nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)
nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)
nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK<br />
Supplerende regnestykker til<br />
Den specielle relativitetsteori<br />
Poul Winther Andersen<br />
September <strong>2010</strong><br />
<strong>nr</strong>. <strong>475</strong> - <strong>2010</strong>
Roskilde University,<br />
Department of Science, Systems and Models, IMFUFA<br />
P.O. Box 260, DK - 4000 Roskilde<br />
Tel: 4674 2263 Fax: 4674 3020<br />
Supplerende regnestykker til<br />
Den specielle relativitetsteori<br />
Af: Poul Winther Andersen<br />
IMFUFA tekst <strong>nr</strong>. <strong>475</strong>/ <strong>2010</strong> – 167 sider – ISSN: 0106-6242<br />
Denne tekst består af et sæt noter omhandlende den specielle relativitetsteori. Noterne er<br />
tænkt anvendt sammen med en bred calculusbaseret fysikb<strong>og</strong> på collegeniveau. Der er altså<br />
ikke tale om en læreb<strong>og</strong>, men om et sæt noter, der supplerer en sådan b<strong>og</strong>. I noterne<br />
gennemføres langt de fleste regnestykker ret detaljeret <strong>for</strong> derved <strong>for</strong>håbentligt at hjælpe<br />
læseren til hurtigere at komme frem til de ønskede resultater.<br />
Hovedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, n<strong>og</strong>le umiddelbare<br />
kinematiske konsekvenser af Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, indføring i relativistisk dynamik,<br />
herunder relativistisk impuls <strong>og</strong> energi, den relativistiske bevægelsesligning samt en<br />
relativistisk behandling af partikelreaktioner. Derudover gives en kort introduktion til<br />
elektrodynamikken <strong>og</strong> Lorentzinvariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort<br />
indføring af firevektorer, hvorunder n<strong>og</strong>le af de tidligere behandlede eksempler tages op på<br />
ny.<br />
Poul Winther Andersen, august <strong>2010</strong>
Supplerende regnestykker<br />
til<br />
Den specielle relativitetsteori<br />
Poul Winther Andersen<br />
31. august <strong>2010</strong>
Forord<br />
Disse noter er tænkt anvendt sammen med en standardlæreb<strong>og</strong> af typen<br />
Physics <strong>for</strong> Engineers and Scientists. Ofte har disse bøger en sektion med<br />
Modern Physics, hvori indgår et kapitel med den specielle relativitetsteori.<br />
Behandlingen af relativitetsteorien er ofte ret kortfattet <strong>og</strong> med mange af de<br />
lidt tungere <strong>og</strong> tidskrævende regnestykker valgt fra. Noterne her er tænkt<br />
som et supplement til et sådant kapitel. Hovedindholdet i noterne er en<br />
udledning af Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, n<strong>og</strong>le umiddelbare konsekvenser af<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, indføring i relativistisk dynamik, herunder relativistisk<br />
impuls <strong>og</strong> energi samt en kort introduktion til elektrodynamikken<br />
<strong>og</strong> Lorentzinvariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort behandling<br />
af firevektorer.<br />
I noterne er medtaget mange mellemregninger, således at det <strong>for</strong>håbentligt<br />
vil være lettere <strong>og</strong> hurtigere <strong>for</strong> læseren at komme frem til de ønskede resultater.<br />
Poul Winther Andersen<br />
i
ii<br />
Abstract eller ej<br />
I stedet <strong>for</strong> et abstract følger her en del af en sang, der i 2008 er <strong>for</strong>fattet af<br />
Flora Lopis <strong>og</strong> Max Tegmark fra Dept. of Physics, Massachusetts <strong>Institut</strong>e<br />
of Technol<strong>og</strong>y, Cambridge, USA. Den er offentliggjort den 1. april 2008 <strong>og</strong><br />
indsendt til Physical Refuse. Sangen kan synges på Yellow Submarine fra<br />
Beatlesalbummet af samme navn (1969). Beatlessangen er fra 1966. (8.033<br />
henviser til det kursus i relativitetsteori, som Max Tegmark har undervist i<br />
på MIT).<br />
SPECIAL RELATIVITY<br />
Römer measured the speed of light,<br />
and something basic just wasn’t right.<br />
because Michaelson and Morley<br />
showed that aether fit the data poorley.<br />
We jump to 1905.<br />
In Einstein’s brain, ideas thrive:<br />
"The laws of nature must be the same<br />
in every inertial frame"<br />
We all believe in relativity, relativity, relativity.<br />
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.<br />
Einstein’s postulates imply<br />
that planes are shorter when they fly.<br />
Their clocks are slowed by time dilation,<br />
and look warped from aberration.<br />
Cos theta-prime is cos theta minus beta ... over one minus beta<br />
cos theta<br />
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.<br />
With the Lorentz trans<strong>for</strong>mation<br />
we calculate the relation<br />
between Chris’s and Zoe’s frame,<br />
but all invariants, they are the same.<br />
Like B dot E and B-squared minus E-squared,<br />
... and the rest mass squared which is E-squared minus p-squared,<br />
’cos we all believe in relativity, 8.033, relativity.
Soon physicists had a proclivity<br />
<strong>for</strong> using relativity.<br />
But nukes made us all scared<br />
because E = m c 2 .<br />
Everything is relative, even simultaneity,<br />
soon Einstein’s become a de facto physics deity.<br />
’cos we all believe in relativity, 8.033, relativity.<br />
Sangen afsluttes side I.<br />
iii
Indhold<br />
1 Galileitrans<strong>for</strong>mationen 1<br />
1.1 Galileitrans<strong>for</strong>mationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Lysets fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2.1 Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2.2 de Sitters dobbeltstjerneanalyse . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2.3 Maksimalhastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen 11<br />
2.1 Forudsætninger <strong>for</strong> Lorentztrans<strong>for</strong>mationen . . . . . . . . . . 11<br />
2.2 Måling af tid <strong>og</strong> længde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2.3 Trans<strong>for</strong>mation af y <strong>og</strong> z: Afstande vinkelret på bevægelsesretningen<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.4 Trans<strong>for</strong>mation af x <strong>og</strong> t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.5 Dobbelt Lorentztrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.6 Den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3 Kinematiske konsekvenser 25<br />
3.1 Invarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.2 Retning af lysstråle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.3 Hastighedstrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.3.1 Den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . 34<br />
3.4 Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
3.4.1 Acceleration i én dimension . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
3.5 Bevægelsesretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
3.6 Lorentz<strong>for</strong>kortningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.7 Volumentrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.8 Vinkeltrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.9 Tids<strong>for</strong>længelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
3.9.1 En alternativ udledning af tids<strong>for</strong>længelsen . . . . . . . 40<br />
3.10 Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.10.1 Aberration - klassisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
v
vi INDHOLD<br />
3.10.2 Aberration - relativistisk . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
3.11 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
3.11.1 Longitudinal Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
3.11.2 Vilkårlig retning af lyset . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
3.11.3 Transversal Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
4 Relativistisk dynamik: Indledning 49<br />
4.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
4.2 Relativistisk impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.3 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.3.1 Definition af kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.3.2 Kraft <strong>og</strong> acceleration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.3.3 Newtons tredje lov? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
4.4 Relativistisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
4.5 Trans<strong>for</strong>mation af impuls <strong>og</strong> energi . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
4.5.1 Impulsen parallel med v . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
4.5.2 Impulsen i vilkårlig retning . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
4.6 Trans<strong>for</strong>mation af kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
4.7 Ækvivalensen mellem masse <strong>og</strong> energi . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
4.8 Lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
4.8.1 Longitudinal Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
4.8.2 Vilkårlig retning af lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
5 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer 73<br />
5.1 Invarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
5.2 Partikelproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
5.3 Partikelhenfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
5.4 Annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
5.5 CM-system <strong>og</strong> LAB-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
5.6.1 Massebevarelse <strong>og</strong> impulsbevarelse . . . . . . . . . . . 81<br />
5.6.2 Massebevarelse <strong>og</strong> kinetisk energi . . . . . . . . . . . . 82<br />
6 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen 85<br />
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
6.1.1 Begyndelseshastighed nul . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
6.1.2 Vilkårlig begyndelseshastighed . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
6.1.3 Begyndelseshastighed vinkelret på E-felt . . . . . . . . 89<br />
6.1.4 Acceleration af ustabil partikel . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
6.2 Det skrå kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
6.2.1 Banekurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
INDHOLD vii<br />
6.2.2 N<strong>og</strong>le resultater <strong>for</strong> det skrå kast . . . . . . . . . . . . 97<br />
6.3 Ladet partikel i magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
6.4 Relativistisk raket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
7 Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter 107<br />
7.1 Trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
7.2 Konsekvenser af trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne . . . . . . . . . . . 110<br />
7.2.1 Invariante størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
7.2.2 Specialtilfældet E = o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
7.2.3 Specialtilfældet B = o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
7.3 Den kørende stang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
7.4 Ladet partikel med konstant hastighed . . . . . . . . . . . . . 113<br />
8 Invarians af Maxwells ligninger 117<br />
8.1 Maxwells ligninger i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
8.2 Ladningstæthed <strong>og</strong> strømtæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
8.3 Maxwells ligninger med kilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
8.4 Bølgeligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
9 Firevektorer 125<br />
9.1 Definition af firevektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
9.2 Regning med firevektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />
9.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
9.3.1 Invarians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br />
9.4 Firehastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
9.5 Fireacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
9.6 Fireimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
9.6.1 Definition af fireimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
9.6.2 Comptoneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
9.6.3 Elastisk stød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
9.6.4 Partikelproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />
9.6.5 Partikelhenfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
9.7 Firekraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
9.8 Dobbelt Lorentztrans<strong>for</strong>mation . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br />
9.9 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen tager en drejning . . . . . . . . . . . 141<br />
9.10 Harmonisk bølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
9.11 Den elektromagnetiske felttensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
viii INDHOLD
Kapitel 1<br />
Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
Dette kapitel indeholder en kort repetition af Galileitrans<strong>for</strong>mationen. Desuden<br />
er der eksempler på konsekvenser af Galileitrans<strong>for</strong>mationen i <strong>for</strong>bindelse<br />
med lysets hastighed. Derudover ses på den klassiske behandling af acceleration<br />
af en elektrisk ladet partikel. Disse eksempler vil vise, at der er problemer<br />
i den klassiske mekanik, <strong>og</strong> at disse har rod i Galileitrans<strong>for</strong>mationen.<br />
1.1 Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
I klassisk Newtonsk fysik spiller Galileitrans<strong>for</strong>mationen den centrale rolle<br />
ved overgang fra et inertialsystem S til et andet inertialsystem S ′ , der bevæger<br />
sig med den konstante hastighed v i <strong>for</strong>hold til systemet S. Se Fig. (2.1).<br />
Ved en begivenhed A vil vi <strong>for</strong>stå angivelsen af tid <strong>og</strong> sted, dvs. talsættet<br />
(t, x, y, z), der <strong>for</strong>tæller, at der til tiden t i punktet med koordinatsættet<br />
(x, y, z) sker et eller andet, eller at der måles en fysisk størrelse i dette<br />
punkt til tiden t. Den fundamentale antagelse <strong>for</strong> Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
er, at tiden <strong>for</strong> en begivenhed altid er den samme, hvad enten tiden måles<br />
i inertialsystemet S eller i inertialsystemet S ′ . Desuden antages, at alle ure<br />
i de to inertialsystemer er synkroniserede. Der er altså ingen "lokal tid".<br />
Dermed bliver <strong>og</strong>så tids<strong>for</strong>løb mellem to begivenheder en af inertialsystemet<br />
uafhængig størrelse. De to systemer S <strong>og</strong> S ′ antages at være sammenfaldende<br />
til tiden t = t ′ = 0. Sammenhængen mellem tid <strong>og</strong> sted i de to inertialsystemer<br />
er dermed<br />
r = r ′ + t v (1.1)<br />
t = t ′<br />
(1.2)<br />
hvor r er stedvektoren til et punkt angivet i systemet S <strong>og</strong> r ′ er stedvektoren<br />
til samme punkt, men nu angivet i systemet S ′ . Heraf følger umiddelbart <strong>for</strong><br />
1
2 Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
hastighederne u = dr<br />
dt <strong>og</strong> u ′ = d r ′<br />
dt ′ i de to systemer<br />
u = u ′ + v (1.3)<br />
<strong>og</strong> desuden, at accelerationen er den samme i S <strong>og</strong> S ′ , da v er konstant<br />
a = a ′ (1.4)<br />
Ifølge mekanikkens relativitetsprincip skal Newton anden lov gælde i alle<br />
inertialsystemer, ellers ville det ved et mekanisk eksperiment være muligt at<br />
skelne mellem inertialsystemer. Altså skal gælde både F = ma <strong>og</strong> F ′ = m a ′ ,<br />
hvor F <strong>og</strong> F ′ er den resulterende kraft i henholdsvis S <strong>og</strong> S ′ . Hvor vi som<br />
en yderligere antagelse har, at en partikels masse m er en Galileiinvariant<br />
størrelse. Da a = a ′ følger, at kraften er den samme, hvad enten den måles i<br />
S eller i S ′ : F = F ′ . Kraften er altså Galileiinvariant.<br />
1.2 Lysets fart<br />
De følgende tre underafsnit handler om n<strong>og</strong>le problemer med bestemmelsen<br />
af lysets fart, hvis man vil opretholde den klassiske Newtonske fysik under<br />
bibeholdelse af Galileitrans<strong>for</strong>mationen. Eksemplerne er ikke valgt med henblik<br />
på, at de skal <strong>for</strong>estille at have haft indflydelse på Einsteins tanker ved<br />
udviklingen af relativitetsteorien <strong>og</strong> opstillingen af relativitetsprincippet.<br />
Det første eksempel omhandler A. Michelson <strong>og</strong> E. Morleys bestræbelser på<br />
at påvise jordens bevægelse i <strong>for</strong>hold til æteren. Det er et omstridt emne i<br />
litteraturen om relativitetsteoriens opståen, om Einstein i sine overvejelser<br />
har haft Michelson <strong>og</strong> Morleys resultater med i sine tanker eller ej. I Einsteins<br />
artikel fra 1905 ’Zur Elektrodynamik bewegter Körber’, Annalen der Physik,<br />
17, 891 (1905) 1 er der ingen henvisning til Michelson <strong>og</strong> Morley. Også senere i<br />
sin karriere har Einstein ladet <strong>for</strong>stå, at Michelson <strong>og</strong> Morleys resultater ikke<br />
indgik i de overvejelser, der førte ham frem til den specielle relativitetsteori.<br />
Det andet eksempler omhandler W. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, som er<br />
fra 1913 <strong>og</strong> der<strong>for</strong> naturligvis ingen indflydelse har haft på Einsteins overvejelser<br />
i 1905. de Sitter undersøger den påstand at lyset altid har samme fart<br />
i <strong>for</strong>hold til lysgiveren. Dermed vil lyset som følge af Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
have en anden hastighed målt af en iagttager, der er i bevægelse i <strong>for</strong>hold<br />
til lysgiveren. Det tredje <strong>og</strong> sidste eksempel handler om den hastighed, en<br />
elektrisk ladet partikel kan opnå ved at gennemløbe et større <strong>og</strong> større spændingsfald.<br />
1 Engelsk oversættelse af denne artikel <strong>og</strong> andre <strong>for</strong> relativitetsteorien grundlæggende<br />
artikler i A. Einstein, H.A. Lorentz, H. Weyl <strong>og</strong> H. Minkowski: The Principle of Relativity<br />
(Dover Publications)
1.2 Lysets fart 3<br />
1.2.1 Michelson-Morley<br />
I slutningen af 1800-tallet efter fremkomsten af Maxwell’s ligninger 2 , hvoraf<br />
kunne udledes, at lys måtte opfattes som elektromagnetiske bølger med<br />
en bestemt hastighed c, fastlagt af de to konstanter vakuumpermittiviteten<br />
ɛo <strong>og</strong> vakuumpermeabiliteten µo, var den fremherskende opfattelse, at disse<br />
bølger måtte udbrede sig i et medium. Alle andre bølger man kendte til blev<br />
udbredte gennem et medium. Først <strong>og</strong> fremmest havde man stort kendskab<br />
til elastiske bølgers udbredelse gennem <strong>for</strong>skellige stoffer. Anal<strong>og</strong>t måtte der<br />
altså eksistere et særligt stof, som de elektromagnetiske bølger kunne udbrede<br />
sig igennem i det ellers tomme rum. Dette stof kaldte man æteren. Dette stof<br />
gennemtrængte alt (<strong>og</strong> gjorde ellers ikke stort væsen af sig). Kun i æteren<br />
var hastigheden af de elektromagnetiske bølger den via Maxwellligningerne<br />
fundne hastighed c. Denne hastighed, som altså var lysets hastighed, havde<br />
man målt med meget stor nøjagtighed. Med udgangspunkt i æterteorien<br />
blev det nu interessant at finde jordens hastighed i <strong>for</strong>hold til æteren. Denne<br />
opgave arbejdede Michelson <strong>og</strong> Morley på gennem en lang årrække. Deres<br />
<strong>for</strong>søgsopstilling er vist i Fig. (1.1)<br />
Lys med frekvens f sendes mod et halvgennemsigtigt spejl, en såkaldt beamsplitter,<br />
BS. En del af lyset reflekteres af beamsplitteren <strong>og</strong> rammer spejlet S1<br />
<strong>og</strong> reflekteres af dette. En anden del af lyset rammer spejlet S2 <strong>og</strong> reflekteres.<br />
Derefter kommer strålerne tilbage til BS, <strong>og</strong> en del af lyset fra turen MS1M<br />
går gennem BS mod iagttageren. En del af lyset fra turen MS2M reflekteres<br />
af beamsplitteren <strong>og</strong> <strong>for</strong>tsætter mod iagttageren. Disse to stråler interfererer<br />
nu, <strong>og</strong> interferensmønstret kan registreres v.hj.a. en fot<strong>og</strong>rafisk plade. Opstillingen<br />
er opbygget således, at |MS1| = |MS2| = L <strong>og</strong> således at MS1<br />
<strong>og</strong> MS2 er vinkelrette på hinanden. Vi <strong>for</strong>estiller os nu, at hele opstillingen<br />
bevæger sig med farten v i <strong>for</strong>hold til æteren, <strong>og</strong> at bevægelsesretningen er<br />
efter MS2.<br />
For at finde bølgelængden af lyset har vi brug <strong>for</strong> lysets fart i vores laboratoriesystem.<br />
Lysets fart i æteren er c. Vi får nu brug <strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mationsreglen<br />
<strong>for</strong> hastighed via Galileitrans<strong>for</strong>mationen. På turen MS2 er farten af lyset,<br />
se Fig. (1.2-I)<br />
v+ = c − v (1.5)<br />
På turen S2M er farten af lyset, se Fig. (1.2-II)<br />
v− = c + v (1.6)<br />
2 Disse ligninger opstillede J.C. Maxwell omkring 1864. Maxwells arbejde vedrørende<br />
elektrodynamikken fandt sted i årene mellem 1861 <strong>og</strong> 1873.
