nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

26 Kinematiske konsekvenser
Galileitransformation er feks. masse, elektrisk ladning, acceleration og resulterende
kraft invariante størrelser. I relativitetsteorien vil vi også finde, at
visse størrelser er invariante, men ikke nødvendigvis de samme størrelser, som
er invariante i den klassiske fysik. Men hovedbudskabet i relativitetsteorien
er, at de grundlæggende fysiske love er de samme i alle inertialsystemer, og
at forbindelsen mellem fysiske størrelser i de to inertialsystemer er fastlagt
ved Lorentztransformationen.
Det følger direkte af Lorentztransformationen, ligningerne (2.25) til (2.28),
at
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2
(3.1)
Dvs. for enhver begivenhed, hvad enten den angives i inertialsystemet S som
(t, x, y, z) eller i inertialsystemet S ′ som (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ), er størrelsen s 2 givet
ved
s 2 = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2
(3.2)
eller den tilsvarende størrelse s ′2 udregnet i S ′ altid ens. Vi siger, at s 2 er
Lorentzinvariant. (Da vi udledte Lorentztransformationen, benyttede vi en
specialudgave af dette, nemlig tilfældet s 2 = s ′2 = 0).
Det eneste, vi har benyttet for at vise dette, er, at talsættet (t, x, y, z) transformerer
ved en Lorentztransformation. For ethvert talsæt (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ),
der transformerer på samme måde som talsættet (t, x, y, z), vil da ligeledes
størrelsen 2 A 2 = c 2 A 0 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 være Lorentzinvariant.
For den generelle Lorentztransformation gælder også, at størrelsen s 2 =
c 2 t 2 − |r| 2 er invariant. Dette ses på samme måde som tidligere ved direkte
udregning af s ′2 = c 2 t ′2 − |r ′ | 2 under anvendelse af ligningerne (2.57) og
(2.58). Denne udregning giver s ′2 = s 2 .
For to begivenheder (t1, x1, y1, z1) og (t2, x2, y2, z2) kan vi danne talsættet
∆s = (t2 − t1, x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) = (∆ t, ∆ x, ∆ y, ∆ z). Da Lorentztransformationen
er lineær, vil ∆s transformere fra S til S ′ på samme måde,
2 Bemærk at A 0 -komponenten ganges med c. Dette er også nødvendigt af dimensions-
grunde.