kaldes en tensor af anden orden.
En firevektor kan også kaldes en tensor af første orden.

Indeks
T 1 , 92
2
s, 74
F µν , 148
Λ, 127
Λρ σ, 127
β, 126
ɛo, 3
γ, 126
K, 125
A, 127, 133
A · B, 129
F, 139
U, 133
A , 1
µo, 3
τo, 92
gµν, 129
s2 , 26
Aberration, 41
klassisk, 41
relativistisk, 42
Acceleration, 35, 55
ustabil partikel, 92
én dimension, 35
Annihilation, 77
Antisymmetri, 148
Beampartikel, 75
Beatles, The, ii
Begivenhed, 1, 11
Bevarelse
energi, 67
impuls, 49
151
Bevægelsesligning, 49, 55, 85
firevektorform, 140
Bevægelsesretning, 36
Bradley, J., 41
Bølgeligningen, 124
Bølgevektor, 146
transformation, 146
CMsystem, 74, 79, 135
Compton, A.H, 135
Comptoneffekt, 135
de Sitter, E., 2, 12
Dobbeltstjerneanalyse, de Sitter, 6
Doppler, C., 43, 44
Dopplereffekt, 43
generelt, 46, 70, 147
longitudinal, 43, 67, 147
transveral, 47
urelativistisk, 44
Drejning, 142
Effekt, 58
Egentid, 40, 133
Einstein, A., 12
Elastisk stød, 82
Elektrisk felt, 85
bevægelse i, 85
transformation, 107
Elektromagnetisk felttensor, 148
Energi, 58
bevarelse, 67
foton, 67
hvileenergi, 59

152 INDEKS
kinetisk, 58
masse, 66
totale, 59
transformation, 60
Fireacceleration, 133
Firehastighed, 133
Fireimpuls, 134
Firekraft, 139
Firevektor, 125, 128, 146
regning med, 128
rumdel, 128
skalarprodukt, 129
tidsdel, 128
FitzGerald, G.F., 37
Fotoelektrisk effekt, 67
Foton, 67, 135
Frekvenstransformation, 43
Galileiinvarians, 2, 65
Galileitransformation, 1
Halveringstid, 92
Harmonisk bølge, 146
Hastighedsmåling, 12
Hastighedstransformation, 31
den generelle, 34
Helix, 103
Henfald, 76, 92
Hvilemasse, 49
Hyperbolsk bevægelse, 87
Impuls, 49
bevarelse, 49
fireimpuls, 134
foton, 67
relativistisk, 50, 55
transformation, 60
Invarians, 25, 73, 110, 120, 122, 124,
128, 130
Galilei, 65
Lorentz, 65
Kasteparabel, 91
Kausalitet, 29
Kraft, 55
transformation, 64
LABsystem, 79
Ladningstæthed, 121
transformation, 122
Levetid, 92
Lopis, Flora, ii
Lorentz, H.A., 11, 18, 37
Lorentzforkortning, 37
Lorentzinvarians, 26, 60, 65, 120, 122,
124
Lorentzkraft, 107
Lorentztransformationen, 11, 17
den generelle, 20
dobbelt, 19, 140
rækkefølge, 144
Lysagtig, 27, 130
Lysets fart, 2, 12
Længdemåling, 12, 37
Magnetfelt, 101
bevægelse i, 101
transformation, 107
Maksimalhastighed, 7, 33
Mandelstamvariabel, 74
Masse, 66, 81
hvilemasse, 49
massebevarelse, 81
Maxwell, J.C., 3
Maxwells ligninger, 3, 117
i vakuum, 117
med kilder, 122
Metrik, 128
Michelson, A., 2
Michelson-Morley-forsøget, 3, 12
Morley, E., 2
Newtons anden lov, 55
Newtons tredje lov, 57

INDEKS 153
Partikelhenfald, 76, 138
Partikelproduktion, 74, 137
Partikelsystemer, 73
Poincaré, H., 18
Pythagoras, relativistiske, 60
Radialhastighed, 47
Raket, 104
Relativistisk beaming, 69
Relativitetsprincip, 11
Retning af lys, 30, 147
Rumagtig, 27, 130
Rumdel, 128
Rødforskydning, 46
Rømer, O., 42
Samtidighed, 27, 33
Skalarprodukt, 129
Skruehøjde, 104
Skruelinje, 103
Skrå kast, 93
kastelængde, 98
maksimale højde, 97
Stang, kørende, 111
Strømtæthed, 121
transformation, 122
Stød
elastisk, 82, 136
uelastisk, 66
Summationskonvention, 129
Synkronisering, 1, 13
Targetpartikel, 75
Tegmark, Max, ii
Tensor
anden orden, 150
elektromagnetisk felttensor, 148
første orden, 150
Tidsagtig, 27, 130
Tidsdel, 128
Tidsforlængelse, 40
Tidsmåling, 12
Tidsrækkefølge, 29
Transformation
acceleration, 35
bevægelsesretning, 36
bølgevektor, 146
elektrisk felt og magnetfelt, 107,
109
elektromagnetisk felttensor, 148
energi og impuls, 64
frekvens, 43
Galilei, 1
hastighed, 31
kraft, 64
ladningstæthed og strømtæthed,
122
Lorentz, 11
lysretning, 30
vinkel, 38
volumen, 38
Transformationsmatrix, 127
Uelastisk stød, 66
Vakuumpermeabiliteten, 3
Vakuumpermittiviteten, 3
Vinkeltransformation, 38
Volumentransformation, 38
Yellow Submarine, ii
Ækvivalens masse-energi, 66
Æteren, 3, 37

154

Epilog
I disse noter er der ingen omtale af den generelle relativitetsteori. Dette
rådes der lidt bod på ved at gengive fortsættelsen af de "to" forfattere Flora
Lopis og Max Tegmarks sang fra side ii.
GENERAL RELATIVITY
But Einstein had another dream,
and in nineteen sixteen
he made a deep unification
between gravity and acceleration.
He said physics ain’t hard at all
as long as you are in free fall,
’cos our laws all stay the same
in a locally inertial frame.
And he called it general relativity, relativity, relativity.
And we all believe in relativity, 8.033, relativity.
If towards a black hole you fall
tides will make you slim and tall,
but your friends won’t see you enter
a singularity at the center,
because it will look to them
like you got stuck at radius 2 M.
But you get squished, despite this balking,
and then evaporate, says Stephen Hawking.
We all believe in relativity, relativity, relativity.
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.
We’re in an expanding space
with galaxies all over the place,
and we’ve learned from Edwin Hubble
that twice the distance makes the redshift double.
We can with confidence converse
about the age of our universe.
Rival theories are now moot
thanks to Penzias, Wilson, Mather & Smoot.
We all live in an expanding universe, expanding universe, expanding
universe.
I

II
Yes we all live in an expanding universe, expanding universe, expanding
universe.
But what’s the physics of creation?
There’s a theory called inflation
by Alan Guth and his friends,
but the catch is that it never ends,
making a fractal universe
which makes some of their colleagues curse.
Yes there’s plenty left to figure out
like what reality is all about.
but at least we believe in relativity, relativity, relativity.
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.