4 Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
Lyskilde<br />
B<br />
M<br />
S1<br />
Iagttager<br />
Figur 1.1: Michelson-Morleys <strong>for</strong>søg på måling af jordens fart i <strong>for</strong>hold til<br />
æteren.<br />
Da frekvensen af lyset er den samme på begge ture, bliver bølgelængderne<br />
<strong>for</strong>skellige <strong>og</strong> er henholdsvis<br />
λ+ =<br />
λ− =<br />
c − v<br />
f<br />
c + v<br />
f<br />
Antallet af bølgelængder på stykket MS2M er der<strong>for</strong><br />
N = L<br />
λ+<br />
+ L<br />
λ−<br />
= 2 L f v<br />
S<br />
c 2 − v 2<br />
På turen MS1 <strong>og</strong> <strong>og</strong>så på turen S1M er farten af lyset, se Fig. (1.2-III)<br />
S2<br />
(1.7)<br />
(1.8)<br />
(1.9)<br />
v⊥ = √ c 2 − v 2 (1.10)<br />
Frekvensen er <strong>og</strong>så her f, således at bølgelængden på turen MS1M bliver<br />
√<br />
c2 − v2 λ⊥ =<br />
(1.11)<br />
f<br />
Antallet af bølgelængder på stykket MS1M er så<br />
N⊥ = 2 L<br />
λ⊥<br />
= 2 L f<br />
√ c 2 − v 2<br />
(1.12)
1.2 Lysets fart 5<br />
I<br />
II<br />
v<br />
c<br />
c<br />
v+<br />
v−<br />
−v<br />
Figur 1.2: De tre mulige værdier <strong>for</strong> lysets fart i Michelson-Morleys <strong>for</strong>søg<br />
ifølge Galileitrans<strong>for</strong>mationen.<br />
Da antallene af bølgelængder N <strong>og</strong> N⊥ ikke er ens, vil de to stråler der<strong>for</strong><br />
danne et interferensmønster, der afhænger af <strong>for</strong>skellen i antallet af bøl-<br />
gelængder, når de mødes ved iagttageren. Forskellen i de to bølgelængdeantal<br />
er<br />
<br />
2 L f 1<br />
∆ N = N − N⊥ =<br />
c 1 − 1<br />
<br />
v 2 − <br />
c 1 − <br />
(1.13)<br />
v 2<br />
c<br />
Hvis hele opstillingen drejes 90o , byttes der om på parallelretningen <strong>og</strong> vinkelretretningen,<br />
<strong>og</strong> ∆ N skifter der<strong>for</strong> <strong>for</strong>tegn, således at vi får et andet interferensmønster<br />
end før. Ændringen i bølgelængde<strong>for</strong>skel bliver<br />
<br />
4 L f 1<br />
∆ (∆ N) =<br />
c 1 − 1<br />
<br />
v 2 − <br />
c 1 − <br />
(1.14)<br />
v 2<br />
c<br />
Fidusen med at dreje opstillingen 90 o er, at man ved at dreje opstillingen<br />
vil se et ændret interferensmønster, hvis <strong>for</strong>udsætningerne er rigtige. Med<br />
typiske tal fra målingerne L = 11 m, f = 6, 0 10 14 s −1 , c = 3, 00 10 8 ms −1 <strong>og</strong><br />
v = 3, 0 10 4 ms −1 bliver ∆ (∆ N) = 0, 44. Den eksperimentelt fundne værdi<br />
var mindre end 0,02. Altså kunne Michelson <strong>og</strong> Morley ikke påvise, at jorden<br />
bevægede sig i <strong>for</strong>hold til æteren. Forsøgene blev gentaget gennem mange år<br />
<strong>og</strong> altid med samme resultat: Ingen påvisning af jordens bevægelse i <strong>for</strong>hold<br />
til æteren. Lysets hastighed må altså være uafhængig af lysets udsendelsesretning<br />
i et givet inertialsystem.<br />
v⊥<br />
III<br />
v<br />
c
6 Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
1.2.2 de Sitters dobbeltstjerneanalyse<br />
For en kugle, der <strong>for</strong>lader et gevær anbragt på en bil i fart, vil kuglens fart i<br />
<strong>for</strong>hold til jordoverfladen have <strong>for</strong>skellig værdi alt efter i hvilken retning, den<br />
affyres i <strong>for</strong>hold til bilens kørselsretning. Kuglens fart ug i <strong>for</strong>hold til geværet<br />
vil være den samme i alle tilfælde. Ved brug af Galileitrans<strong>for</strong>mationen er<br />
kuglens fart i <strong>for</strong>hold til jordoverfladen u +<br />
J = ug+v, hvis kuglen affyres i bilens<br />
kørselsretning, eller u −<br />
J = ug −v, hvis kuglen affyres i modsat retning af bilens<br />
kørselsretning. v er bilens fart i <strong>for</strong>hold til jordoverfladen. Samme <strong>for</strong>hold<br />
kunne tænkes at være gældende <strong>for</strong> lys: Lysets fart antages altid at være den<br />
samme i <strong>for</strong>hold til lysgiveren, hvorimod lysets fart i <strong>for</strong>hold til iagttageren<br />
antages at afhænge af lysgiverens hastighed i <strong>for</strong>hold til iagttageren. Denne<br />
antagelse blev underkastet en kritisk undersøgelse af de Sitter i 1913. Han<br />
undersøgte konkret et dobbeltstjernesystem. De to stjerner bevæger sig i<br />
hver deres Keplerbane om stjernernes fælles tyngdepunkt med en omløbstid<br />
T . Vi ser nu på den ene af disse stjerner. For simpelheds skyld antager vi, at<br />
jorden befinder sig i stjernernes baneplan. Til tiden t = 0 befinder stjernen<br />
sig i afstanden L fra jorden i yderpunktet A, <strong>og</strong> lys starter fra stjernen mod<br />
jorden. Se Fig. (1.3).<br />
B A<br />
c+<br />
Jorden<br />
L<br />
c−<br />
Figur 1.3: de Sitters dobbeltstjerneanalyse.<br />
Dette lys modtages på jorden til tiden<br />
t1 = L<br />
c−<br />
(1.15)
1.2 Lysets fart 7<br />
hvor c er lysets fart i <strong>for</strong>hold til stjernen, v er stjernens fart i <strong>for</strong>hold til jorden<br />
<strong>og</strong> c− = c − v er lysets fart i <strong>for</strong>hold til jorden. Til tiden t = T er stjernen<br />
2<br />
i det andet yderpunkt B, <strong>og</strong>så i afstanden L fra jorden, <strong>og</strong> lyset fra dette<br />
punkt ankommer til jorden til tiden<br />
t2 = L<br />
c+<br />
+ T<br />
2<br />
(1.16)<br />
hvor lysets fart i <strong>for</strong>hold til jorden nu er c+ = c + v. Til tiden t = T er<br />
stjernen tilbage i A, <strong>og</strong> det derfra udsendte lys når jorden til tiden<br />
t3 = L<br />
c−<br />
+ T (1.17)<br />
Vi kan nu udlede, at set fra jorden tager det halve omløb fra A til B tiden<br />
∆T1 = t2 − t1 = L<br />
c+<br />
+ T<br />
2<br />
− L<br />
c−<br />
= T<br />
2<br />
hvorimod det halve omløb fra B til A tager tiden<br />
∆T2 = t3 − t2 = L<br />
c−<br />
− L<br />
+<br />
c+<br />
T<br />
2<br />
= T<br />
2<br />
2 v<br />
−<br />
c2 L (1.18)<br />
− v2 2 v<br />
+<br />
c2 L (1.19)<br />
− v2 Af ligningerne (1.18) <strong>og</strong> (1.19) ses, at <strong>for</strong>skellene på de halve omløbstider<br />
vokser proportionalt med stjernens afstand fra jorden <strong>og</strong> kan altså blive større<br />
end tiden <strong>for</strong> et helt omløb. Dette er naturligvis absurd. Der er da heller aldrig<br />
observeret n<strong>og</strong>et sådant. Forskellen på de to halve omløbstider er<br />
δ∆T = ∆T2 − ∆T1 =<br />
4 v<br />
c2 L (1.20)<br />
− v2 Med n<strong>og</strong>le typiske værdier T = 1 d, v = 10 5 ms −1 <strong>og</strong> L = 10 18 m fås δ∆T =<br />
4, 4 10 6 s = 51, 4 d. Altså langt mere end selve omløbstiden! Konklusionen er,<br />
at <strong>for</strong>udsætningerne ikke holder. Lysets fart er ikke afhængig af lysgiverens<br />
fart.<br />
1.2.3 Maksimalhastighed<br />
Ifølge den klassiske mekanik vil en partikel, der påvirkes af en konstant kraft,<br />
opnå større <strong>og</strong> større fart. Hvis kraftpåvirkningen varer ved, vil partiklen<br />
opnå en vilkårlig stor fart. Dette kan undersøges eksperimentelt ved at lade<br />
elektroner gennemløbe et spændingsfald (egentlig en spændingsstigning) ∆U,<br />
hvorved elektronerne opnår en kinetisk energi Ekin = e ∆U, idet det antages,
8 Galileitrans<strong>for</strong>mationen<br />
at elektonerne starter fra hvile. e er elektronens elektriske ladning. Herefter<br />
findes elektronernes fart direkte ved at måle tiden <strong>for</strong> passage af en given<br />
vejstrækning. Man kunne nu <strong>for</strong>estille sig med de høje hastigheder, der opnås<br />
ved at gennemløbe store spændingsstigninger, at den opnåede kinetiske energi<br />
ikke var givet ved e ∆U. For at undersøge dette sendes elektronstrålen efter<br />
accelerationen mod en lille metalklods, <strong>og</strong> elektronerne stoppes af denne.<br />
Temperaturstigningen af metalklodsen måles samtidig med, at den opsamlede<br />
elektriske ladning måles. Hermed kan man bestemme den kinetiske energi,<br />
én elektron har opnået ved at blive accelereret gennem spændingsstigningen.<br />
Disse målinger viser, at den opnåede kinetiske energi er givet ved e ∆U. Da vi<br />
nu har styr på den kinetiske energi, kan farten v af elektronen beregnes efter<br />
<br />
2 Ekin<br />
det klassiske udtryk v = . m er elektronens masse. De således fundne<br />
m<br />
værdier <strong>for</strong> farten sammenlignes med de eksperimentelt fundne værdier ved<br />
den direkte måling af farten. Se Fig. (1.4).<br />
Figur 1.4: Maksimal hastighed c. Taget fra W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32,<br />
551 (1964).<br />
Det ses tydeligt, at det klassiske udtryk ikke er i overensstemmelse med<br />
virkeligheden. Det ser altså ud til, at elektronens fart ikke kan blive vilkårlig
1.2 Lysets fart 9<br />
stor, men altid er mindre end lysets fart c. (På Fig. (1.4) er <strong>og</strong>så vist den<br />
korrekte relativistiske tolkning af eksperimentet).
10 Galileitrans<strong>for</strong>mationen
Kapitel 2<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
I dette kapitel udledes den trans<strong>for</strong>mation, Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, der erstatter<br />
Galileitrans<strong>for</strong>mationen ved overgang fra et inertialsystem til et andet<br />
inertialsystem. Forudsætningerne <strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mationen præciseres, således at<br />
vi på entydig vis får bestemt Lorentztrans<strong>for</strong>mationen.<br />
2.1 Forudsætninger <strong>for</strong> Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
Vi betragter i det følgende to inertialsystemer S <strong>og</strong> S ′ med sammenfaldende<br />
akser til tiden t = t ′ = 0. Systemet S ′ bevæger sig med hastigheden v målt<br />
i systemet S langs x-aksen. Se Fig. (2.1). Af symmetrigrunde bevæger systemet<br />
S sig da med hastigheden −v målt i systemet S ′ langs med x ′ -aksen. En<br />
begivenhed A fastlægges i hvert inertialsystem ved angivelse af tidspunkt <strong>og</strong><br />
stedkoordinat. Dvs. i systemet S ved talsættet (t, x, y, z) <strong>og</strong> i systemet S ′ ved<br />
talsættet (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ). Vores opgave er at bestemme den trans<strong>for</strong>mation, der<br />
giver sammenhængen mellem talsættet (t, x, y, z) <strong>og</strong> talsættet (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ )<br />
<strong>for</strong> begivenheden.<br />
Forudsætninger<br />
Da den klassiske fysik jo har givet fantastisk mange verificerede resultater vil<br />
det være naturligt at <strong>for</strong>lange<br />
1. For små hastigheder skal den søgte trans<strong>for</strong>mation falde sammen med<br />
Galileitrans<strong>for</strong>mationen.<br />
2. Det specielle relativitetsprincip skal gælde: Dvs. det er ikke muligt ved<br />
n<strong>og</strong>et fysisk eksperiment at afgøre hvilket inertialsystem, der er i bevægelse<br />
11
12 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
y<br />
S<br />
eller hvilket der er i hvile.<br />
x<br />
y ′<br />
S ′<br />
Figur 2.1: Inertialsystemerne S <strong>og</strong> S ′ .<br />
Derudover indføres nu det helt afgørende krav<br />
3. Lysets fart c er den samme i alle retninger <strong>og</strong> i alle inertialsystemer.<br />
Punkt 3, som blev <strong>for</strong>muleret af Albert Einstein i 1905, er helt centralt i<br />
den specielle relativitetsteori. Ved hjælp af disse tre <strong>for</strong>udsætninger skal vi nu<br />
finde den trans<strong>for</strong>mation, Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, der skal afløse Galileitrans<strong>for</strong>mationen.<br />
Den trans<strong>for</strong>mation, vi søger, må endvidere være lineær, således<br />
at en fri partikel, der i S kan beskrives ved en sædvanlig parameterfremstilling<br />
<strong>for</strong> en ret linje med talsættet (t, x, y, z), <strong>og</strong>så i S ′ kan fremstilles ved<br />
en parameterfremstilling <strong>for</strong> en ret linje, nu blot ved talsættet (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ).<br />
Om den fundne trans<strong>for</strong>mation er i overensstemmelse med naturen kan kun<br />
afgøres ved eksperimentets hjælp.<br />
Uanset hvilken <strong>for</strong>m, den nye trans<strong>for</strong>mation har, har vi allerede nu en løsning<br />
på problemerne med tolkningen af Michelson-Morley-<strong>for</strong>søget <strong>og</strong> af de Sitters<br />
dobbeltstjerneanalyse. Forudsætning <strong>nr</strong>. 3 giver nemlig en <strong>for</strong>klaring på den<br />
manglende ændring i interferensbilledet i Michelson-Morley-<strong>for</strong>søget, da vi i<br />
stedet <strong>for</strong> ligningerne (1.5), (1.6) <strong>og</strong> (1.10) automatisk har v+ = v− = v⊥ = c.<br />
Ligeledes er der ingen problemer m.h.t. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, idet<br />
vi her har c+ = c− = c, se side 7.<br />
2.2 Måling af tid <strong>og</strong> længde<br />
For at kunne måle en hastighed, f. eks. lysets hastighed, er det nødvendigt<br />
at kunne måle en tilbagelagt vejstrækning <strong>og</strong> den tid, det har taget at<br />
tilbagelægge denne vejstrækning. Vejstrækningen er fastlagt ved et slut-<br />
v<br />
x ′
2.2 Måling af tid <strong>og</strong> længde 13<br />
punkt <strong>og</strong> et begyndelsespunkt, hvis vi holder os til en retlinet bevægelse<br />
eller til en infinitesimal vejstrækning. Afstanden mellem disse to punkter<br />
kan i et inertialsystem bestemmes v.hj.a. en målestok i hvile i inertialsystemet.<br />
Målestokken lægges simpelthen, så den <strong>for</strong>binder de to punkter, <strong>og</strong><br />
afstanden aflæses på målestokken. Tiden, der er gået ved tilbagelæggelsen af<br />
vejstrækningen, kan findes ved at aflæse tiden på et ur placeret ved slutpunktet<br />
i det øjeblik, lyset eller partiklen passerede slutpunktet. Uret er i hvile i<br />
inertialsystemet. Det <strong>for</strong>udsættes, at der ikke er problemer med at afgøre, om<br />
to hændelser er samtidige, hvis de <strong>for</strong>egår i samme punkt. På samme måde<br />
aflæses tiden på et ur i hvile placeret ved startpunktet i det øjeblik, lyset<br />
eller partiklen passerer startpunktet. Tids<strong>for</strong>bruget er så <strong>for</strong>skellen mellem<br />
de to aflæste tider. Men det kræver, at urene er synkroniserede <strong>for</strong> at give<br />
en meningsfuld måling. Det centrale spørgsmål er dermed blevet, hvorledes<br />
synkroniseringen af ure skal <strong>for</strong>etages, således at det vil være muligt at sammenligne<br />
tider målt i et inertialsystem i <strong>for</strong>skellige punkter i inertialsystemet.<br />
Vi <strong>for</strong>stiller os nu, at i alle punkter (af interesse <strong>for</strong> os) er anbragt ure i hvile,<br />
<strong>og</strong> at disse ure <strong>for</strong>ventes at ”tikke” lige hurtigt. Et af disse ure udvælges som<br />
hovedur. Lad dette urs visning være to. Ved at udsende et signal fra dette<br />
hovedur til et andet ur, hvis afstand l til hoveduret er kendt, kunne vi synkronisere<br />
urene ved at sætte tiden ved det andet ur ved modtagelsen af signalet<br />
til to + l , hvor w er signalets udbredelsesfart, hvis vi kendte denne fart. Men<br />
w<br />
det fører os tilbage til problemet med at måle hastighed, <strong>og</strong> det krævede<br />
synkroniserede ure <strong>for</strong> at kunne virke. Vi synes at være havnet i en ”Catch<br />
22” -lignende situation. Men her kommer den eksperimentelle kendsgerning,<br />
at lysets fart er den samme i alle retninger os til hjælp. For at demonstrere<br />
dette, kan man nemlig nøjes med ét ur i et fast punkt. Vi kan <strong>for</strong>estille os,<br />
at lys sendes rundt i en lukket bane vha. spejle, se Fig. (2.2). Vi skal altså<br />
aflæse startiden <strong>for</strong> lysudsendelsen <strong>og</strong> sluttiden <strong>for</strong> modtagelsen af lyset på<br />
det samme ur i det faste punkt. Den af lyset tilbagelagte vej måles i ro <strong>og</strong><br />
mag med målestokke i hvile langs lysets bane. Ved frit at vælge <strong>for</strong>skellige<br />
opstillinger af disse stykkevis retlinede baner <strong>og</strong> efter hvert <strong>for</strong>søg at kunne<br />
konstatere at lysets fart er den samme ved alle <strong>for</strong>søgene, ledes man til at<br />
postulere, at sådan er det altid: Lysets fart er den samme i alle retninger i<br />
det givne inertialsystem. Den angivne metode med benyttelse af et hovedur<br />
<strong>og</strong> udsendelse af et lyssignal til andre ure i kendt afstand fra hoveduret er<br />
dermed en brugbar metode til at synkronisere alle ure i et inertialsystem.<br />
Metoden sikrer, at alle urene er indbyrdes synkroniserede. Da hoveduret <strong>og</strong><br />
ur-A viser samme tid, <strong>og</strong> endvidere hoveduret <strong>og</strong> ur-B viser samme tid, viser<br />
ur-A <strong>og</strong> ur-B <strong>og</strong>så samme tid.<br />
Hvis man ønsker at checke, om to ure placeret i henholdsvis punktet A <strong>og</strong>
14 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
S1<br />
S5<br />
Figur 2.2: Måling af lysets fart under benyttelse af kun ét ur.<br />
i punktet B er synkroniserede i inertialsystemet S, kan man <strong>for</strong>etage det<br />
eksperiment, at til tiden tAs målt på A’s ur sendes et lysglimt mod B. Dette<br />
lysglimt modtages i punktet B til tiden tB målt på B’s ur. Lysglimtet reflekteres<br />
af et spejl anbragt i B <strong>og</strong> modtages i punktet A til tiden tAm målt på A’s<br />
ur. Da lysglimtets fart på de to ture ifølge vores antagelse <strong>og</strong> eksperimentelle<br />
undersøgelser altid har samme værdi, <strong>og</strong> da lysglimtene skal tilbagelægge<br />
samme vejstrækning på de to ture, er de to ure synkroniserede, netop hvis<br />
følgende er opfyldt<br />
tB − tAs = tAm − tB ⇔<br />
S2<br />
S4<br />
S3<br />
tB = 1<br />
2 (tAs + tAm) (2.1)<br />
2.3 Trans<strong>for</strong>mation af y <strong>og</strong> z: Afstande vinkelret<br />
på bevægelsesretningen<br />
To iagttagere i hvert sit inertialsystem S <strong>og</strong> S ′ har besluttet at lave hvert sit<br />
rør med samme radius målt i hvile. Efter at have konstrueret rørerne lægger<br />
de dem med røraksen parallelt med x(x ′ )-aksen. Rør A ligger stille i S ′ <strong>og</strong>
2.4 Trans<strong>for</strong>mation af x <strong>og</strong> t 15<br />
rør B ligger stille i S. Se Fig. (2.3).<br />
y ′<br />
S ′<br />
v<br />
x ′<br />
A B<br />
Figur 2.3: Inertialsystemerne S <strong>og</strong> S ′ med to ens rør.<br />
Set fra S kommer der nu et rør, A, susende med hastighed v. Hvis nu længder<br />
vinkelret på v havde en anden værdi målt i S end målt i S ′ , ville rør A altså<br />
passere gennem rør B , hvis rørradius blev målt mindre i S, eller <strong>og</strong>så ville<br />
rør A helt omslutte rør B, hvis rørradius blev målt større i S. Set fra S ′<br />
er situationen helt den samme. Her kommer rør B susende med hastighed<br />
−v. Da bevægelse mod højre <strong>og</strong> venstre giver samme fysik vil iagttageren i<br />
S ′ kunne sige: Hvis radius af B blev målt mindre ville B pasere gennem A,<br />
<strong>og</strong> hvis radius af B blev målt større ville A passere gennem B. Vi får altså<br />
en modstrid, hvis længder vinkelret på bevægelsesretningen ændres. Der er<br />
der<strong>for</strong> kun en mulighed tilbage: Man måler samme længde. Dermed er trans<strong>for</strong>mationen<br />
af y <strong>og</strong> z-koordinaterne fundet<br />
2.4 Trans<strong>for</strong>mation af x <strong>og</strong> t<br />
y<br />
S<br />
y ′ = y (2.2)<br />
z ′ = z (2.3)<br />
Til tidspunktet t = t ′ = 0 hvor origo O <strong>og</strong> O ′ i de to inertialsystemer S <strong>og</strong> S ′<br />
falder sammen, udsendes fra O(O ′ ) et lysglimt. Denne <strong>for</strong>styrrelse udbreder<br />
sig i begge systemer på en kugleflade, da lysets fart i de to systemer er ens i<br />
alle retninger. Endvidere er lysets fart den samme i begge systemer, således<br />
at radius i S til tiden t er ct, <strong>og</strong> i S ′ er radius til tiden t ′ blevet ct ′ . Kuglefladen<br />
kan i S beskrives ved ligningen<br />
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = 0 (2.4)<br />
x
16 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
<strong>og</strong> i S ′ ved ligningen<br />
Altså gælder der<br />
c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 = 0 (2.5)<br />
c 2 t 2 − x 2 = c 2 t ′2 − x ′2<br />
(2.6)<br />
hvor vi <strong>og</strong>så har benyttet ligningerne (2.2) <strong>og</strong> (2.3). Da trans<strong>for</strong>mationen fra<br />
(t, x) til (t ′ , x ′ ) er lineær (<strong>og</strong> uden indblanding af y <strong>og</strong> z) skal vi bestemme<br />
fire tal K, L, M <strong>og</strong> N, der er uafhængige af (t, x), men som <strong>for</strong>modentligt<br />
kommer til at afhænge af v, da v jo karakteriserer bevægelsen af S <strong>og</strong> S ′ i<br />
<strong>for</strong>hold til hinanden:<br />
x ′ = K x + L t (2.7)<br />
t ′ = M t + N x (2.8)<br />
For origo O ′ gælder i systemet S ′ at x ′ = 0 <strong>og</strong> i systemet S at x = vt. Dette<br />
kan sættes ind i ligning(2.7), <strong>og</strong> dermed har vi et bånd mellem tallene L <strong>og</strong><br />
K<br />
Nu kan ligning (2.7) skrives<br />
v = − L<br />
K<br />
(2.9)<br />
x ′ = K (x − v t) (2.10)<br />
Ligningerne (2.8) <strong>og</strong> (2.10) benyttes i ligning (2.6), <strong>og</strong> efter lidt rumsteren<br />
har vi<br />
x 2 −c 2 t 2 = (K 2 −c 2 N 2 ) x 2 −2 (K 2 v+c 2 M N) x t−(c 2 M 2 −K 2 v 2 ) t 2 (2.11)<br />
For at ligning (2.11) kan være opfyldt <strong>for</strong> alle x <strong>og</strong> alle t, skal koefficienterne<br />
til x 2 , x t <strong>og</strong> t 2 være ens på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.11). Der<br />
skal altså gælde<br />
K 2 − c 2 N 2 = 1 (2.12)<br />
K 2 v + c 2 M N = 0 (2.13)<br />
c 2 M 2 − K 2 v 2 = c 2<br />
Af ligning (2.13) får vi<br />
N = − v<br />
c2 Ligning (2.15) indsættes i ligning (2.12)<br />
K 2 − v2<br />
c 2<br />
K 2<br />
M<br />
(2.14)<br />
(2.15)<br />
K4 = 1 (2.16)<br />
M 2
2.4 Trans<strong>for</strong>mation af x <strong>og</strong> t 17<br />
Af ligning (2.14) fås<br />
M 2 = c2 + K 2 v 2<br />
c2 (2.17)<br />
Ligning (2.17) indsættes i ligning (2.16), <strong>og</strong> efter lidt regneri finder vi<br />
1<br />
K = ± <br />
v 1 − ( c )2<br />
Nu kan ligning (2.18) indsættes i ligning (2.17), <strong>og</strong> M kan findes<br />
1<br />
M = ± <br />
v 1 − ( c )2<br />
(2.18)<br />
(2.19)<br />
Dernæst indsættes ligningerne (2.18) <strong>og</strong> (2.19) i ligning (2.15), <strong>og</strong> N kan<br />
findes<br />
N = ± v<br />
c2 1<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
(2.20)<br />
Vi mangler nu kun at bestemme <strong>for</strong>tegnene <strong>for</strong> K, M <strong>og</strong> N. Ligning (2.7)<br />
skal gælde <strong>for</strong> alle værdier af v, <strong>og</strong>så <strong>for</strong> v = 0. For v = 0 er x ′ = x, <strong>og</strong><br />
dermed er K = 1. Da K antages at være en pæn kontinuert funktion af v,<br />
må <strong>for</strong>tegnet <strong>for</strong> K være plus, dvs.<br />
K =<br />
1<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
L er dermed <strong>og</strong>så bestemt via ligning (2.9)<br />
L =<br />
−v<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(2.21)<br />
(2.22)<br />
For v ≪ c skal den søgte trans<strong>for</strong>mation falde sammen med Galileitrans<strong>for</strong>mationen,<br />
dvs. ligning (2.8) skal gå over i t ′ = t. Fortegnet <strong>for</strong> M må der<strong>for</strong><br />
være plus, altså<br />
1<br />
M = <br />
v 1 − ( c )2<br />
Hermed er <strong>for</strong>tegnet <strong>for</strong> N fastlagt via ligning (2.15), <strong>og</strong> N bliver<br />
N = − v<br />
c 2<br />
1<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(2.23)<br />
(2.24)<br />
Konstanterne K, L, M <strong>og</strong> N er hermed fastlagte, <strong>og</strong> vi har fundet Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
x ′ =<br />
x − v t<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
(2.25)
18 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
t ′ =<br />
y ′ = y (2.26)<br />
z ′ = z (2.27)<br />
t − v<br />
c 2 x<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(2.28)<br />
Den omvendte trans<strong>for</strong>mation fra inertialsystemet S ′ til inertialsystemet S<br />
fås ved i ligningerne (2.25) til (2.28) at udskifte v med −v <strong>og</strong> bytte om på<br />
de mærkede <strong>og</strong> de umærkede variable<br />
x = x′ + v t ′<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
y = y ′<br />
z = z ′<br />
t = t′ + v<br />
c 2 x ′<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(2.29)<br />
(2.30)<br />
(2.31)<br />
(2.32)<br />
Navnet på trans<strong>for</strong>mationen skyldes, at H.A. Lorentz før Einstein havde<br />
vist, at denne trans<strong>for</strong>mation medfører, at Maxwells ligninger er invariante.<br />
Dette vil ikke være tilfældet under en Galileitrans<strong>for</strong>mation. Invariansen af<br />
Maxwells ligninger under en Lorentztrans<strong>for</strong>mation var ligeledes blevet vist<br />
af H. Poincaré.<br />
Eftertanke. Da vi opskrev Lorentztrans<strong>for</strong>mationen fra S ′ til S, gik vi ud<br />
fra, at S bevæger sig med hastighed −v i <strong>for</strong>hold til S ′ af symmetrigrunde.<br />
Men vi kan let se, at det må <strong>for</strong>holde sig således ved følgende betragtning.<br />
Trans<strong>for</strong>mationen fra S ′ til S må være af samme <strong>for</strong>m som trans<strong>for</strong>mationen<br />
fra S til S ′ blot med hastigheden v erstattet med en anden hastighed, som<br />
vi vil kalde w<br />
x = x′ − w t ′<br />
<br />
2 1 − w<br />
c<br />
t = t′ w x′ − c2 <br />
1 − w<br />
c<br />
2<br />
(2.33)<br />
(2.34)
2.5 Dobbelt Lorentztrans<strong>for</strong>mation 19<br />
I ligning (2.33) indsættes nu resultaterne fra ligningerne (2.25) <strong>og</strong> (2.28).<br />
Dette giver ved en lille regning<br />
x =<br />
x (1 + w v<br />
<br />
c2 ) − t (w + v)<br />
1 − <br />
<br />
w 2<br />
1 − c<br />
<br />
v 2<br />
c<br />
(2.35)<br />
Da ligning (2.35) skal være opfyldt <strong>for</strong> alle (x, t), skal w + v = 0, <strong>og</strong> dermed<br />
er w = −v, hvilket sikrer opfyldelsen af ligning (2.35). En tilsvarende regning<br />
med udgangspunkt i ligning (2.34) giver samme resultat. Altså er det<br />
godtgjort, at S bevæger sig med hastighed −v i <strong>for</strong>hold til S ′ .<br />
2.5 Dobbelt Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
Vi ser her på tre inertialsystemer S, S ′ <strong>og</strong> S ′′ . S ′ bevæger sig med hastighed<br />
v i <strong>for</strong>hold til S langs x, x ′ -aksen, <strong>og</strong> S ′′ bevæger sig med hastighed w i<br />
<strong>for</strong>hold til S ′ langs x ′ , x ′′ -aksen. Til tiden t = t ′ = t ′′ = 0 er de tre systemer<br />
sammenfaldende. Hvis vi udfører først en Lorentztrans<strong>for</strong>mation fra S til<br />
S ′ <strong>og</strong> dernæst en Lorentztrans<strong>for</strong>mation videre fra S ′ til S ′′ , har vi fået en<br />
trans<strong>for</strong>mation fra S til S ′′ . Det vil være naturligt at <strong>for</strong>vente, at dette må<br />
kunne beskrives som en Lorentztrans<strong>for</strong>mation fra S til S ′′ . Dette vil vi nu<br />
vise eksplicit. For de to givne trans<strong>for</strong>mationer gælder<br />
x ′ =<br />
x − v t<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
x ′′ = x′ − w t ′<br />
<br />
2 1 − w<br />
c<br />
t ′ =<br />
v t − c2 x<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
t ′′ = t′ − w<br />
c2 x ′<br />
<br />
1 − w<br />
c<br />
Ved et lille regnestykke, hvor ligning (2.37) indsættes i ligning (2.36), fås<br />
x ′′ =<br />
t ′′ =<br />
x − v+w<br />
v w<br />
1+<br />
c2 t<br />
<br />
1 − <br />
<br />
v 2<br />
1 − c<br />
w<br />
c<br />
t − v+w<br />
v w<br />
1+<br />
c2 1<br />
c2 x<br />
<br />
1 − <br />
<br />
v 2<br />
1 − c<br />
w<br />
c<br />
2 1<br />
v w<br />
1+<br />
c2 2 1<br />
v w<br />
1+<br />
c2 2<br />
(2.36)<br />
(2.37)<br />
(2.38)<br />
(2.39)<br />
Tællerne i de to ligninger (2.38) <strong>og</strong> (2.39) ser <strong>for</strong>nuftige ud med S ′′ ’s hastighed<br />
V i <strong>for</strong>hold til S givet ved<br />
v + w<br />
V =<br />
1 +<br />
(2.40)<br />
v w<br />
c 2
20 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
For at have den rigtige <strong>for</strong>m på trans<strong>for</strong>mationen <br />
skal nævnerne i ligningerne<br />
(2.38) <strong>og</strong> (2.39) kunne skrives 1 − <br />
V 2.<br />
At dette er tilfældet vises ved<br />
c<br />
<br />
direkte udregning af 1 − <br />
V 2<br />
med V givet ved ligning (2.40). Hermed er<br />
c<br />
vist, at sammensætningen af to Lorentztrans<strong>for</strong>mationer giver en ny Lorentztrans<strong>for</strong>mation,<br />
<strong>og</strong> at den sammensatte Lorentztrans<strong>for</strong>mation er givet ved<br />
S ′′ ’s hastighed V i <strong>for</strong>hold til S med V bestemt af ligning (2.40). Se <strong>og</strong>så<br />
ligning (3.36).<br />
Hvis vi havde benyttet Galileitrans<strong>for</strong>mationen, ville vi have fået V = v + w.<br />
I den grænse, hvor |v| ≪ c <strong>og</strong> |w| ≪ c, ses, at ligning (2.40) <strong>og</strong>så giver dette<br />
resultat.<br />
2.6 Den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
Hvis inertialsystemet S ′ bevæger sig i y-aksens retning med hastighed v i<br />
<strong>for</strong>hold til inertialsystemet S, se Fig. (2.4), <strong>og</strong> de to inertialsystemer er sammenfaldende<br />
til tiden t = t ′ = 0 bliver trans<strong>for</strong>mationen mellem S <strong>og</strong> S ′<br />
naturligvis<br />
S ′<br />
S<br />
y ′<br />
y<br />
v<br />
Figur 2.4: Lorentztrans<strong>for</strong>mation i y-aksens retning.<br />
x ′<br />
x
2.6 Den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation 21<br />
x ′ = x x = x ′<br />
y ′ =<br />
y − v t<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
z ′ = z z = z ′<br />
t ′ =<br />
v t − c2 y<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
y = y′ + v t ′<br />
<br />
2 1 − v<br />
c<br />
t = t′ + v<br />
c2 y ′<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
(2.41)<br />
(2.42)<br />
(2.43)<br />
(2.44)<br />
Lad nu S ′ bevæge sig med en vilkårlig hastighed v i <strong>for</strong>hold til S, se Fig.<br />
(2.5). Den rumlige del af en begivenhed er givet ved vektoren r. Den del af<br />
S<br />
O<br />
y<br />
S ′<br />
O ′<br />
y ′<br />
Figur 2.5: Lorentztrans<strong>for</strong>mation i vilkårlig retning.<br />
denne vektor, der er vinkelret på v er<br />
−→<br />
r⊥ = r −<br />
x<br />
v<br />
x ′<br />
r · v<br />
v (2.45)<br />
|v| 2<br />
Med brug af samme argumentation som i afsnit 2.3 kan vi slutte, at afstande,<br />
der er vinkelrette på v, er uændrede. For trans<strong>for</strong>mationen af −→ r⊥ må der<strong>for</strong><br />
gælde<br />
−→<br />
r ′ ⊥ = −→ r⊥<br />
(2.46)<br />
Den del af r, der er parallel med v, altså<br />
−→ r =<br />
r · v<br />
v (2.47)<br />
|v| 2<br />
har en ikketriviel trans<strong>for</strong>mation, som vi vil finde på samme måde som i<br />
afsnit 2.4. Ligning (2.6) bliver nu under anvendelse af ligning (2.46)<br />
c 2 t 2 − | −→ r| 2 = c 2 t ′2 − | −→ r ′ | 2<br />
(2.48)
22 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
Vi antager på samme måde som før en lineær sammenhæng af <strong>for</strong>men<br />
−→ r ′ = K −→ r + L t v (2.49)<br />
t ′ = M t + N | −→ r| (2.50)<br />
Origo O ′ er i S ′ beskrevet ved r ′ = o <strong>og</strong> altså <strong>og</strong>så −→ r ′ = o, medens det i S er<br />
beskrevet ved r = −→ r = t v. Dette indsat i ligning (2.49) medfører L = −K,<br />
således at ligning (2.49) omskrives til<br />
−→ r ′ = K ( −→ r − t v) (2.51)<br />
Ligningerne (2.50) <strong>og</strong> (2.51) benyttes i ligning (2.48), som med v = |v| bliver<br />
c 2 t 2 − | −→ r| 2 = c 2 (M t + N | −→ r|) 2 − K 2 ( −→ r − t v) 2<br />
Heraf fås ligningssættet<br />
= (c 2 M 2 − K 2 v 2 ) t 2 + 2 (c 2 M N + v K 2 ) t | −→ r| − (c 2 N 2 − K 2 ) | −→ r| 2<br />
(2.52)<br />
K 2 − c 2 N 2 = 1 (2.53)<br />
K 2 v + c 2 M N = 0 (2.54)<br />
c 2 M 2 − K 2 v 2 = c 2<br />
(2.55)<br />
som har samme løsning, som vi tidligere fandt ved ligningerne (2.21) - (2.24).<br />
Dermed har vi fundet den ønskede trans<strong>for</strong>mation <strong>for</strong> −→ r <strong>og</strong> t. For −→ r gælder<br />
altså<br />
−→ −→<br />
′<br />
r − t v<br />
r = <br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(2.56)<br />
Trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> hele den rumlige del, r = −→ r⊥ + −→ r , af en begivenhed<br />
kan der<strong>for</strong> vha. ligningerne (2.46) <strong>og</strong> (2.56) skrives sammen til<br />
r ′ <br />
= r +<br />
1<br />
<br />
1 − <br />
− 1<br />
v 2<br />
c<br />
r · v t v<br />
v − <br />
v2 1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(2.57)<br />
Trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> tidsdelen af begivenheden bliver med de fundne værdier<br />
<strong>for</strong> M <strong>og</strong> N indsat i ligning (2.50)<br />
t ′ =<br />
r·v t − c2 <br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
(2.58)
2.6 Den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation 23<br />
Dermed har vi fundet den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation i alle de tilfælde,<br />
hvor der ikke indgår en rotation af de rumlige koordinatakser i <strong>for</strong>hold til<br />
hinanden.<br />
Den omvendte trans<strong>for</strong>mation fås af ovenstående ved at udskifte v med −v<br />
r = r ′ <br />
1<br />
+ <br />
1 − <br />
r<br />
− 1<br />
v 2<br />
c<br />
′ · v t<br />
v +<br />
v2 ′ v<br />
<br />
1 − (2.59)<br />
v 2<br />
c<br />
t = t′ + r ′ ·v<br />
c2 <br />
2 1 − v<br />
c<br />
(2.60)
24 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen
Kapitel 3<br />
Kinematiske konsekvenser af<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
Dette kapitel vil med udgangspunkt i den fundne Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
udlede en række kinematiske konsekvenser af denne trans<strong>for</strong>mation.<br />
3.1 Invarians<br />
I relativitetsteorien spiller begrebet invarians en meget vigtig rolle. Einstein<br />
kaldte oprindelig sin teori "Invarianztheorie" 1 . Invarians her i betydningen<br />
u<strong>for</strong>anderlig. Men relativitetsnavnet vandt som bekendt, både blandt fysikere<br />
<strong>og</strong> i offentligheden. I begyndelsen af 1900-tallet blev relativitetsteorien af caffelattesegmentet<br />
misbrugt til at hævde, at hvad som helst inden<strong>for</strong> psykol<strong>og</strong>i,<br />
sociol<strong>og</strong>i, litteratur, kunst osv. var relativt. Ateister <strong>og</strong> troende kunne<br />
ligeledes hver <strong>for</strong> sig finde argumenter <strong>for</strong>, at netop deres livsanskuelse kunne<br />
begrundes med relativitetsteorien <strong>og</strong> dens resultater. Dette på trods af at<br />
det, der karakteriserer teorien, netop er, at de fysiske love har samme <strong>for</strong>m,<br />
dvs. er invariante, i alle inertialsystemer. Der er altså intet relativt ved relativitetsteorien.<br />
Selvfølgelig er der <strong>for</strong>skel på, om vi beskriver feks. en konkret<br />
bevægelse i et inertialsystem eller i et andet. Koordinatsættene til en partikels<br />
sted afhænger naturligvis af inertialsystemet. Men det er en triviel <strong>for</strong>skel på<br />
linje med, at vi kan angive placeringen af toppen af Rundetårn ved dens afstand<br />
fra Købmagergadeniveau, havniveau eller toppen af Rådhustårnniveau.<br />
Fra matematik kender vi <strong>og</strong>så, at størrelser kan være invariante. Feks. vil<br />
længden af en vektor ved rotation, parallel<strong>for</strong>skydning eller reflektion af koordinatsystemet<br />
være invariant. Fra klassisk fysik ved vi <strong>og</strong>så, at under en<br />
1 Ordet "Relativtheorie" dukker op i et brev fra Max Planck til Einstein i 1906. Einstein<br />
kaldte i 1907 teorien <strong>for</strong> "Relativitätstheorie" i et brev til Paul Ehrenfest.<br />
25
26 Kinematiske konsekvenser<br />
Galileitrans<strong>for</strong>mation er feks. masse, elektrisk ladning, acceleration <strong>og</strong> resulterende<br />
kraft invariante størrelser. I relativitetsteorien vil vi <strong>og</strong>så finde, at<br />
visse størrelser er invariante, men ikke nødvendigvis de samme størrelser, som<br />
er invariante i den klassiske fysik. Men hovedbudskabet i relativitetsteorien<br />
er, at de grundlæggende fysiske love er de samme i alle inertialsystemer, <strong>og</strong><br />
at <strong>for</strong>bindelsen mellem fysiske størrelser i de to inertialsystemer er fastlagt<br />
ved Lorentztrans<strong>for</strong>mationen.<br />
Det følger direkte af Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, ligningerne (2.25) til (2.28),<br />
at<br />
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2<br />
(3.1)<br />
Dvs. <strong>for</strong> enhver begivenhed, hvad enten den angives i inertialsystemet S som<br />
(t, x, y, z) eller i inertialsystemet S ′ som (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ), er størrelsen s 2 givet<br />
ved<br />
s 2 = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2<br />
(3.2)<br />
eller den tilsvarende størrelse s ′2 udregnet i S ′ altid ens. Vi siger, at s 2 er<br />
Lorentzinvariant. (Da vi udledte Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, benyttede vi en<br />
specialudgave af dette, nemlig tilfældet s 2 = s ′2 = 0).<br />
Det eneste, vi har benyttet <strong>for</strong> at vise dette, er, at talsættet (t, x, y, z) trans<strong>for</strong>merer<br />
ved en Lorentztrans<strong>for</strong>mation. For ethvert talsæt (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ),<br />
der trans<strong>for</strong>merer på samme måde som talsættet (t, x, y, z), vil da ligeledes<br />
størrelsen 2 A 2 = c 2 A 0 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 være Lorentzinvariant.<br />
For den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation gælder <strong>og</strong>så, at størrelsen s 2 =<br />
c 2 t 2 − |r| 2 er invariant. Dette ses på samme måde som tidligere ved direkte<br />
udregning af s ′2 = c 2 t ′2 − |r ′ | 2 under anvendelse af ligningerne (2.57) <strong>og</strong><br />
(2.58). Denne udregning giver s ′2 = s 2 .<br />
For to begivenheder (t1, x1, y1, z1) <strong>og</strong> (t2, x2, y2, z2) kan vi danne talsættet<br />
∆s = (t2 − t1, x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) = (∆ t, ∆ x, ∆ y, ∆ z). Da Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
er lineær, vil ∆s trans<strong>for</strong>mere fra S til S ′ på samme måde,<br />
2 Bemærk at A 0 -komponenten ganges med c. Dette er <strong>og</strong>så nødvendigt af dimensions-<br />
grunde.
3.1 Invarians 27<br />
som (t, x, y, z) gør. Dvs. der gælder<br />
∆ t ′ v ∆ t − c = 2 ∆ x<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(3.3)<br />
∆ x ′ ∆ x − v ∆ t<br />
= <br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(3.4)<br />
∆ y ′ = ∆ y (3.5)<br />
∆ z ′ = ∆ z (3.6)<br />
Der<strong>for</strong> er <strong>og</strong>så (∆ s) 2 = c2 (t2 − t1) 2 − (x2 − x1) 2 − (y2 − y1) 2 − (z2 − z1) 2 =<br />
c2 (∆ t) 2 − (∆ x) 2 − (∆ y) 2 − (∆ z) 2 Lorentzinvariant.<br />
I stedet <strong>for</strong> at skrive (∆s) 2 , som er det matematisk korrekte, er der i relativitetsteorien<br />
tradition <strong>for</strong> at skrive dette som ∆s2 , selv om dette jo egentlig<br />
betyder ændringen i s2 . Tilsvarende gøres <strong>for</strong> (∆ x) 2 = ∆ x2 osv. Altså skrives<br />
∆ s2 = c2 ∆ t2 − ∆ x2 − ∆ y2 − ∆ z2 . Der er tre muligheder <strong>for</strong> <strong>for</strong>tegnet af<br />
∆s2 som gives hvert sit navn<br />
∆s 2<br />
⎧<br />
⎪⎨ < 0 ∆s siges at være rumagtig<br />
= 0 ∆s siges at være lysagtig<br />
(3.7)<br />
⎪⎩<br />
> 0 ∆s siges at være tidsagtig<br />
Det vil altid være muligt ved en passende trans<strong>for</strong>mation af det sædvanlige<br />
koordinatsystem i rummet at opnå, at <strong>for</strong>men på ∆ s er ∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0),<br />
således at ∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 .<br />
Lad os som eksempel på anvendelsen af invariansen af ∆ s 2 se på to begivenheder,<br />
der er samtidige i inertialsystemet S, <strong>og</strong> som finder sted på to<br />
<strong>for</strong>skellige steder. Lad os antage at ∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0). Der gælder altså<br />
∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 = ∆ x 2<br />
(3.8)<br />
(Vi ser bort fra ∆ y <strong>og</strong> ∆ z-bidragene, da vi har sørget <strong>for</strong>, at disse er 0 i<br />
systemerne S <strong>og</strong> S ′ ). Man kan nu spørge om, om det er muligt, at de to<br />
begivenheder <strong>og</strong>så er samtidige i systemet S ′ . Da ∆ s ′2 = c 2 ∆ t ′2 − ∆ x ′2 <strong>og</strong><br />
pga. invariansen, vil i så fald gælde <strong>for</strong> ∆ t ′ = 0<br />
∆ s 2 = ∆ s ′2 ⇔ ∆ x 2 = ∆ x ′2<br />
(3.9)<br />
Dette er kun muligt (se Lorentztrans<strong>for</strong>mationen ligning (2.25)) hvis S ′ ’s<br />
hastighed i <strong>for</strong>hold til S er nul. Altså er de to begivenheder ikke samtidige<br />
i S ′ , hvis S ′ har en fra nul <strong>for</strong>skellig hastighed i <strong>for</strong>hold til S. Samtidighed i
28 Kinematiske konsekvenser<br />
relativitetsteorien er altså ikke en absolut egenskab <strong>for</strong> to begivenheder men<br />
giver kun mening, hvis det præcisseres <strong>for</strong> hvilket inertialsystem, samtidigheden<br />
gælder.<br />
Vi vil nu se på de tre muligheder <strong>for</strong> <strong>for</strong>tegnet af ∆ s 2 <strong>for</strong> at undersøge,<br />
om det er muligt at finde en Lorentztrans<strong>for</strong>mation, så de to begivenheder er<br />
samtidige i et særligt inertialsystem, eller om det er muligt, at de to begivenheder<br />
finder sted i samme punkt i et inertialsystem. For de to begivenheder<br />
dannes ∆ s = (∆ t, ∆ x, ∆ y, ∆ z). Vi vil <strong>og</strong>så her antage, at ∆ s er af <strong>for</strong>men<br />
∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0), således at ∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 .<br />
∆ s tidsagtig. Vi ønsker at finde, hvilken hastighed v et inertialsystem S ′<br />
skal bevæge sig med i <strong>for</strong>hold til S, så de to begivenheder finder sted i samme<br />
punkt i S ′ . Da ∆ s er tidsagtig gælder<br />
<br />
∆<br />
x<br />
<br />
<br />
c > (3.10)<br />
∆ t<br />
eller<br />
1<br />
c <<br />
<br />
∆ t<br />
<br />
<br />
(3.11)<br />
∆ x<br />
Hvis de to begivenheder finder sted i samme punkt i S ′ er ∆ x ′ = 0, hvilket<br />
∆ x<br />
medfører (benyt ligning (3.4)) v = . Denne hastighed opfylder betingelsen<br />
∆ t<br />
|v| < c på grund af uligheden (3.10). Dermed har vi vist, at det er muligt at<br />
trans<strong>for</strong>mere til et inertialsystem, hvor begivenhederne finder sted i samme<br />
punkt.<br />
Vi kunne <strong>og</strong>så spørge, om det er muligt at opnå samtidighed i et nyt inertalsystem.<br />
Her skulle altså gælde ∆ t ′ = 0. Men så ville ∆ s2 jo blive negativ i<br />
modstrid med <strong>for</strong>udsætningen. Rent algebraisk medfører ∆ t ′ = 0 under brug<br />
2 ∆ t<br />
af ligning (3.3), at v = c . På grund af uligheden (3.11) får vi her |v| > c.<br />
∆ x<br />
Dvs. det er ikke muligt at opnå samtidighed.<br />
<br />
∆ x<br />
∆ s lysagtig. Her gælder c = ∆ t . Her vil kravet ∆ t ′ = 0 medføre |v| = c,<br />
<strong>og</strong> kravet ∆ x ′ = 0 vil ligeledes medføre |v| = c. Det er altså ikke muligt<br />
at finde en Lorentztrans<strong>for</strong>mation, så begivenhederne finder sted til samme<br />
tidspunkt, <strong>og</strong> det er ligeledes umuligt at finde en Lorentztrans<strong>for</strong>mation, så<br />
begivenhederne finder sted i samme punkt i rummet.<br />
∆ s rumagtig. Da ∆ s er rumagtig gælder<br />
<br />
∆<br />
x<br />
<br />
<br />
c < <br />
∆ t<br />
(3.12)
3.1 Invarians 29<br />
eller<br />
1<br />
c ><br />
<br />
∆ t<br />
<br />
<br />
<br />
∆ x<br />
(3.13)<br />
Ved samme overvejelser som oven<strong>for</strong> vil kravet om samtighed, ∆ t ′ = 0,<br />
2 ∆ t<br />
medføre v = c . Med brug af uligheden (3.13) slutter vi |v| < c. Dermed<br />
∆ x<br />
er det vist, at vi kan finde et inertialsystem, så de to begivenheder er samtidige<br />
i dette system.<br />
Dernæst undersøger vi, om det er muligt at have ∆ x ′ = 0. Men så ville ∆ s2 blive positiv i modstrid med <strong>for</strong>udsætningen. Igen kan vi rent algebraisk se,<br />
∆ x<br />
at ligning (3.4) medfører v = . Med brug af uligheden (3.12) ses her at<br />
∆ t<br />
gælde |v| > c. Det er altså ikke muligt ved en Lorentztrans<strong>for</strong>mation at opnå,<br />
at begivenhederne finder sted i samme punkt.<br />
Kausalitet. Som et andet eksempel på anvendelse af invariansen vil vi se<br />
på begrebet kausalitet. Da lysets fart er den størst mulige fart, kan intet<br />
signal udbrede sig med en fart større end lysets fart. For to begivenheder,<br />
der i inertialsystemet S bestemmer et rumagtigt ∆ s, kan der ikke være en<br />
kausal sammenhæng. Altså den ene begivenhed kan ikke som årsag have den<br />
anden begivenhed. Dette gælder <strong>og</strong>så i ethvert andet inertialsystem, da ∆ s 2<br />
er Lorentzinvariant. Det er altså ikke muligt at finde en eller anden skør<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mation, hvor den ene begivenhed kunne være en følge af den<br />
anden.<br />
Begivenheders tidsrækkefølge. Vi ser på to begivenheder A <strong>og</strong> B med<br />
tid <strong>og</strong> sted givet ved sættene (t1 , x1) <strong>og</strong> (t2 , x2), hvor begivenhed A <strong>for</strong>ekommer<br />
før begivenhed B, dvs. t1 < t2. (Igen har vi sørget <strong>for</strong>, at y1 = y2 = z1 =<br />
z2 = 0 ved passende valg af det rumlige koordinatsystem). Vi spørger nu om,<br />
hvad betingelsen er <strong>for</strong>, at der er samme tidsrækkefølge af begivenhederne<br />
A <strong>og</strong> B <strong>og</strong>så i alle andre inertialsystemer. Tiderne t1 <strong>og</strong> t2 trans<strong>for</strong>meres til<br />
systemet S ′ ved en Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
t ′ 1 = t1 − v<br />
c2 x1<br />
<br />
2 1 − v<br />
c<br />
t ′ 2 = t2 − v<br />
c2 x2<br />
<br />
2 1 − v<br />
c<br />
(3.14)<br />
(3.15)<br />
Kravet, vi stiller, er t ′ 2 > t ′ 1, som vi ved et lille regnestykke under brug af<br />
ligningerne (3.14) <strong>og</strong> (3.15) om<strong>for</strong>mer til uligheden<br />
c 2<br />
v > x2 − x1<br />
t2 − t1<br />
(3.16)
30 Kinematiske konsekvenser<br />
Da v < c vil uligheden (3.16) være opfyldt <strong>for</strong> alle v, hvis<br />
c > x2 − x1<br />
t2 − t1<br />
(3.17)<br />
Dvs. hvis ∆ s er tidsagtig, er tidsrækkefølgen af de to begivenheder den<br />
samme i alle inertialsystemer. Med et tidsagtigt ∆ s er det muligt, at der<br />
er en kausal sammenhæng mellem begivenhederne A <strong>og</strong> B.<br />
Hvis der skal byttes om på tidsrækkefølgen af begivenhederne A <strong>og</strong> B i<br />
systemet S ′ , får vi ved en lignende regning som oven<strong>for</strong>, at der skal gælde<br />
c (t2 − t1) < v<br />
c (x2 − x1) (3.18)<br />
Dette vil være muligt at opnå <strong>for</strong> ∆ s rumagtig. Men så vil der ikke være<br />
en kausal sammenhæng mellem begivenhederne A <strong>og</strong> B, da intet signal kan<br />
nå fra begivenhed A ’s sted til begivenhed B’s sted på den tid, der er til<br />
rådighed.<br />
3.2 Retning af lysstråle<br />
Som en simpel direkte anvendelse af Lorentztrans<strong>for</strong>mationen vil vi se på,<br />
hvorledes retningen af en lysstråle kan angives i to <strong>for</strong>skellige inertialsystemer<br />
samt finde sammenhængen mellem disse to retninger. I inertialsystemet S ′<br />
udsendes lys fra origo til tiden t ′ = t = 0.<br />
y<br />
S<br />
x<br />
Figur 3.1: Retning af lysstråle set fra henholdsvis inertialsystemet S <strong>og</strong> fra<br />
inertialsystemet S ′ .<br />
Lysstrålens retning med x ′ -aksen er α ′ . Se Fig. (3.1). Der gælder da<br />
y ′<br />
cos(α ′ ) = x′<br />
c t ′<br />
S ′<br />
v<br />
α ′<br />
x ′<br />
(3.19)
3.3 Hastighedstrans<strong>for</strong>mation 31<br />
hvor x ′ er førstekoordinaten til det punkt, hvortil lystrålen er kommet til<br />
tiden t ′ . Den tilbagelagte vej af lyset er jo c t ′ , som netop er længden af<br />
hypotenusen i den antydede trekant. Ved brug af Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
kan x ′ <strong>og</strong> t ′ udtrykkes ved x <strong>og</strong> t i inertialsystemet S <strong>og</strong> vi får<br />
cos(α ′ ) =<br />
c<br />
x−v t<br />
2 v<br />
1− c<br />
t− v<br />
c2 x<br />
<br />
1−<br />
2 v<br />
c<br />
=<br />
x<br />
c t<br />
v − c<br />
x<br />
c t<br />
1 − v<br />
c<br />
(3.20)<br />
Da lyset jo <strong>og</strong>så bevæger sig retlinet set fra inertialsystemet S, kan vi på<br />
samme måde, som vi gjorde i systemet S ′ , angive retningen af lysstrålen ved<br />
den vinkel α, lysstrålen danner med x-aksen, men nu angivet i systemet S<br />
ved<br />
cos(α) = x<br />
c t<br />
Derved kan ligning (3.20) omskrives til<br />
cos(α ′ ) =<br />
cos(α) − v<br />
c<br />
1 − v<br />
c cos(α)<br />
(3.21)<br />
(3.22)<br />
som er den ønskede sammenhæng mellem α <strong>og</strong> α ′ .<br />
Ligning (3.22) kan under anvendelse af den trigonometriske relation tan( 1 x) =<br />
1−cos(x)<br />
1+cos(x)<br />
omskrives til<br />
tan( 1<br />
2 α′ ) = tan( 1<br />
2 α)<br />
<br />
1 + v<br />
c<br />
1 − v<br />
c<br />
3.3 Hastighedstrans<strong>for</strong>mation<br />
2<br />
(3.23)<br />
I inertialsystemet S befinder en partikel sig til tiden t1 på stedet A(x1, y1, z1).<br />
Til tiden t2 befinder den sig på stedet B(x2, y2, z2). Partiklens hastighed u i<br />
S er bestemt ved (sædvanlig grænseovergang ∆t → 0 under<strong>for</strong>stået)<br />
ux = x2 − x1<br />
t2 − t1<br />
uy = y2 − y1<br />
t2 − t1<br />
uz = z2 − z1<br />
t2 − t1<br />
= ∆x<br />
∆t<br />
= ∆y<br />
∆t<br />
= ∆z<br />
∆t<br />
(3.24)<br />
(3.25)<br />
(3.26)
32 Kinematiske konsekvenser<br />
Da Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, som vi tidligere har udnyttet (se side 26), er<br />
lineær, gælder, at ∆t, ∆x, ∆y, ∆z trans<strong>for</strong>merer som t, x, y, z <strong>og</strong> der<strong>for</strong> er<br />
∆x ′ =<br />
∆t ′ =<br />
∆x − v ∆t<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
(3.27)<br />
∆y ′ = ∆y (3.28)<br />
∆z ′ = ∆z (3.29)<br />
∆t − v<br />
c 2 ∆x<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(3.30)<br />
For hastigheden af partiklen målt i inertialsystemet S ′ får vi da vha. ligningerne<br />
(3.27) - (3.30)<br />
u ′ y = ∆y′<br />
=<br />
∆t ′<br />
u ′ x = ∆x′<br />
∆t<br />
∆x − v ∆t<br />
= ′ ∆t − v<br />
c2 ∆x =<br />
∆y<br />
∆t − v<br />
c2 <br />
1 − (<br />
∆x<br />
v<br />
∆x<br />
∆t<br />
1 − v<br />
c 2<br />
− v<br />
∆x<br />
∆t<br />
c )2 = uy<br />
v ux 1 − c2 = ux − v<br />
v ux 1 − c2 (3.31)<br />
<br />
1 − ( v<br />
c )2 (3.32)<br />
Trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> hastigheden i z-retningen findes anal<strong>og</strong>t. Slutresultatet<br />
<strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mationen fra S til S ′ kan der<strong>for</strong> opskrives som<br />
u ′ x = ux − v<br />
v ux 1 − c2 u ′ y = uy<br />
v ux 1 − c2 u ′ z = uz<br />
v ux 1 − c2 <br />
1 − ( v<br />
(3.33)<br />
c )2 (3.34)<br />
<br />
1 − ( v<br />
c )2 (3.35)<br />
Trans<strong>for</strong>mationen fra S ′ til S fås ved i ligningerne (3.33) til (3.35) at udskifte<br />
v med −v<br />
ux = u′ x + v<br />
1 + v u′ x<br />
c 2<br />
uy = u′ y<br />
1 + v u′ x<br />
c 2<br />
uz = u′ z<br />
1 + v u′ x<br />
c 2<br />
<br />
1 − ( v<br />
(3.36)<br />
c )2 (3.37)<br />
<br />
1 − ( v<br />
c )2 (3.38)<br />
Bemærk at ligningerne <strong>for</strong> hastighedstrans<strong>for</strong>mationen ikke umiddelbart ligner<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> tid <strong>og</strong> sted.
3.3 Hastighedstrans<strong>for</strong>mation 33<br />
For |v| ≪ c <strong>og</strong> med den viden at |u ′ | ≤ c ses, at ligningerne (3.36) til (3.38)<br />
som ventet har Galileitrans<strong>for</strong>mationens resultat ligning (1.3) som grænsetilfælde.<br />
c er størst. Lad inertialsystemet S ′ have hastigheden v = α c, 0 < α < 1<br />
i <strong>for</strong>hold til S <strong>og</strong> lad en partikel have hastigheden u ′ x = β c, 0 < β < 1 samt<br />
u ′ y = u ′ z = 0 i <strong>for</strong>hold til inertialsystemet S ′ . Partiklens hastighed i S findes<br />
af ligning (3.36)<br />
ux =<br />
Da 0 < 1 − α <strong>og</strong> 0 < 1 − β gælder<br />
0 < (1 − α) (1 − β) ⇔ α + β < 1 + α β ⇔<br />
α + β<br />
c (3.39)<br />
1 + α β<br />
α + β<br />
1 + α β<br />
< 1 (3.40)<br />
Ligning (3.40) anvendt på ligning (3.39) viser, at ux < c, lige meget hvor tæt<br />
α <strong>og</strong> β er på 1. Galileitrans<strong>for</strong>mationen ville have medført ux = (α + β) c,<br />
som så kunne være blevet større end lysets fart i modstrid med erfaringen,<br />
som til fulde støtter Lorentztrans<strong>for</strong>mationens konsekvenser.<br />
Samtidighed. I ikke-relativistisk fysik, hvor det er Galileitrans<strong>for</strong>mationen,<br />
der skal benyttes ved overgang fra et inertialsystem til et andet, vil to<br />
begivenheder, der er samtidige i et inertialsystem, <strong>og</strong>så være samtidige i alle<br />
andre inertialsystemer, da tiden i alle inertialsystemer er den samme. Som vi<br />
tidligere har set i afsnit (3.1), er samtidighed i relativitetsteorien et relativt<br />
begreb. Dette følger <strong>og</strong>så direkte af ligning (3.30). Lad de to begivenheder<br />
være samtidige i inertialsystemet S. Der gælder altså ∆t = 0, men <strong>for</strong> at<br />
<strong>og</strong>så ∆t ′ = 0, skal <strong>og</strong>så ∆x = 0 (eller v = 0). Dvs. de kan ikke <strong>og</strong>så være<br />
samtidige i inertialsystemt S ′ , medmindre de to begivenheder finder sted i<br />
samme punkt.
34 Kinematiske konsekvenser<br />
3.3.1 Den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
Hvis S ′ bevæger sig med konstant hastighed v efter y-aksen fås af ligningerne<br />
(2.41) til (2.44)<br />
u ′ x = ux<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
ux =<br />
1 − u′ <br />
x 1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(3.41)<br />
u ′ y = uy − v<br />
uy v<br />
1 − c2 u ′ z = uz<br />
uy v<br />
c 2<br />
<br />
1 − v<br />
1 −<br />
uy v<br />
c 2<br />
c<br />
2<br />
1 + u′ y v<br />
c2 uy = u′ y + v<br />
uz = u′ z<br />
1 + u′ y v<br />
c2 <br />
1 − v<br />
c<br />
1 + u′ y v<br />
c 2<br />
2<br />
(3.42)<br />
(3.43)<br />
Hastighedstrans<strong>for</strong>mationen i det generelle tilfælde findes ved at se på ændringer<br />
i tid <strong>og</strong> sted i de to inertialsystemer på samme måde som før. Af<br />
ligningerne (2.57) <strong>og</strong> (2.58) fås<br />
−−→<br />
∆ r ′ = −→<br />
∆ r +<br />
<br />
1<br />
<br />
1 − −→<br />
∆ r · v<br />
− 1<br />
v 2 v<br />
c<br />
2 ∆ t v<br />
v − <br />
1 − v<br />
c<br />
∆ t ′ =<br />
∆ t − −→<br />
∆ r·v<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
c2 2 2<br />
(3.44)<br />
(3.45)<br />
Ved division af henholdsvis venstre <strong>og</strong> højre side af ligning (3.44) med de<br />
tilsvarende sider af ligning (3.45) finder vi med under<strong>for</strong>stået grænseovergang<br />
<strong>for</strong> ændringer i tiderne gående mod nul den ønskede sammenhæng mellem<br />
hastighederne i de to systemer<br />
u ′ <br />
u 1 −<br />
=<br />
<br />
v 2<br />
+ c<br />
<br />
1 −<br />
1 − u·v<br />
c 2<br />
1 − v<br />
c<br />
<br />
2 u·v<br />
v2 <br />
− 1 v<br />
(3.46)<br />
Den omvendte trans<strong>for</strong>mation fås ved i ovenstående at skifte v ud med −v<br />
u<br />
u =<br />
′<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
+ 1 − 1 − c<br />
<br />
v 2 u ′ ·v<br />
c v2 <br />
+ 1 v<br />
(3.47)<br />
1 + u ′ ·v<br />
c 2<br />
Ved at vælge v = (v, 0, 0) i ligning (3.46) genfindes ligningerne (3.33) -<br />
(3.35), <strong>og</strong> ved at vælge v = (0, v, 0) får vi ligningerne (3.41) - (3.43).
3.4 Acceleration 35<br />
3.4 Acceleration<br />
Vi vil i dette afsnit finde trans<strong>for</strong>mationsreglen <strong>for</strong> acceleration. En partikel<br />
d u<br />
har i inertialsystemet S hastigheden u <strong>og</strong> accelerationen a = . Ved at<br />
d t<br />
udtrykke u ved v <strong>og</strong> u ′ (se ligningerne (3.36) til (3.38)) samt ved at benytte<br />
(se ligning (3.30))<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(3.48)<br />
d t ′<br />
d t =<br />
1 + u′ x v<br />
c 2<br />
finder vi sammenhængen mellem acceleration a ′ = d u ′<br />
d t ′ i inertialsystemet S ′<br />
<strong>og</strong> accelerationen a i inertialsystemet S<br />
som efter n<strong>og</strong>en regning giver<br />
ax =<br />
ay = −<br />
az = −<br />
a =<br />
d u<br />
d t<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
1 + u′ x v<br />
c2 3 a ′ x<br />
v 1 − ( c )2<br />
(1 + u′ x v<br />
c2 ) 3<br />
v 1 − ( c )2<br />
(1 + u′ x v<br />
c2 ) 3<br />
= d u<br />
d t ′<br />
v u ′ y<br />
c 2 a′ x +<br />
v u ′ z<br />
c 2 a′ x +<br />
d t ′<br />
d t<br />
(3.49)<br />
(3.50)<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(1 + u′ x v<br />
c 2 ) 2 a′ y (3.51)<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(1 + u′ x v<br />
c 2 ) 2 a′ z (3.52)<br />
Accelerationen er altså langt fra at være invariant under en Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
i modsætning til accelerationens invarians under en Galileitrans<strong>for</strong>mation.<br />
Desuden ses, at accelerationens trans<strong>for</strong>mationsegenskab ser n<strong>og</strong>et<br />
"kedelig" ud. Den har på ingen måde samme <strong>for</strong>m som den pæne Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
af tid <strong>og</strong> sted.<br />
3.4.1 Acceleration i én dimension<br />
Lad os nu se på en partikel, der bevæger sig langs x-aksen, altså et endimensionalt<br />
problem. I inertialsystemet S er dens øjeblikkelige hastighed u,<br />
<strong>og</strong> dens øjeblikkelige acceleration er a. Vi kan ved at benytte ligning (3.50)<br />
angive sammenhængen mellem accelerationen a i inertialsystemet S <strong>og</strong> ac-
36 Kinematiske konsekvenser<br />
celerationen a ′ i inertialsystemet S ′<br />
a =<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
1 + u′ v<br />
c2 2 3 Den omvendte trans<strong>for</strong>mation fra S ′ til S er<br />
a ′ <br />
=<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
1 −<br />
u v<br />
c 2<br />
3<br />
a ′<br />
a ′<br />
(3.53)<br />
(3.54)<br />
Vi vil nu undersøge, om der findes et inertialsystem S ′ , således at <strong>for</strong> given<br />
hastighed u <strong>og</strong> given acceleration a i S har accelerationen a ′ den størst mulige<br />
værdi. Der skal altså <strong>for</strong>etages en sædvanlig maksimumsundersøgelse af den<br />
kantede parentes i ligning (3.54). Da<br />
d<br />
d v<br />
<br />
1 − v<br />
1 −<br />
c<br />
u v<br />
c2 2<br />
=<br />
c2 <br />
1 − v<br />
c<br />
u − v<br />
2 1 − u v<br />
c 2<br />
2<br />
(3.55)<br />
ses, at den kantede parentes i ligning (3.54) har maksimum <strong>for</strong> v = u. I det<br />
således fundne system er partiklens hastighed u ′ = 0. Dvs. det inertialsystem,<br />
i hvilket partiklen har sin maksimale acceleration, er partiklens øjeblikkelige<br />
hvilesystem.<br />
Den maksimale værdi <strong>for</strong> partiklens acceleration i dens øjeblikkelige hvilesystem<br />
er med v = u indsat i ligning (3.54)<br />
3.5 Bevægelsesretning<br />
a ′ = 1 − 3<br />
u 2− 2 a (3.56)<br />
c<br />
En partikel, der bevæger sig retlinet med konstant hastighed i et inertialsystem,<br />
vil <strong>og</strong>så bevæge sig på en ret linje med konstant hastighed i et andet<br />
inertialsystem. Lad partiklen bevæge sig i x ′ y ′ /xy-planen. Den vinkel α ′ ,<br />
som en iagttager i inertialsystemet S ′ angiver som den, den pågældende linje<br />
danner med x ′ -aksen, vil være en anden end den vinkel α, en iagttager i<br />
inertialsystemet S angiver som linjens vinkel med x-aksen. Da retningen af<br />
bevægelsen fastlægges af hastigheden, kan vi ved hjælp af hastighedstrans<strong>for</strong>mationen<br />
finde sammenhængen mellem de to vinkler. Under anvendelse af
3.6 Lorentz<strong>for</strong>kortningen 37<br />
ligningerne (3.33) <strong>og</strong> (3.34) fås<br />
tan(α ′ ) = u′ y<br />
u ′ x<br />
=<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
ux − v<br />
2 uy<br />
(3.57)<br />
hvor u ′ x, u ′ y, ux <strong>og</strong> uy angiver hastighedskomponenterne <strong>for</strong> partiklen i henholdsvis<br />
S ′ <strong>og</strong> S. Da ux = u cos(α) <strong>og</strong> uy = sin(α), hvor u er partiklens fart<br />
i S, kan ligning (3.57) skrives<br />
tan(α ′ <br />
1 −<br />
) =<br />
<br />
v 2<br />
u sin(α)<br />
c<br />
(3.58)<br />
u cos(α) − v<br />
Ved at anvende den trigonometriske relation cos(α ′ ) =<br />
finde ligning (3.22) ved at lade u → c i ligning (3.58).<br />
3.6 Lorentz<strong>for</strong>kortningen<br />
√ 1 vil vi gen-<br />
1+tan2 (α ′ )<br />
At måle længden af en stang i et inertialsystem vil sige, at til samme tidspunkt<br />
i det pågældende inertialsystem iagttages rumkoordinaterne <strong>for</strong> stangens<br />
endepunkter A <strong>og</strong> B. Den geometriske afstand mellem disse to punkter<br />
er stangens længde. Stangen lægges langs med x, x ′ -aksen, <strong>og</strong> stangen er i<br />
hvile i systemet S ′ . Til tiden t i system S er stedkoordinaterne til A <strong>og</strong> B i<br />
S henholdsvis xA <strong>og</strong> xB. I systemet S ′ er de tilhørende x ′ er<br />
x ′ A = xA − v t<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
x ′ B = xB − v t<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
(3.59)<br />
(3.60)<br />
Stangens længde i S er l = xB − xA. Stangens længde i S ′ er lo = x ′ B − x′ A<br />
da endepunkterne A <strong>og</strong> B i S ′ jo til alle tider har samme x ′ -koordinater. Ved<br />
brug af ligningerne (3.59) <strong>og</strong> (3.60) fås da sammenhængen mellem l <strong>og</strong> lo som<br />
benævnes Lorentz<strong>for</strong>kortningen<br />
<br />
2 v<br />
l = lo 1 −<br />
(3.61)<br />
c<br />
da der gælder l ≦ lo.<br />
Forkortningen af et legeme i bevægelsesretningen var før Einstein blevet<br />
benyttet af H.A. Lorentz <strong>og</strong> af G.F. FitzGerald til at "<strong>for</strong>klare" det negative<br />
resultat af Michelson-Morleys <strong>for</strong>søg på at vise jordens bevægelse gennem<br />
æteren.
38 Kinematiske konsekvenser<br />
3.7 Volumentrans<strong>for</strong>mation<br />
Voluminet af et vilkårligt fysisk legeme kan findes ved at dele det op i en masse<br />
små terninger <strong>og</strong> summere voluminerne af alle disse terninger. Vi kan <strong>og</strong>så<br />
orientere disse terninger, så de har akseparallelle kanter i legemets hvilesystem<br />
S ′ . Set fra et andet system S i <strong>for</strong>hold til hvilket S ′ bevæger sig på<br />
sædvanlig vis, vil terningernes længde i bevægelsesretningen være Lorentz<strong>for</strong>kortede,<br />
medens kantlængderne i de to andre retninger vil være ens i de to<br />
systemer. Dermed vil voluminet af en lille terning <strong>og</strong>så være "volumen<strong>for</strong>kortet",<br />
således at sammenhængen mellem legemets volumen Vo i hvilesystemet<br />
S ′ <strong>og</strong> dets volumen V i systemet S er<br />
<br />
V = Vo 1 − v<br />
c<br />
3.8 Vinkeltrans<strong>for</strong>mation<br />
2<br />
(3.62)<br />
Et stykke vinkeljern ligger i hvile i inertialsystemet S ′ . Vinklens toppunkt<br />
ligger i O ′ , højrebenet langs x ′ -aksen <strong>og</strong> venstrebenet ligger i x ′ y ′ -planen.<br />
Vinklen mellem de to ben målt i S ′ er θ ′ .<br />
y<br />
S<br />
x<br />
Figur 3.2: Vinkeltrans<strong>for</strong>mation <strong>for</strong> et stykke vinkeljern med vinklens<br />
højreben placeret langs x, x ′ -aksen.<br />
Lad der fra O ′ til A på x ′ -aksen være en længdeenhed langt målt i S ′ . Altså<br />
|O ′ A|S ′ = 1. Hvis vi fra A går tan(θ′ ) målt i S ′ i y ′ -aksens retning, kommer<br />
vi netop op til punktet B på vinklens venstre ben. Se Fig. (3.2). Afstanden<br />
|AB| er altså i S ′ tan(θ ′ ). Da afstande vinkelret på v er ens i S <strong>og</strong> S ′ , er<br />
afstanden |AB| <strong>og</strong>så i S tan(θ ′ ). Men afstanden |O ′ A| er i S Lorentz<strong>for</strong>kortet<br />
til |O ′ A|S ′<br />
<br />
v 1 − ( c )2 = 1 − ( v<br />
c )2 . Heraf finder vi, at iagttageren i S måler<br />
y ′<br />
O ′<br />
S ′<br />
v<br />
θ ′<br />
B<br />
A<br />
x ′
3.8 Vinkeltrans<strong>for</strong>mation 39<br />
vinklen til θ bestemt ved<br />
tan(θ) = |AB|S<br />
|O ′ A|S<br />
= |AB|S ′<br />
1 − ( v<br />
c )2 = tan(θ′ )<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
(3.63)<br />
Hvis den vinkel, vi ønsker at trans<strong>for</strong>mere, ikke har det ene ben liggende<br />
langs (eller parallel med) x, x ′ -aksen, kan vi dele den op i to vinkler, der hver<br />
<strong>for</strong> sig har det ene ben liggende langs x, x ′ -aksen. I S ′ er vinklen θ ′ altså delt<br />
op i θ ′ = θ ′ 1 + θ ′ 2. Se Fig. (3.3).<br />
y<br />
S<br />
x<br />
Figur 3.3: Vinkeltrans<strong>for</strong>mation <strong>for</strong> et stykke vinkeljern med vilkårlig placering<br />
af vinklens ben.<br />
Disse vinkler kan hver <strong>for</strong> sig trans<strong>for</strong>meres til S ved hjælp af ligning (3.63)<br />
y ′<br />
tan(θ1) = tan(θ′ 1)<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
tan(θ2) = tan(θ′ 2)<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
S ′<br />
v<br />
θ ′ 1<br />
θ ′ 2<br />
x ′<br />
(3.64)<br />
(3.65)<br />
1<br />
Ved at benytte den trigonometriske relation cos2 (θ) = 1 + tan2 (θ) omskrives<br />
ligning (3.64) til<br />
cos(θ1) = cos(θ′ 1) 1 − ( v<br />
c )2<br />
<br />
1 − cos2 ′ (θ 1) ( v<br />
c )2<br />
(3.66)<br />
Dette giver umiddelbart <strong>og</strong>så<br />
sin(θ1) =<br />
sin(θ ′ 1)<br />
1 − cos 2 (θ ′ 1) ( v<br />
c )2<br />
(3.67)<br />
Tilsvarende relationer findes <strong>for</strong> θ2, θ ′ 2. Vinklen der måles i S er θ = θ1 + θ2.<br />
Ved at anvende den trigonometriske relation cos(θ1 + θ2) = cos(θ1) cos(θ2) −
40 Kinematiske konsekvenser<br />
sin(θ1) sin(θ2) fås efter en række omskrivninger under benyttelse af ligningerne<br />
(3.66) <strong>og</strong> (3.67)<br />
cos(θ) =<br />
3.9 Tids<strong>for</strong>længelsen<br />
cos(θ ′ ) − cos(θ ′ 1) cos(θ ′ 2) ( v<br />
c )2<br />
1 − cos 2 (θ ′ 1) ( v<br />
c )2 1 − cos 2 (θ ′ 2) ( v<br />
c )2<br />
(3.68)<br />
I systemet S ′ sker en begivenhed i O ′ til tiden t ′ 1. Senere sker en anden<br />
begivenhed i O ′ til tiden t ′ 2. De tilsvarende tider i S er (benyt Loretztrans<strong>for</strong>mationen<br />
med x ′ = 0)<br />
t1 =<br />
t2 =<br />
t ′ 1 <br />
v 1 − ( c )2<br />
t ′ 2 <br />
v 1 − ( c )2<br />
(3.69)<br />
(3.70)<br />
Af ligningerne (3.69) <strong>og</strong> (3.70) får vi sammenhængen mellem de to tids<strong>for</strong>løb<br />
∆t = t2 − t1 <strong>og</strong> ∆t ′ = t ′ 2 − t ′ 1<br />
∆t =<br />
∆t ′<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(3.71)<br />
Det ses at ∆t ≧ ∆t ′ . Sammenhængen udtrykt i ligning (3.71) benævnes<br />
der<strong>for</strong> tids<strong>for</strong>længelsen. Tiden, der måles på et ur i en partikels hvilesystem,<br />
kaldes egentiden. Ligning (3.71) viser altså, at egentiden er mindre end tiden<br />
målt på ethvert andet ur.<br />
3.9.1 En alternativ udledning af tids<strong>for</strong>længelsen<br />
En hul stang bevæger sig med hastighed v i <strong>for</strong>hold til en stationær iagttager.<br />
Stangens længderetning er vinkelret på v. Se Fig. (3.4). Fra toppen A af<br />
stangen sendes et lysignal mod bunden af stangen B ′ . I stangens hvilesystem<br />
tager det tiden ∆t ′ at gennemløbe turen. For den stationære iagttager tager<br />
det tiden ∆t. I dette tidsrum har stangen bevæget sig x = v ∆t i <strong>for</strong>hold til<br />
den stationære iagttager. Da afstande vinkelrette på v har ens længde <strong>for</strong><br />
en iagttager, der følger med stangen, <strong>og</strong> <strong>for</strong> den stationære iagttager, kan vi<br />
benytte Pythagoras til at få sammenhængen<br />
(c ∆t ′ ) 2 = (c ∆t) 2 − (v ∆t) 2<br />
(3.72)
3.10 Aberration 41<br />
c ∆t ′<br />
A<br />
v<br />
c ∆t<br />
B ′ v ∆t B<br />
Figur 3.4: Udledning af <strong>for</strong>mlen <strong>for</strong> tids<strong>for</strong>længelse vha. udsendelse af lyssignal<br />
i bevæget stang.<br />
hvoraf fås<br />
∆t =<br />
∆t ′<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
som netop er udtrykket <strong>for</strong> tids<strong>for</strong>længelsen.<br />
3.10 Aberration<br />
3.10.1 Aberration - klassisk<br />
(3.73)<br />
En regnvejrsdag med silende lodret faldende regndråber, hvis hastighed er u<br />
i <strong>for</strong>hold til jorden, vil en cyklist, der cykler med hastighed v i <strong>for</strong>hold til<br />
jorden, opleve, at dråberne kommer skråt ind imod ham med hastighed u ′ i<br />
<strong>for</strong>hold til cyklisten. u ′ er givet ved Galileitrans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> hastighed<br />
u ′ = u − v (3.74)<br />
Regndråbernes hastighed danner set fra cyklisten vinklen α med lodret. α er<br />
bestemt ved<br />
tan(α) = v<br />
(3.75)<br />
u<br />
Se Fig. (3.5).<br />
Ved at måle α <strong>og</strong> med kendskab til farten v kan regndråbernes fart u altså<br />
bestemmes. Hvis cyklisten kører i en cirkel<strong>for</strong>met bane med konstant fart, vil<br />
cyklisten opleve at regndråberne hele tiden kommer fra <strong>for</strong>skellige retninger,<br />
men retningen vil hele tiden danne samme vinkel α med lodret som i ligning<br />
(3.75).<br />
Samme betragtning som oven<strong>for</strong> blev omkring 1725 benyttet af James Bradley<br />
til at bestemme lysets fart. I stedet <strong>for</strong> regndråber <strong>og</strong> en cykeltur så Bradley
42 Kinematiske konsekvenser<br />
Figur 3.5: "Cyklist" i regnvejr.<br />
på lyset fra en stjerne på <strong>for</strong>skellige tidspunkter af året. Retningen til stjernen<br />
synes at ændre sig gennem året. Dvs. ved at måle aberrationen <strong>og</strong> med<br />
kendskab til jordens fart vJ i dens bane om solen kan lysets fart bestemmes<br />
af<br />
tan(α) = vJ<br />
c<br />
(3.76)<br />
Bradleys måling af lysets fart vha. ligning (3.76) gav en bedre bestemmelse<br />
af lysets fart end den, O. Rømer opnåede med sin metode i 1676.<br />
3.10.2 Aberration - relativistisk<br />
Vi vil beskrive lysudsendelsen fra stjernen i to inertialsystemer. Systemet S<br />
er stjernens hvilesystem, <strong>og</strong> stjernen befinder sig et sted på den positive yakse<br />
meget langt væk fra jordbaneplanen, således at hvis jorden stod stille,<br />
ville retningen til stjernen være praktisk taget den samme <strong>for</strong> alle placeringer<br />
af jorden. Lyset fra stjernen antages i dette tilfælde at rame vinkelret ned<br />
på baneplanen. Jorden bestemmer inertialsystemet S ′ <strong>og</strong> jorden bevæger sig<br />
med hastighed vJ langs x-aksen. Jorden befinder sig i origo i systemet S ′ .<br />
Lysets hastighed i S er<br />
vx = 0 (3.77)<br />
vy = −c (3.78)
3.11 Dopplereffekt 43<br />
I systemet S ′ er lysets hastighed<br />
v ′ y = −c<br />
<br />
v ′ x = −vJ<br />
1 − vJ<br />
c<br />
Retningen til stjernen i systemet S ′ , altså i jordsystemet, er da<br />
tan(α) = v′ x<br />
v ′ y<br />
=<br />
<br />
2<br />
vJ<br />
c<br />
1 − vJ<br />
c<br />
Da sin(α) = tan(α) √ kan ligning (3.81) omskrives til<br />
1+tan2 (α)<br />
sin(α) = vJ<br />
c<br />
2<br />
(3.79)<br />
(3.80)<br />
(3.81)<br />
(3.82)<br />
Da vJ ≪ c er Bradleys resultat i ligning (3.76) en meget god tilnærmelse til<br />
det relativistisk korrekte udtryk.<br />
3.11 Dopplereffekt<br />
Vi skal i dette afsnit se på lysudsendelse beskrevet ved lysets frekvens målt<br />
i et inertialsystem <strong>og</strong> frekvensen af dette lys målt i et andet inertialsystem.<br />
3.11.1 Longitudinal Dopplereffekt<br />
En bølgegiver ligger stille i inertialsystemet S ′ . Bølgegiveren udsender lys<br />
med frekvensen f ′ målt i S ′ . Se Fig. (3.6).<br />
Udsendelse af et helt bølget<strong>og</strong> tager i S ′ tiden t ′ = 1<br />
f ′ . I inertialsystemet S<br />
tager dette ifølge tids<strong>for</strong>længelsen tiden<br />
∆t =<br />
t ′<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(3.83)<br />
I løbet af tiden ∆t bevæger bølgegiveren sig stykket ∆x = v ∆t i S. Det vil<br />
sige, at tiden mellem udsendelse/modtagelse af to bølget<strong>og</strong> målt i S er<br />
t = ∆t + ∆x<br />
c<br />
= t′<br />
<br />
1 + v<br />
c<br />
1 − v<br />
c<br />
(3.84)
44 Kinematiske konsekvenser<br />
y<br />
S<br />
x<br />
y ′<br />
S ′<br />
Figur 3.6: Dopplereffekt.<br />
Da frekvensen målt i S er f = 1,<br />
medfører ligning (3.84), at sammenhængen<br />
t<br />
mellem frekvenserne målt i de to inertialsystemer er<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
1 + v<br />
(3.85)<br />
c<br />
Ligning (3.85) er den relativistiske Dopplereffekt 3 , hvor lyskilden bevæger sig<br />
efter <strong>for</strong>bindelseslinjen mellem iagttager <strong>og</strong> kilde. Effekten benævnes i dette<br />
tilfælde <strong>og</strong>så den longitudinale Dopplereffekt.<br />
Den urelativistiske Dopplereffekt er i dette tilfælde givet ved<br />
furel = f ′<br />
1<br />
1 + v<br />
c<br />
v<br />
x ′<br />
(3.86)<br />
For at udlede ligning (3.86) bemærker vi, at der ved en urelativistisk betragtning,<br />
hvor vi benytter Galileitrans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> tid, ikke er <strong>for</strong>skel på ∆ t<br />
<strong>og</strong> t ′ . Dermed bliver tiden mellem de to bølget<strong>og</strong> i S t = t ′ (1 + v),<br />
således<br />
c<br />
udtrykket <strong>for</strong> frekvensen netop er som påstået i ligning (3.86).<br />
Ligning (3.85) er udledt under den <strong>for</strong>udsætning, at kilden bevæger sig væk<br />
fra iagttageren. Hvis kilden bevæger sig mod iagttageren, skal plus i ligning<br />
(3.84) laves om til minus <strong>og</strong> omvendt, <strong>og</strong> i stedet <strong>for</strong> ligning (3.85) fås<br />
f = f ′<br />
<br />
1 + v<br />
c<br />
1 − v<br />
(3.87)<br />
c<br />
3 Effekten er opkaldt efter C. Doppler, der i 1842 argumenterede, med <strong>for</strong>kerte begrundelser,<br />
<strong>for</strong> en frekvensændring, når kilde <strong>og</strong> modtager bevæger sig i <strong>for</strong>hold til hinanden.
3.11 Dopplereffekt 45<br />
Den urelativistiske udgave af Dopplereffekten er i dette tilfælde<br />
furel = f ′<br />
1<br />
1 − v<br />
c<br />
(3.88)<br />
Se Fig. (3.7). For v ≪ c kan ligningerne (3.85) <strong>og</strong> (3.86) ved rækkeudvikling<br />
f modtaget /f afsendt<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
Relativistisk Dopplereffekt<br />
Urelativistisk Dopplereffekt<br />
0<br />
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0<br />
v/c<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Figur 3.7: Relativistisk <strong>og</strong> urelativistisk Dopplereffekt. Graferne viser <strong>for</strong>holdet<br />
mellem den frekvens, som modtageren måler, <strong>og</strong> den frekvens, som afsender<br />
måler, som funktion af afsenderens hastighed i <strong>for</strong>hold til modtageren.<br />
til anden orden approksimeres ved henholdsvis<br />
f ≈ f ′ 1 − v 1<br />
+<br />
c 2<br />
v 2 c<br />
(3.89)<br />
<strong>og</strong><br />
furel ≈ f ′ 1 − v v 2 + (3.90)<br />
c c<br />
Det er altså kun en andenordenseffekt, der adskiller den relativistiske Dopplereffekt<br />
fra den urelativistiske Dopplereffekt <strong>for</strong> samme hastighed. Dette fremgår<br />
<strong>og</strong>så af Fig. (3.7), hvor det ses, at <strong>for</strong> | v|<br />
< 0.25 er de to grafer næsten sam-<br />
c<br />
menfaldende.
46 Kinematiske konsekvenser<br />
I stedet <strong>for</strong> at se på sammenhængen mellem frekvenserne i de to inertialsystemer<br />
kan vi se på sammenhængen mellem bølgelængderne. Her gælder i<br />
det relativistiske tilfælde, hvis kilden bevæger sig væk fra iagttageren<br />
λrel = λ ′<br />
<br />
1 + v<br />
c<br />
1 − v<br />
(3.91)<br />
c<br />
Den relative bølgelængdeændring, som astronomerne kalder rød<strong>for</strong>skydningen,<br />
bliver<br />
zrel = λrel − λ ′<br />
λ ′<br />
<br />
1 +<br />
=<br />
v<br />
c<br />
1 − v<br />
c<br />
− 1 (3.92)<br />
Den urelativistiske sammenhæng mellem bølgelængderne er i dette tilfælde<br />
λurel = λ ′ (1 + v)<br />
(3.93)<br />
c<br />
Den urelativistiske relative bølgelængdeændring bliver her<br />
zurel = λurel − λ ′<br />
λ ′<br />
= v<br />
c<br />
(3.94)<br />
Hvis vi kun tager led med op til første orden i v,<br />
kan det relativistiske resultat<br />
c<br />
<strong>for</strong> rød<strong>for</strong>skydningen (se ligning (3.92)) approksimeres ved<br />
zrel ≈ v<br />
c<br />
som er det resultat, en urelativistisk betragtning giver.<br />
3.11.2 Vilkårlig retning af lyset<br />
(3.95)<br />
Hvis lyskilden ikke bevæger sig efter <strong>for</strong>bindelseslinjen mellem kilde <strong>og</strong> iagttager,<br />
skal ligning (3.85) modificeres. Lad bølgegiveren bevæge sig med hastighed<br />
v målt af iagttageren langs linjen l. Se Fig. (3.8).<br />
Til et givet tidspunkt udsendes en bølgetop fra kilden i punktet A. Retningen<br />
til bølgegiveren er givet ved vinklen θ set fra iagttageren. Efter at der er<br />
<strong>for</strong>løbet en periode t ′ målt i kildens hvilesystem, er kilden kommet til punktet<br />
B <strong>og</strong> udsender en ny bølgetop. Retningen til bølgegiveren er stadig θ set<br />
fra iagttageren, da vi <strong>for</strong>udsætter, at afstanden mellem kilde <strong>og</strong> iagtager er<br />
meget stor. Tids<strong>for</strong>skellen mellem modtagelsen af de to bølgetoppe målt af<br />
iagttageren kan nu findes som før.
3.11 Dopplereffekt 47<br />
θ<br />
v A B<br />
Iagttager<br />
Figur 3.8: Dopplereffekt <strong>for</strong> vilkårlig retning til kilde.<br />
C<br />
t ′<br />
√ v<br />
1−( c<br />
v t′ √ v<br />
1−( c<br />
Iagttageren finder, at det tager tiden ∆t = at bevæge sig fra punktet<br />
)2<br />
A til punktet B. Dvs. |AB| = v ∆t = . Signalet, som sendes fra B til<br />
)2<br />
iagttageren, skal endvidere bevæge sig stykket |BC| = |AB| cos(θ) længere<br />
end før, hvilket i S tager tiden |BC|<br />
c . Altså er tiden målt af iagttageren mellem<br />
modtagelsen af de to bølgetoppe<br />
t = ∆t + |BC|<br />
c =<br />
t ′ v<br />
(1 + cos(θ)) (3.96)<br />
v 1 − ( )2 c<br />
c<br />
Af ligning (3.96) fås umiddelbart sammenhængen mellem frekvensen f ′ målt<br />
i kildens hvilesystem <strong>og</strong> frekvensen f målt af iagttageren<br />
f = f ′<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
1 + v<br />
<br />
v<br />
′ 1 − ( c = f<br />
cos(θ) c )2<br />
1 + vr<br />
(3.97)<br />
c<br />
hvor vr = v cos(θ) er radialhastigheden mellem kilde <strong>og</strong> iagttager. Hvis θ = 0<br />
ses, at ligning (3.97) er den samme som ligning (3.85), <strong>og</strong> hvis θ = π ses, at<br />
ligning (3.97) er den samme som ligning (3.87).<br />
3.11.3 Transversal Dopplereffekt<br />
Hvis bølgegiveren bevæger sig vinkelret på iagttagerens retning til bølgegiveren,<br />
dvs. hvis vinklen θ i ligning (3.97) er 90o , gælder<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − v 2 (3.98)<br />
c<br />
l
48 Kinematiske konsekvenser<br />
som er den transversale Dopplereffekt. Ligning (3.98) følger <strong>og</strong>så af, at bølgegiveren<br />
her ikke bevæger sig væk fra iagttageren. Bølgen skal der<strong>for</strong> flytte sig<br />
samme strækning <strong>for</strong> at nå frem til modtageren. Vi kan der<strong>for</strong> direkte benytte<br />
ligning (3.83) til at finde frekvenserne ved at tage de reciprokke værdier af de<br />
indgående tider. Urelativistisk er der i denne situation ingen frekvensændring.<br />
En iagttager i centrum af en cirkel, på hvis periferi en bølgegiver kører rundt,<br />
vil i det urelativistiske tilfælde ikke hævde, at der er <strong>for</strong>skel på hans iagttagne<br />
frekvens <strong>og</strong> på den frekvens, bølgegiveren iagttager. Årsagen til dette er, at<br />
urelativistisk er der ingen <strong>for</strong>skel på længden af tids<strong>for</strong>løb <strong>for</strong> iagttager <strong>og</strong><br />
bølgegiver, men det er der som bekendt ved en relativistisk betragtning.
Kapitel 4<br />
Relativistisk dynamik: Indledning<br />
Dette kapitel beskæftiger sig med fastlæggelse af relativistisk impuls, relativistisk<br />
energi, samt hvorledes disse størrelser trans<strong>for</strong>merer ved overgang<br />
fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. Dernæst opstilles den relativistiske<br />
bevægelsesligning, som erstatter Newtons 2. lov.<br />
4.1 Impuls<br />
En af den ikke-relativistiske fysiks grundlæggende sætninger er loven om impulsens<br />
bevarelse i et isoleret system. Impulsen af en partikel med masse m<br />
er som bekendt her givet ved p = m u, hvor u er partiklens hastighed. I den<br />
relativistiske fysik vil det være naturligt <strong>og</strong>så at <strong>for</strong>vente/kræve, at impulsen<br />
<strong>for</strong> et isoleret system <strong>og</strong>så er bevaret. Endvidere må vi kræve, at impulsbevarelsessætningen<br />
er gyldig i alle inertialsystemer, <strong>og</strong> at vi ved overgang fra et<br />
inertialsystem til et andet inertialsystem skal benytte Lorentztrans<strong>for</strong>mationen.<br />
En længere analyse (se næste afsnit) af disse <strong>for</strong>udsætninger fører frem<br />
til, at impulsen i den relativistiske fysik ikke kan være givet ved p = m u,<br />
men må erstattes af<br />
p =<br />
m u<br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
(4.1)<br />
hvor m er partiklens hvilemasse, dvs. den masse partiklen har i sit hvilesystem.<br />
(Hvis partiklen er masseløs som f. eks. fotonen, findes der ikke n<strong>og</strong>et<br />
hvilesystem. I et sådant tilfælde kan impulsen findes ved hjælp af energien).<br />
For meget små hastigheder, |u| ≪ c, er 1 − ( u<br />
c )2 ≈ 1, <strong>og</strong> dermed er p ≈ mu.<br />
Definitionen af den relativistiske impuls er altså <strong>for</strong> små hastigheder sammenfaldende<br />
med den ikke-relativistiske definition af impulsen.<br />
49
50 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
4.2 Relativistisk impuls<br />
For at finde udtrykket <strong>for</strong> den relativistiske impuls vil vi antage, at impulsen<br />
er en bevaret størelse i et isoleret system i alle inertialsystemer, <strong>og</strong> at impulsen<br />
er en vektor i hastighedens retning<br />
p = m f(u) u (4.2)<br />
hvor m er partiklens hvilemasse, <strong>og</strong> f(u) er en ukendt funktion af partiklen<br />
fart u. For at komme lettere gennem regningerne vil vi stedet <strong>for</strong> farten u<br />
1<br />
benytte γ-faktoren γ = √ u som den uafhængige variable. Funktionen<br />
1−( )2<br />
c<br />
f(u) bliver dermed erstattet af g(γ), således at vi i stedet <strong>for</strong> udtrykket i<br />
ligning (4.2) vil se på<br />
p = m g(γ) u (4.3)<br />
Vi ønsker at bestemme <strong>for</strong>skriften <strong>for</strong> funktionen g. For at den relativistiske<br />
impuls skal falde sammen med den urelativistiske impuls <strong>for</strong> små hastigheder,<br />
dvs. <strong>for</strong> γ tæt på 1, skal gælde g(1) = 1.<br />
Lad os se på et isoleret system bestående af to ens partikler. Partiklerne er<br />
altså isolerede fra omverdenen, men de kan vekselvirke med hinanden. Der<br />
sker nu et elastisk stød mellem disse to partikler. Vi vil betragte dette stød<br />
fra to inertialsystemer, S <strong>og</strong> S ′ . I inertialsystemet S har den ene partikel<br />
hastigheden uf (f <strong>for</strong> før) i den positive x-akses retning, <strong>og</strong> den anden partikel<br />
ligger stille. Se Fig. (4.1).<br />
Inertialsystemet S ′ er valgt således, at de to partikler har samme fart, modsatrettede<br />
hastigheder <strong>og</strong> således, at bevægelsen <strong>for</strong>egår før stødet langs x ′ -<br />
aksen. I S ′ er hastighederne altså henholdsvis +v <strong>og</strong> −v langs x ′ -aksen, hvor<br />
v er hastigheden af S ′ i <strong>for</strong>hold til S. Se Fig. (4.2).
4.2 Relativistisk impuls 51<br />
y<br />
S<br />
−→<br />
uf<br />
Figur 4.1: Stødet i inertialsystem S før sammenstød.<br />
y ′<br />
S ′<br />
−→ v − −→ v<br />
Figur 4.2: Stødet i inertialsystem S ′ før sammenstød.<br />
x<br />
x ′
52 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
Sammenhængen mellem uf i S <strong>og</strong> v i S ′ findes af <strong>for</strong>mlen <strong>for</strong> den relativistiske<br />
addition af hastigheder<br />
uf =<br />
v + v<br />
1 +<br />
v v<br />
c 2<br />
=<br />
2 v<br />
1 + ( v<br />
c )2<br />
(4.4)<br />
Vi vil nu se på et stød, der resulterer i, at den ene partikel bevæger sig i<br />
y ′<br />
S ′<br />
−→ v<br />
− −→ v<br />
Figur 4.3: Stødet i inertialsystem S ′ efter sammenstød.<br />
den positive y ′ -akses retning i S ′ . Da vi har antaget, at impulsen er bevaret,<br />
<strong>og</strong> da impulsen i y ′ -aksens retning er nul før stødet, må den anden partikel<br />
bevæge sig i den negative y ′ -akses retning efter stødet. Stødet er endvidere<br />
antaget at være elastisk, så farten af partiklerne må være uændrede i S ′ . De<br />
har altså <strong>og</strong>så begge farten v i S ′ efter stødet. Se Fig. (4.3)<br />
Set fra S ser situationen efter stødet ud som på Fig. (4.4) Fra <strong>for</strong>mlen <strong>for</strong> den<br />
relativistiske addition af hastigheder fås <strong>for</strong> den øverste partikel hastigheden<br />
efter henholdsvis x- <strong>og</strong> y-aksens retning (e <strong>for</strong> efter)<br />
ux,e =<br />
0 + v<br />
1 +<br />
c )2<br />
v ·0<br />
c2 uy,e = v 1 − ( v<br />
1 +<br />
0 ·v<br />
c 2<br />
= v<br />
x ′<br />
= v (4.5)<br />
<br />
1 − ( v<br />
c )2 (4.6)<br />
For den nederste partikel er hastigheden i y-aksens retning numerisk den<br />
samme som <strong>for</strong> den øverste partikel, men <strong>for</strong>tegnet er minus. Hastigheden i
4.2 Relativistisk impuls 53<br />
y<br />
S<br />
Figur 4.4: Stødet i inertialsystem S efter sammenstød.<br />
x-aksens retning er ens <strong>for</strong> de to partikler. Farten målt i S <strong>for</strong> de to partikler<br />
er dermed den samme<br />
u 2 e = u 2 x,e + u 2 y,e = v 2 (2 − ( v<br />
c )2 ) (4.7)<br />
Den samlede impuls henholdsvis før <strong>og</strong> efter stødet er i inertialsystemet S<br />
pf = m g(γf) uf = 2 m g(γf)<br />
v<br />
1 + ( v<br />
c )2<br />
x<br />
(4.8)<br />
pe = 2 m g(γe) v (4.9)<br />
Vektorstregerne er droppede, da vi kun ser på impulsen i x-aksens retning.<br />
Da der gælder impulsbevarelse i S, er pe = pf, <strong>og</strong> af ligningerne (4.8) <strong>og</strong> (4.9)<br />
fås<br />
g(γf)<br />
Ved hjælp af ligning (4.4) findes<br />
Af ligning (4.7) findes<br />
γf =<br />
γe =<br />
1<br />
1 + ( v<br />
c )2 = g(γe) (4.10)<br />
<br />
1 − ( uf<br />
c )2<br />
1<br />
− 2<br />
<br />
1 − ( ue<br />
c )2<br />
1<br />
− 2<br />
= 1 + ( v<br />
=<br />
c )2<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
1<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(4.11)<br />
(4.12)
54 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
Af ligningerne (4.11) <strong>og</strong> (4.12) følger<br />
γf<br />
γe<br />
= 1 + ( v<br />
c )2<br />
Under anvendelse af ligning (4.13) kan ligning (4.10) omskrives til<br />
g(γf)<br />
Af ligningerne (4.11) <strong>og</strong> (4.12) udledes<br />
Ligning (4.14) kan så skrives<br />
g(γf)<br />
γf<br />
γf<br />
= g(γe)<br />
γe<br />
1<br />
2 (γf + 1) = γe<br />
= g( 1<br />
2 (γf + 1))<br />
1<br />
2 (γf + 1)<br />
(4.13)<br />
(4.14)<br />
(4.15)<br />
(4.16)<br />
Lad os kalde den uafhængige variable i ligning (4.16) w samt indføre funktionen<br />
h ved<br />
h(w) = g(w)<br />
<strong>for</strong> w ≧ 1 (4.17)<br />
w<br />
således at ligning (4.16) kan skrives<br />
h(w) = h( 1 (w + 1)) (4.18)<br />
2<br />
For funktionen h gælder h(1) = 1. Endvidere har h den egenskab, at h(w) er<br />
det samme tal som funktionsværdien af det tal, der ligger midt mellem 1 <strong>og</strong><br />
(w + 1). Vi kan så igen benytte ligning (4.18) <strong>og</strong> sige, at<br />
w altså tallet w1 = 1<br />
2<br />
1<br />
w3<br />
w2<br />
w1<br />
Figur 4.5: Talfølgen wn.<br />
h(w1) er det samme tal som funktionsværdien af det tal, der er middelværdien<br />
af 1 <strong>og</strong> w1: w2 = 1<br />
2 (1 + w1). Således <strong>for</strong>tsættes. Vi får altså en talfølge<br />
w, w1, w2, w3, w4, . . . med tal, som kommer tættere <strong>og</strong> tættere på 1, <strong>og</strong> som<br />
alle har samme funktionsværdi <strong>for</strong> funktionen h. Se Fig. (4.5). Da funktionen<br />
antages at være "pæn", dvs. kontinuert fra højre, må h(w) = h(1) = 1. Af<br />
ligning (4.17) følger da<br />
g(x) = x (4.19)<br />
w
4.3 Kraft 55<br />
Da funktionen g nu er fastlagt, er <strong>og</strong>så den relativistiske impuls fundet<br />
p =<br />
m<br />
u (4.20)<br />
u 1 − ( )2<br />
c<br />
At den således definerede relativistiske impuls er en bevaret størrelse <strong>for</strong> et<br />
isoleret system i andre tilfælde end det her betragtede, kan kun afgøres ved<br />
eksperimentets hjælp. Det er en eksperimentel kendsgerning, at impulsen<br />
med definitionen givet i ligning (4.20) er en bevaret størrelse i et isoleret<br />
system.<br />
4.3 Kraft<br />
4.3.1 Definition af kraft<br />
Vi betragter nu en enkelt partikel. Hvis dens impuls givet ved ligning (4.20)<br />
ændrer sig, vil vi sige, at partiklen er påvirket af en kraft F , som er defineret<br />
ved<br />
F = dp<br />
(4.21)<br />
dt<br />
Ligning (4.21) er altså en definitionsligning <strong>for</strong> kraft i det relativistiske tilfælde.<br />
For |u| ≪ c er ligning (4.21) den gammelkendte Newtons anden lov,<br />
da p jo så er sammenfaldende med den urelativistiske impuls.<br />
På samme måde som vi i den ikke-relativistiske mekanik kan benytte Newtons<br />
anden lov til at bestemme en partikels bevægelse, hvis kraften er kendt,<br />
kan vi <strong>og</strong>så her vha. ligning (4.21) i det relativistiske tilfælde finde partiklens<br />
bane, hvis kraften F er givet. Ligning (4.21) er dermed <strong>og</strong>så den relativistiske<br />
bevægelsesligning.<br />
4.3.2 Kraft <strong>og</strong> acceleration.<br />
For <strong>og</strong>så her at se på sammenhængen mellem kraft <strong>og</strong> acceleration omskrives<br />
højresiden af ligning (4.21)<br />
dp<br />
dt<br />
d m u<br />
= <br />
dt<br />
1 − <br />
u 2<br />
c<br />
m<br />
= <br />
1 − du<br />
<br />
u 2 dt<br />
c<br />
+ m d<br />
dt<br />
<br />
1<br />
<br />
1 − u<br />
c<br />
2<br />
<br />
u<br />
(4.22)
56 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
Lad os se på sidste led i ligning (4.22)<br />
m d<br />
<br />
<br />
dt<br />
1<br />
<br />
u = − m<br />
2<br />
1<br />
<br />
1 −<br />
2<br />
hvor<br />
1 − u<br />
c<br />
= 1 m<br />
<br />
2<br />
1 −<br />
= 1 m<br />
<br />
2<br />
1 −<br />
=<br />
<br />
1 −<br />
er den sædvanlige acceleration.<br />
Dvs. ligning (4.21) bliver<br />
F =<br />
<br />
m<br />
1 −<br />
u<br />
c<br />
m<br />
u<br />
c<br />
3<br />
2<br />
u<br />
c<br />
3<br />
2<br />
u<br />
c<br />
3<br />
2<br />
u<br />
c<br />
a = du<br />
dt<br />
a + <br />
2<br />
−3 2<br />
2 −1<br />
c2 du 2<br />
dt u<br />
1<br />
c 2<br />
d 2<br />
ux + u<br />
dt<br />
2 y + u 2 z u<br />
1<br />
c2 <br />
dux duy<br />
2 ux + 2 uy<br />
dt dt<br />
1<br />
(a · u) u<br />
c2 1 −<br />
m<br />
3<br />
2<br />
u<br />
c<br />
+ 2 uz<br />
<br />
duz<br />
u<br />
dt<br />
(4.23)<br />
(4.24)<br />
1<br />
(a · u) u (4.25)<br />
c2 En del af kraften går i accelerationens retning, <strong>og</strong> en del af kraften går i<br />
hastighedens retning. Det er dermed ikke muligt at definere massen af en<br />
partikel som <strong>for</strong>holdet mellem kraft <strong>og</strong> acceleration. Kraften <strong>og</strong> accelerationen<br />
går altså ikke nødvendigvis i samme retning i en relativistisk regning, som<br />
de jo gør i en klassisk regning.<br />
Ved at tage skalarproduktet mellem F <strong>og</strong> u fås af ligning (4.25)<br />
<br />
<br />
F<br />
m<br />
m 1 2<br />
· u = <br />
+ <br />
2 3 u a · u (4.26)<br />
2 c2 1 − 1 −<br />
Heraf fås umiddelbart<br />
u<br />
c<br />
a · u =<br />
=<br />
<br />
1 − u<br />
c<br />
m<br />
u<br />
c<br />
m<br />
<br />
1 − u<br />
c<br />
2 3<br />
2 3<br />
a · u (4.27)<br />
F · u (4.28)
4.3 Kraft 57<br />
Ligning (4.28) benyttes i ligning (4.25), hvorved fås<br />
F =<br />
<br />
m<br />
1 −<br />
Ved at omskrive ligning (4.29) til<br />
<br />
m<br />
1 −<br />
u<br />
c<br />
u<br />
c<br />
a +<br />
2 F · u<br />
u (4.29)<br />
c2 a =<br />
2 F − F · u<br />
u (4.30)<br />
c2 ses, at accelerationen består af to led. Det ene led (∝ ( F · u) u) er parallel<br />
med hastigheden u, <strong>og</strong> det andet led er parallel med kraften.<br />
Ved at benytte ligning (4.30) ses at kraften <strong>og</strong> accelerationen er i samme<br />
retning i netop to tilfælde. Det ene tilfælde er, hvis kraft <strong>og</strong> hastighed er<br />
parallelle, da der så gælder<br />
F<br />
m<br />
= <br />
1 − 3 a (4.31)<br />
u 2<br />
c<br />
Det andet tilfælde er, hvis kraft <strong>og</strong> hastighed er ort<strong>og</strong>onale, da der så gælder<br />
F<br />
m<br />
= <br />
1 − a (4.32)<br />
u 2<br />
c<br />
I ingen af tilfældene er proportionalitetsfaktoren mellem kraft <strong>og</strong> acceleration<br />
lig partiklens masse m. Endvidere ses, at de to proportionalitetsfaktorer er<br />
<strong>for</strong>skellige.<br />
4.3.3 Newtons tredje lov?<br />
I urelativistisk fysik gælder som bekendt Newtons tredje lov: "aktion lig<br />
reaktion". Men Newtons tredje lov kan ikke, som vi nu vil argumentere <strong>for</strong>,<br />
overføres til den relativistiske udgave af mekanikken. Lad to partikler påvirke<br />
hinanden, <strong>og</strong> lad det være givet, at til et bestemt tidspunkt t i inertialsystemet<br />
S påvirker de to partikler hinanden med kræfter, der netop opfylder kravet<br />
om aktion lig reaktion. I ethvert andet inertialsystem i bevægelse i <strong>for</strong>hold til<br />
S vil disse to kræfter ikke påvirke partiklerne til samme tidspunkt, medmindre<br />
der er tale om kontaktkræfter. For kræfter, der som gravitationskraften<br />
<strong>og</strong> Coulombkraften virker over afstand, <strong>og</strong> da intet signal kan udbrede sig<br />
momentant, kan Newtons tredje lov ikke opretholdes ved relativistiske betragtninger.
58 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
4.4 Relativistisk energi<br />
Kraftens arbejde pr. tidsenhed, effekten, defineres ved<br />
P = dA<br />
dt = F · u (4.33)<br />
Endvidere defineres i overensstemmelse med arbejdssætningen den kinetiske<br />
energi Ekin ved<br />
dEkin<br />
dt = F · u (4.34)<br />
med den naturlige randbetingelse, at Ekin = 0 <strong>for</strong> |u| = 0.<br />
Vha. ligningerne (4.20), (4.21) <strong>og</strong> (4.34) kan vi finde den relativistiske kinetiske<br />
energi. Under <strong>for</strong>udsætning af at bevægelsen er endimensional fås<br />
som med Ekin(0) = 0 giver<br />
t<br />
Ekin =<br />
0<br />
F u dt =<br />
t<br />
0<br />
dEkin<br />
dt<br />
<br />
m u<br />
= u u 1 − ( )2<br />
c<br />
dp<br />
u dt =<br />
dt<br />
u<br />
0<br />
= F u (4.35)<br />
−<br />
u<br />
0<br />
u<br />
0<br />
<br />
m u<br />
u d <br />
u 1 − ( c )2<br />
<br />
(4.36)<br />
m u<br />
du (4.37)<br />
u 1 − ( )2<br />
c<br />
Det sidste integral i ligning (4.37) udregnes let ved substitution, <strong>og</strong> dermed<br />
har vi som resultat, at den relativistiske kinetiske energi er givet ved<br />
Ekin =<br />
m c2<br />
− m c2<br />
u 1 − ( )2<br />
c<br />
(4.38)<br />
Vi behandler dernæst det generelle tilfælde, hvor kraft <strong>og</strong> hastighed ikke<br />
nødvendigvis er parallelle. Definitionen på kinetisk energi ligning (4.34) omskrives<br />
v.hj.a. ligning (4.27) til<br />
dEkin<br />
dt =<br />
<br />
m<br />
1 − u<br />
c<br />
2 3<br />
u · d u<br />
d t<br />
= d<br />
d t<br />
m c 2<br />
<br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
(4.39)<br />
Hvoraf vi ved integration får det generelle udtryk <strong>for</strong> den relativistiske kinetiske<br />
energi<br />
m c2<br />
Ekin = <br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
− m c 2<br />
(4.40)
4.4 Relativistisk energi 59<br />
For lave hastigheder, hvor |u| ≪ c, er<br />
Ekin =<br />
<br />
1−<br />
1<br />
u<br />
m c2<br />
<br />
u 1 − ( c )2 − m c2 ≈ 1 m u2<br />
2<br />
c<br />
≈ 1+ 2 1 u ( 2 c )2 , <strong>og</strong> dermed bliver<br />
(4.41)<br />
Den relativistiske kinetiske energi er altså i grænsen <strong>for</strong> lave hastigheder<br />
sammenfaldende med definitionen på den urelativistiske kinetiske energi.<br />
Dernæst defineres en partikels totale energi som 1<br />
E = Ekin + m c 2 =<br />
m c2<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
Størrelsen m c 2 benævnes partiklens hvileenergi. Se Fig. (4.6).<br />
E/mc 2<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
(4.42)<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
u/c<br />
0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
Figur 4.6: Den totale relativistiske energi i <strong>for</strong>hold til hvileenergien.<br />
1 Ligning (4.42) giver den korrekte relativistiske tolkning af <strong>for</strong>søget vist på Fig. (1.4)<br />
side 8.
60 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
Af ligningerne (4.20) <strong>og</strong> (4.42) fås ved direkte udregning den meget vigtige<br />
relation<br />
E 2 − c 2 |p| 2 = (m c 2 ) 2<br />
(4.43)<br />
Ligningen kaldes undertiden ’Den relativistiske Pythagoras’. Se Fig. (4.7). Da<br />
E<br />
c p<br />
m c 2<br />
Figur 4.7: Den relativistiske Pythagoras.<br />
højresiden af ligning (4.43) kun indeholder partiklens hvilemasse <strong>og</strong> lyshastigheden,<br />
der begge har samme værdi i alle inertialsystemer, vil venstresiden af<br />
ligning (4.43) altså <strong>og</strong>så være den samme, ligegyldigt i hvilket inertialsystem<br />
den totale energi <strong>og</strong> impulsen er målt. Vi siger, at E 2 − c 2 |p| 2 er Lorentzinvariant.<br />
Af ligningerne (4.20) <strong>og</strong> (4.42) <strong>for</strong> henholdsvis den relativistiske impuls <strong>og</strong><br />
den totale relativistiske energi får vi sammenhængen<br />
p = E<br />
u (4.44)<br />
c2 Denne ligning kan bruges til at finde partiklens totale relativistiske energi,<br />
hvis det er muligt at bestemme både partiklens hastighed <strong>og</strong> dens relativistiske<br />
impuls.<br />
4.5 Trans<strong>for</strong>mation af impuls <strong>og</strong> energi<br />
4.5.1 Impulsen parallel med v<br />
Da vi kender trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne <strong>for</strong> hastighed, kan vi <strong>og</strong>så finde sammenhængen<br />
mellem impulsen <strong>og</strong> energien målt i to <strong>for</strong>skellige inertialsystemer.<br />
For at simplificere regningerne antager vi, at partiklens hastighed <strong>og</strong><br />
dermed dens impuls er rettet efter x, x ′ -akserne. Se Fig. (4.8).
4.5 Trans<strong>for</strong>mation af impuls <strong>og</strong> energi 61<br />
y<br />
S<br />
p<br />
x<br />
Figur 4.8: Trans<strong>for</strong>mation af impuls med impulsen rettet efter x, x ′ -aksen.<br />
Lad os først se på impulsen p ′ x i systemet S ′ . Under anvendelse af hastighedstrans<strong>for</strong>mationen<br />
<strong>for</strong> u ′ x kan den skrives<br />
p ′ x =<br />
m u ′ x <br />
1 − ( u′ x<br />
c )2<br />
=<br />
y ′<br />
m<br />
S ′<br />
<br />
1 − ( u′ x<br />
c )2<br />
v<br />
· ux − v<br />
1 −<br />
ux v<br />
c 2<br />
Der indgår stadig størrelser målt i S ′ . Dem skal vi af med.<br />
1 − ( u′ x<br />
c )2 = 1 −<br />
= 1 + ( ux v<br />
ux − v<br />
1 −<br />
ux v<br />
c 2<br />
2<br />
c2 ) 2 − ( ux<br />
c )2 − ( v<br />
c )2<br />
= (1 − ( ux<br />
(1 −<br />
c )2 ) (1 − ( v<br />
c )2 )<br />
(1 −<br />
· 1<br />
c 2<br />
x ′<br />
(4.45)<br />
(4.46)<br />
ux v<br />
c 2 ) 2 (4.47)<br />
ux v<br />
c 2 ) 2 (4.48)<br />
Denne omskrivning, der ledte os frem til udtrykket i ligning (4.48), benyttes<br />
nu i ligning (4.45), <strong>og</strong> p ′ x bliver nu kun udtrykt ved størrelser målt i S<br />
p ′ x =<br />
m ux √ v<br />
ux −<br />
1−( ) 2 c<br />
c 2 m c · 2<br />
√ ux 1−( ) c 2<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(4.49)<br />
Det ses, at ligning (4.49) indeholder px <strong>og</strong> E, begge målt i systemet S. Vi<br />
har nu fundet trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlen <strong>for</strong> impulsen<br />
p ′ x = px − v<br />
c 2 E<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(4.50)
62 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
For energien kan vi lave helt samme regnestykke ved igen at benytte omskrivningen,<br />
der førte frem til udtrykket i ligning (4.48)<br />
E ′ =<br />
m c 2<br />
<br />
1 − ( u′ x<br />
c )2<br />
=<br />
=<br />
ux v m (1 − c2 ) c2 <br />
ux 1 − ( c )2 1 − ( v<br />
c )2<br />
m c2 √ ux 1−( ) c 2 − v m ux √ ux 1−( ) c 2<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(4.51)<br />
(4.52)<br />
Her genkendes E <strong>og</strong> px, begge målt i S, <strong>og</strong> trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> energien er<br />
dermed <strong>og</strong>så bestemt<br />
E ′ =<br />
E − v px<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(4.53)<br />
I det her betragtede simple tilfælde, hvor hastighederne er rettede efter x, x ′ -<br />
akserne gælder umiddelbart py = 0 <strong>og</strong> p ′ y = 0 samt pz = 0 <strong>og</strong> p ′ z = 0. I<br />
det almene tilfælde, hvor hastighederne kan have vilkårlig retning, gælder<br />
<strong>for</strong> impulstrans<strong>for</strong>mationerne vinkelret på medføringshastigheden v af S ′ , at<br />
impulserne er ens, dvs.<br />
p ′ y = py <strong>og</strong> p ′ z = pz<br />
4.5.2 Impulsen i vilkårlig retning<br />
(4.54)<br />
Trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> p <strong>og</strong> E, i tilfældet hvor p <strong>og</strong>så har en komposant vinkelret<br />
på inertialsystemet S ′ ’s hastighed v, kan findes på helt samme måde som<br />
oven<strong>for</strong>. Regnestykket er kun lidt længere.<br />
Vi kan altid vælge koordinatakser, således at p kun har komposanter i xretningen<br />
<strong>og</strong> i y-retningen. Hvis p havde en z-komposant, kunne vi blot <strong>for</strong>etage<br />
en drejning af inertialsystemet S, således at pz = 0 <strong>og</strong> en tilsvarende<br />
drejning af inertialsystemet S ′ så p ′ z = 0. Det er altså nok at se på trans<strong>for</strong>mation<br />
af px <strong>og</strong> py (eller p ′ x <strong>og</strong> p ′ y). Se Fig. (4.9).<br />
I både impulsen <strong>og</strong> energien vil størrelserne ( |u|<br />
c )2 <strong>og</strong> ( |u′ |<br />
c )2 optræde. Her er<br />
|u| 2 = u2 = u2 x + u2 y <strong>og</strong> |u ′ | 2 = u ′2 ′ 2 ′ 2<br />
= u x + u y . Ved igen at benytte trans<strong>for</strong>-<br />
mationen <strong>for</strong> hastighed får vi
4.5 Trans<strong>for</strong>mation af impuls <strong>og</strong> energi 63<br />
y<br />
S<br />
p<br />
x<br />
Figur 4.9: Trans<strong>for</strong>mation af impuls med impulsen i vilkårlig retning.<br />
1 − ( u′<br />
c )2 = 1 − 1<br />
c 2<br />
= 1 − ( v<br />
y ′<br />
(ux − v) 2<br />
(1 −<br />
S ′<br />
v<br />
v ux<br />
c2 ) 2 + u2y (1 − ( v<br />
c )2 )<br />
v ux (1 − c2 ) 2<br />
c )2 − ( u<br />
c )2 + ( v<br />
c )2 ( u<br />
= (1 − ( v<br />
(1 −<br />
c )2 ) (1 − ( u<br />
(1 −<br />
c )2<br />
<br />
x ′<br />
(4.55)<br />
v ux<br />
c 2 ) 2 (4.56)<br />
c )2 )<br />
v ux<br />
c 2 ) 2 (4.57)<br />
(Jævnfør denne udregning med regningerne fra ligning (4.46) til ligning (4.48)).<br />
Omskrivningerne, der førte frem til ligning (4.57) benyttes nu i omskrivningen<br />
af impulserne p ′ x <strong>og</strong> p ′ y <strong>og</strong> af energien E ′ . For p ′ x fås under anvendelse af<br />
hastighedstrans<strong>for</strong>mationen <strong>og</strong> ligning (4.57)<br />
p ′ x =<br />
m u ′ x<br />
<br />
1 − ( u′<br />
c )2<br />
= m (ux − v)<br />
v ux 1 − c2 v ux 1 − c2 <br />
u 1 − ( c )2 1 − ( v<br />
c )2<br />
m ux √ v<br />
u −<br />
1−( )2 c<br />
c 2<br />
= <br />
v 1 − ( c )2<br />
Heraf ses, at den søgte trans<strong>for</strong>mation er<br />
m c2 √ u<br />
1−( c )2<br />
p ′ x = px − v<br />
c 2 E<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
For impulsen i y ′ -retningen fås på samme måde<br />
p ′ y =<br />
m u ′ y<br />
<br />
1 − ( u′<br />
c )2<br />
(4.58)<br />
(4.59)<br />
(4.60)<br />
(4.61)
64 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
= m uy<br />
<br />
v 1 − (<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
Men dette er jo netop<br />
c )2<br />
v ux 1 − c2 <br />
u 1 − ( c )2 1 − ( v<br />
c<br />
p ′ y = py<br />
)2 =<br />
m uy<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
(4.62)<br />
(4.63)<br />
Trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> energien udledes ligeledes ved at benytte ligning (4.57)<br />
Det vil sige<br />
E ′ =<br />
m c2 <br />
1 − ( u′<br />
c )2<br />
=<br />
=<br />
m c2 √ u<br />
1−( c<br />
E ′ =<br />
m c2<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
√ u<br />
1−( c )2<br />
m ux − v<br />
)2<br />
<br />
v 1 − (<br />
c )2<br />
E − v px<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
v ux 1 − c2 <br />
v 1 − (<br />
c )2<br />
(4.64)<br />
(4.65)<br />
(4.66)<br />
Hvis den rumlige del af vore inertialsystemer ikke på <strong>for</strong>hånd var valgt, så<br />
pz = 0 <strong>og</strong> p ′ z = 0, men havde fra nul <strong>for</strong>skellige værdier, ville vi <strong>og</strong>så få, at<br />
impulserne i z, z ′ -retningen var ens i de to inertialsystemer, altså at p ′ z = pz.<br />
Det endelige resultat <strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mation af den relativistiske energi <strong>og</strong> impuls<br />
er dermed<br />
p ′ x = px − v<br />
c2 E<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
p ′ y = py<br />
p ′ z = pz<br />
E ′ =<br />
E − v px<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
4.6 Trans<strong>for</strong>mation af kraft<br />
Af sammenhængen<br />
fås ved differentiation m.h.t. t<br />
E 2 − (c p) 2 = (m c 2 ) 2<br />
2 E dE<br />
dt − 2 c2 p · dp<br />
dt<br />
dE<br />
dt<br />
= c2 p<br />
E<br />
(4.67)<br />
(4.68)<br />
(4.69)<br />
(4.70)<br />
(4.71)<br />
= 0 ⇔ (4.72)<br />
· dp<br />
dt = u · F (4.73)
4.7 Ækvivalensen mellem masse <strong>og</strong> energi 65<br />
Ved hjælp af ligning (4.73) samt Lorentztrans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> impuls <strong>og</strong> <strong>for</strong><br />
tid kan vi nu finde sammenhængen mellem kraften F ′ i inertialsystemet S ′<br />
<strong>og</strong> kraften F i inertialsystemet S. For kraften F ′ i systemet S ′ gælder <strong>for</strong><br />
x ′ -komponenten<br />
F ′ x = dp′ x<br />
=<br />
dt ′<br />
F ′ x =<br />
F ′ x =<br />
d<br />
dt<br />
dp ′ x<br />
dt<br />
dt ′<br />
dt<br />
v E<br />
px−<br />
c2 √ v<br />
1−(<br />
c )2<br />
v x<br />
d t−<br />
c<br />
dt<br />
2 √ v<br />
1−( c )2<br />
dpx<br />
dt<br />
v − c2 dE<br />
dt<br />
v ux<br />
c2 1 −<br />
F ′ x = Fx − v<br />
For y ′ -komponenten findes tilsvarende<br />
Anal<strong>og</strong>t fås<br />
F ′ y = dp′ y<br />
=<br />
dt ′<br />
F ′ y =<br />
F ′ y = Fy<br />
F ′ z = Fz<br />
<br />
c2 u · F<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
dp ′ y<br />
dt<br />
dt ′<br />
dt<br />
d<br />
dtpy v ux<br />
1−<br />
c2 √ v<br />
1−( c )2<br />
1 − ( v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
1 − ( v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
⇔ (4.74)<br />
⇔ (4.75)<br />
⇔ (4.76)<br />
(4.77)<br />
⇔ (4.78)<br />
⇔ (4.79)<br />
c )2<br />
c )2<br />
(4.80)<br />
(4.81)<br />
Vi kan altså konkludere, at i den relativistiske udgave af mekanikken er<br />
kraften ikke en Lorentzinvariant størrelse. Dette står imodsætning til den<br />
urelativistiske udgave af mekanikken, hvor kraften er Galileiinvariant.<br />
Vi kan ligeledes se, at ligningerne <strong>for</strong> kraftens trans<strong>for</strong>mation ikke har samme<br />
<strong>for</strong>m som Lorentztrans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> tid <strong>og</strong> sted.
66 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
m m<br />
u −u<br />
Før stød<br />
mny<br />
Efter stød<br />
Figur 4.10: Omdannelse af energi til masse.<br />
4.7 Ækvivalensen mellem masse <strong>og</strong> energi<br />
Vi betragter et uelastisk stød mellem to ens partikler, som støder frontalt<br />
sammen <strong>og</strong> danner en ny partikel. Se Fig. (4.10).<br />
Lad de to partikler hver have en hvilemasse på m <strong>og</strong> den nydannede partikel<br />
hvilemassen mny. De to ens partikler har hastighederne u <strong>og</strong> −u efter x-aksen<br />
i systemet S. I S gælder da <strong>for</strong> de to partiklers impuls p1 <strong>og</strong> p2<br />
p1 + p2 = 0 (4.82)<br />
Da impulsen er bevaret, er impulsen <strong>for</strong> den nye partikel p3 = 0, <strong>og</strong> den<br />
nye partikel ligger altså stille i systemet S. I et andet inertialsystem, S ′ , har<br />
partiklerne andre impulser, men impulsbevarelsen er stadig opfyldt<br />
p ′<br />
1 + p ′<br />
2 = p ′<br />
3<br />
(4.83)<br />
Disse impulser kan udtrykkes ved størrelser observeret i S vha. ligning (4.50)<br />
p ′ 1x + p ′ 2x = p1x − v<br />
c2 E1<br />
<br />
v 1 − ( c )2 + p2x − v<br />
c2 E2<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
= p1x + p2x<br />
<br />
v 1 − ( c<br />
)2 −<br />
v<br />
c2 (E1 + E2)<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
= p ′ 3x = p3x − v<br />
c 2 E3<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(4.84)<br />
(4.85)<br />
(4.86)
4.8 Lys 67<br />
hvor E1 <strong>og</strong> E2 er energierne af de to ens partikler <strong>og</strong> E3 er energien af den<br />
nye partikel, alle målt i systemet S.<br />
Da p1x + p2x = p3x = 0 får vi af de to sidste ligninger<br />
E1 + E2 = E3<br />
(4.87)<br />
Vi har altså vist, at under antagelse af at impulsen er bevaret, er <strong>og</strong>så den<br />
totale relativistiske energi bevaret. Endvidere fås af ligning (4.87) samt<br />
at<br />
E1 = E2 =<br />
m c2<br />
<br />
u 1 − ( c )2 <strong>og</strong> E3 = mny c 2<br />
mny c 2 =<br />
2 m c2<br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
(4.88)<br />
(4.89)<br />
Bemærk at mny er større end summen af de to oprindelige partiklers hvilemasser,<br />
<strong>og</strong> at <strong>for</strong>skellen ∆m = mny − 2 m er bestemt af<br />
∆m c 2 = mny c 2 − 2 m c 2 <br />
2 m c<br />
= 2 − m c2 = 2 Ekin (4.90)<br />
u 1 − ( )2<br />
c<br />
hvor Ekin er den kinetiske energi af én partikel. Den kinetiske energi af de<br />
to oprindelige partikler er altså omdannet til hvilemasse i den nydannede<br />
partikel.<br />
4.8 Lys<br />
Lys med frekvens f er ifølge Einsteins <strong>for</strong>klaring af den fotoelektriske effekt<br />
en strøm af fotoner med energi<br />
E = h f (4.91)<br />
hvor h er Plancks konstant. Da fotonen er masseløs er den tilhørende impuls<br />
p =<br />
h f<br />
c<br />
4.8.1 Longitudinal Dopplereffekt<br />
(4.92)<br />
Vi kan nu benytte trans<strong>for</strong>mationsegenskaberne <strong>for</strong> energi <strong>og</strong> impuls til at<br />
udlede Dopplereffekten <strong>for</strong> lys. I inertialsystemet S ′ , hvor lysgiveren er i<br />
hvile, udsendes lys i x ′ -aksens retning med frekvensen f ′ <strong>og</strong> dermed energien
68 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
y ′<br />
S ′<br />
Mod iagttager Iagttager Væk fra iagttager<br />
v<br />
x ′<br />
y<br />
S<br />
Figur 4.11: Ny udledning af Dopplereffekt.Der ses på to tilfælde: Kilde på<br />
vej mod iagttager <strong>og</strong> kilde på vej væk fra iagttager.<br />
h f ′<br />
c<br />
E ′ = h f ′ <strong>og</strong> impulsen p ′ x = . Se Fig. (4.11).<br />
I inertialsystemet S er energien da i tilfældet ’Mod iagttager’<br />
E = E′ + v p ′ x<br />
som da E = h f umiddelbart giver<br />
<br />
1 − = h f<br />
v 2<br />
c<br />
′<br />
f = f ′<br />
<br />
1 + v<br />
c<br />
1 − v<br />
c<br />
<br />
1 + v<br />
c<br />
1 − v<br />
c<br />
Tilfældet ’Væk fra iagttager’ er helt anal<strong>og</strong>t, blot med <strong>for</strong>tegnsskift<br />
som dermed giver<br />
<br />
1 − = h f<br />
v 2<br />
c<br />
′<br />
E = E′ − v p ′ x<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
1 + v<br />
c<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
1 + v<br />
c<br />
x<br />
y ′<br />
S ′<br />
v<br />
(4.93)<br />
(4.94)<br />
(4.95)<br />
(4.96)<br />
Ligningerne (4.94) <strong>og</strong> (4.96) er netop de tidligere udledte ligninger (3.85) <strong>og</strong><br />
(3.87) <strong>for</strong> den longitudinale Dopplereffekt.<br />
x ′
4.8 Lys 69<br />
4.8.2 Vilkårlig retning af lys<br />
Hvis lyset udsendes efter en anden retning end x ′ -aksen i systemet S ′ , men<br />
stadig i x ′ y ′ -planen, har fotonen en impulskomponent både i x ′ - <strong>og</strong> i y ′ -<br />
retningen. Lad vinklen fotonens impuls danner med x ′ -aksen være α ′ . Da<br />
er<br />
E ′ = h f ′<br />
p ′ x =<br />
p ′ y =<br />
(4.97)<br />
′ h f<br />
cos(α<br />
c<br />
′ ) (4.98)<br />
′ h f<br />
sin(α<br />
c<br />
′ ) (4.99)<br />
Disse trans<strong>for</strong>meres til inertialsystemet S, <strong>og</strong> resultatet er<br />
E = h f<br />
px =<br />
py =<br />
h f ′<br />
c<br />
h f ′<br />
c<br />
c cos(α′ )<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
′ 1 + v<br />
cos(α ′ ) + v<br />
c <br />
2 1 − v<br />
c<br />
Af ligning (4.100) følger at frekvensen f i S er<br />
f = f<br />
(4.100)<br />
(4.101)<br />
sin(α ′ ) (4.102)<br />
c cos(α′ )<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
′ 1 + v<br />
(4.103)<br />
Da der i inertialsystemet S gælder px = cos(α), hvor α er den vinkel,<br />
c<br />
impulsen i S danner med x-aksen, kan vi ved anvendelse af ligningerne (4.101)<br />
<strong>og</strong> (4.103) finde sammenhængen mellem retningerne α ′ <strong>og</strong> α<br />
h f<br />
cos(α) = cos(α′ ) + v<br />
c<br />
1 + v<br />
c cos(α′ )<br />
(4.104)<br />
For en lysgiver, der udsender lys i alle retninger, <strong>og</strong> som bevæger sig henimod<br />
en iagttager, ses at gælde ifølge ligning (4.104) cos(α) ≥ cos(α ′ ). Vinklen α<br />
er dermed mindre end eller lig med vinklen α ′ <strong>og</strong> kun lig med <strong>for</strong> α ′ =<br />
0 ∨ α ′ = π. Hvis der udsendes lys med samme intensitet i alle retninger i<br />
kildens hvilesystem S ′ , vil lyset af iagttageren ses at være mere koncentreret<br />
i <strong>for</strong>læns retning. Denne effekt kaldes ’Relativistisk beaming’. Se Fig. (4.12).<br />
Den omvendte ligning til ligning (4.104) er
70 Relativistisk dynamik: Indledning<br />
α : vinklen målt i S<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
v/c=-0.8<br />
v/c=-09<br />
v/c=0.8<br />
v/c=0.9<br />
0<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5<br />
α' : vinklen målt i S'<br />
Figur 4.12: Relativistisk ’beaming’.<br />
cos(α ′ ) =<br />
cos(α) − v<br />
c<br />
1 − v<br />
c cos(α)<br />
som kan benyttes i ligning (4.103), som derved bliver<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
1 − v<br />
c cos(α)<br />
(4.105)<br />
(4.106)<br />
Da α = π − θ, hvor θ er retningen i S til lysgiveren (se Fig. (3.8) <strong>og</strong> Fig.<br />
(4.13)), bliver ligning (4.106)<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
(4.107)<br />
1 + v<br />
c cos(θ)<br />
Dette er netop det generelle relativistiske udtryk <strong>for</strong> Dopplereffekten, vi fandt<br />
tidligere (se ligning (3.97)).
4.8 Lys 71<br />
Iagttager<br />
Kilde<br />
Figur 4.13: Dopplereffekt <strong>for</strong>vilkårlig retning til kilde.<br />
θ<br />
α<br />
v
72 Relativistisk dynamik: Indledning
Kapitel 5<br />
Relativistisk dynamik:<br />
Partikelsystemer<br />
Dette kapitel giver eksempler på anvendelse af relativistisk dynamik i <strong>for</strong>bindelse<br />
med partikelproduktion <strong>og</strong> partikelhenfald. Der udledes visse bånd i <strong>for</strong>bindelse<br />
med disse processer. Disse bånd er uafhængige af, hvilke mekanismer der ligger<br />
bag processerne. Til slut behandles massebevarelse i urelativistisk fysik.<br />
5.1 Invarians<br />
For en enkelt partikel med hvilemasse m er E 2 − (c p) 2 = (m c 2 ) 2 , hvor energi<br />
<strong>og</strong> impulse er målt i inertialsystemet S. I inertialsystemet S ′ gælder<br />
tilsvarende E ′2 − (c p ′ ) 2 = (m c 2 ) 2 . Dvs. <strong>for</strong> en enkelt partikel gælder, at<br />
E 2 −(c p) 2 er invariant. Dette kunne vi <strong>og</strong>så vise direkte ved at se på, hvorledes<br />
(E, p) i S trans<strong>for</strong>merer til (E ′ , p ′ ) i S ′ <strong>og</strong> udregne de to størrelser i henholdsvis<br />
S <strong>og</strong> i S ′ . For et partikelsystem bestående af n partikler med hver<br />
deres energi <strong>og</strong> impuls (Ei, pi), i = 1, . . . , n er den samlede energi <strong>og</strong> impuls<br />
(E, p) af partikelsystemet<br />
E =<br />
p =<br />
n<br />
i=1<br />
Ei<br />
n<br />
pi<br />
i=1<br />
(5.1)<br />
(5.2)<br />
Da trans<strong>for</strong>mationen af energi <strong>og</strong> impuls fra S til S ′ er lineær <strong>for</strong> hver enkelt<br />
partikel, trans<strong>for</strong>merer den samlede energi <strong>og</strong> impuls på helt samme måde<br />
73
74 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer<br />
som energi <strong>og</strong> impuls <strong>for</strong> en enkelt partikel. Der<strong>for</strong> vil <strong>og</strong>så 1<br />
s = E 2 − (c p) 2 = n <br />
i=1<br />
2 <br />
Ei − c<br />
n<br />
i=1<br />
2 pi<br />
(5.3)<br />
være invariant. Det er altså underordnet, om s udregnes i S eller i S ′ .<br />
Partiklerne i vores system kan tænkes at reagere med hinanden, således at<br />
de partikler, vi har i sluttilstanden, er <strong>for</strong>skellige fra de partikler, vi har i<br />
begyndelsestilstanden. Men da energien <strong>og</strong> impulsen af partikelsystemet er<br />
bevarede størrelser<br />
n1 <br />
E<br />
i=1<br />
beg<br />
i<br />
n1 <br />
p<br />
i=1<br />
beg<br />
i<br />
=<br />
n2 <br />
j=1<br />
E slut<br />
j<br />
−→<br />
=<br />
n2 −−→<br />
j=1<br />
p slut<br />
j<br />
(5.4)<br />
(5.5)<br />
er værdien af s <strong>og</strong>så den samme før <strong>og</strong> efter en eventuel reaktion mellem<br />
partiklerne. Konklusionen er, at s ikke blot er uafhængig af i hvilket inertialsystem,<br />
den udregnes i, men den er <strong>og</strong>så uafhængig af, om den udregnes før<br />
eller efter, at en reaktion mellem partiklerne har fundet sted.<br />
Det har ofte i elementarpartikelfysik interesse at beskrive reaktioner mellem<br />
partikler i det specielle inertialsystem, hvor den samlede impuls er nul. Dette<br />
inertialsystem betegnes CM-systemet (CM <strong>for</strong> center of mass). I dette system<br />
bliver s = n i=1 ECM<br />
2, i altså kvadratet på den samlede energi i CMsystemet.<br />
5.2 Partikelproduktion<br />
Et typisk eksperiment i elementarpartikelfysik er at lade to partikler støde<br />
sammen <strong>for</strong> derefter at registrere de partikler, der bliver produceret ved<br />
stødet<br />
A + B → C + D + E + · · · (5.6)<br />
Energi <strong>og</strong> impuls antages kendte <strong>for</strong> partiklerne A <strong>og</strong> B. For at afgøre om<br />
der er tilstrækkelig energi til rådighed til at producere partiklerne i sluttilstanden,<br />
er det mest hensigtsmæssigt at se på den samlede energi i CMsystemet.<br />
I CM-systemet er den samlede impuls jo nul, <strong>og</strong> dette kan opnås<br />
1 Vi har ganske vist brugt symbolet s før (se ligning (3.2)), men der er i elementarpartikelfysik<br />
tradition <strong>for</strong> i denne situation at benytte s som her defineret. Det er en af de<br />
såkaldte Mandelstamvariable.
5.2 Partikelproduktion 75<br />
ved den specielle situation, hvor alle partikler i dette system ligger stille<br />
således, at al deres energi er hvileenergi. En nødvendig betingelse <strong>for</strong>, at<br />
den ønskede reaktion kan finde sted, er der<strong>for</strong>, at den samlede energi i CMsystemet<br />
er mindst lig summen af slutpartiklernes hvileenergier. Den samlede<br />
energi i CM-systemet findes lettest ved at udregne den invariante størrelse s,<br />
da E CM = √ s.<br />
Lad os se på en speciel udgave af reaktionen i ligning (5.6), nemlig<br />
A + B → A + B + C + D + · · · (5.7)<br />
Masserne af partiklerne A <strong>og</strong> B er mA <strong>og</strong> mB. Summen af masserne <strong>for</strong> de<br />
nye partikler C, D, ... er M. I laboratoriesystemet ligger partikkel B stille,<br />
<strong>og</strong> vi ønsker at bestemme den mindste kinetiske energi Ekin af partikel A,<br />
således at reaktionen er kinematisk mulig. Dette gøres ved at udregne den<br />
invariante størrelse s. For begyndelsessituationen udregnes s i LAB-systemet,<br />
<strong>og</strong> <strong>for</strong> slutsituationen udregnes s i CM-systemet. Mindste energi er den, hvor<br />
alle partikler i slutsituationen har impulsen nul i CM-systemet. Vi får<br />
(EA + mB c 2 ) 2 − pA 2 c 2 = (mA + mB + M) 2 c 4<br />
(5.8)<br />
hvor EA er den totale energi af partikel A i LAB-systemet. Under anvendelse<br />
af ligning (4.43) <strong>for</strong> partikel A bestemmes EA af denne ligning<br />
EA = 2 mA mB + 2 mA M + 2 mB M + M 2<br />
2 mB<br />
Heraf findes Ekin = EA − mA c 2 til<br />
Ekin = M<br />
mB (mA + mB + 1 M) c2<br />
2<br />
c 2<br />
(5.9)<br />
(5.10)<br />
Lad os se på et eksperiment hvor partikel A (beampartiklen) med masse mA<br />
<strong>og</strong> energi <strong>og</strong> impuls (EA, pA) i laboratoriesystemet støder ind i den stationære<br />
partikel B (targetpartiklen) med masse mB <strong>og</strong> energi <strong>og</strong> impuls (mB c 2 , o)<br />
<strong>og</strong>så i laboratoriesystemet. Vi finder s<br />
Heraf følger<br />
s = (EA + mB c 2 ) 2 − (c pA) 2 ⇔ (5.11)<br />
s = 2 mB c 2 EA + (mA c 2 ) 2 + (mB c 2 ) 2<br />
(5.12)<br />
E CM = 2 mB c 2 EA + (mA c 2 ) 2 + (mB c 2 ) 2 (5.13)
76 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer<br />
Ligning (5.13) viser, at den portion energi, der er til rådighed til partikelproduktion,<br />
kun vokser med kvadratroden af laboratorieenergien af beampartiklen.<br />
Det vil altså groft taget sige, at <strong>for</strong> at få ti gange så meget energi til<br />
rådighed, skal beampartiklens energi gøres hundrede gange så stor. Og det<br />
er dyrt!!<br />
Dette problem kan omgås ved at benytte to kolliderende beams, da man<br />
derved kan opnå at være i CM-systemet fra start. Her er altså al den energi,<br />
man har givet de to partikler, til rådighed til partikelproduktion. Men ingen<br />
roser uden torne. Det er selvfølgelig langt vanskeligere at styre to beams<br />
igennem hinanden, end det er at ramme et stillestående target. Desuden vil<br />
antallet af reaktioner pr. tid gå ned, da der vil være mange "<strong>for</strong>biere".<br />
5.3 Partikelhenfald<br />
En ustabil partikel A med hvilemasse mA henfalder til to partikler B <strong>og</strong> C<br />
med hvilemasser henholdsvis mB <strong>og</strong> mC<br />
A → B + C (5.14)<br />
I partikel A’s hvilesystem er impulserne af B <strong>og</strong> C lige store (men modsatrettede)<br />
ifølge impulsbevarelsesloven. Lad denne fælles impulslængde være p.<br />
Partiklernes energier betegnes henholdsvis EA, EB <strong>og</strong> EC. For hver af partiklerne<br />
B <strong>og</strong> C gælder<br />
E 2 B − c 2 p 2 = (mB c 2 ) 2<br />
E 2 C − c 2 p 2 = (mC c 2 ) 2<br />
Ligning (5.16) trækkes fra ligning (5.15), <strong>og</strong> vi får<br />
E 2 B − E 2 C = (EB + EC)(EB − EC) = (mB c 2 ) 2 − (mC c 2 ) 2<br />
Energibevarelsen medfører<br />
EB + EC = EA = mA c 2<br />
Ligning (5.17) divideres med ligning (5.18), <strong>og</strong> følgende ligning dukker op<br />
EB − EC = (mB c 2 ) 2 − (mC c 2 ) 2<br />
mA c 2<br />
Ligningerne (5.18) <strong>og</strong> (5.19) løses med hensyn til EB <strong>og</strong> EC<br />
EB = m2 A + m2 B − m2 C<br />
2 mA<br />
EC = m2 A − m2 B + m2 C<br />
2 mA<br />
c 2<br />
c 2<br />
(5.15)<br />
(5.16)<br />
(5.17)<br />
(5.18)<br />
(5.19)<br />
(5.20)<br />
(5.21)
5.4 Annihilation 77<br />
Da vi nu har fundet energierne af B <strong>og</strong> C, kan vi <strong>og</strong>så finde impulslængden<br />
p ved at benytte enten ligning (5.15) eller ligning (5.16). Resultatet er<br />
<br />
2 (mA − (mB + mC)<br />
p =<br />
2 )(m2 A − (mB − mC) 2 )<br />
c (5.22)<br />
2 mA<br />
Bemærk at partiklerne B <strong>og</strong> C indgår symmetrisk i ligning (5.22).<br />
5.4 Annihilation<br />
Ved reaktion mellem en partikel <strong>og</strong> dens antipartikel kan en mulig sluttilstand<br />
være to fotoner. Et eksempel på dette er elektronpositronannihilation<br />
e + + e − → γ + γ (5.23)<br />
Partiklen <strong>og</strong> dens antipartikel har samme masse m. Vi ser på situationen i<br />
LAB-systemet, hvor partiklen er i hvile, <strong>og</strong> hvor antipartiklen har energi E<br />
<strong>og</strong> impuls p. Fotonernes impulser er henholdsvis p1 <strong>og</strong> p2, <strong>og</strong> deres energier<br />
er E1 <strong>og</strong> E2. Se Fig. (5.1).<br />
y<br />
x<br />
Figur 5.1: Partikel-antipartikelannihilation til to fotoner.<br />
Sammenhængen mellem impuls <strong>og</strong> energi <strong>for</strong> en masseløs partikel som fotonen<br />
er som bekendt E = c |p|. Energi- <strong>og</strong> impulsbevarelse giver følgende tre<br />
ligninger<br />
p<br />
m c 2 + E = E1 + E2<br />
p = E1<br />
c<br />
0 = E1<br />
c<br />
E2 cos(θ) + c<br />
E2 sin(θ) − c<br />
θ<br />
φ<br />
p2<br />
p1<br />
(5.24)<br />
cos(φ) (5.25)<br />
sin(φ) (5.26)
78 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer<br />
Vi ønsker at finde fotonenergien E1 som funktion af vinklen θ <strong>for</strong> fast værdi<br />
af den indkommende antipartikels energi E.<br />
Af ligning (5.26) findes<br />
<br />
cos(φ) = ± 1 − <br />
E1<br />
2 2 sin (θ) (5.27)<br />
E2<br />
Dette indsættes i ligning (5.25), <strong>og</strong> der rumsteres<br />
<br />
p − E1<br />
c cos(θ)<br />
2 = E2 2<br />
c2 <br />
1 − <br />
E1<br />
2 2<br />
sin (θ)<br />
E2<br />
Med brug af E2 = m c 2 + E − E1 fra ligning (5.24) kan vi nu finde E1<br />
E1 =<br />
m c2 (m c 2 + E)<br />
m c 2 + E − c p cos(θ)<br />
Tilsvarende findes den anden fotons energi<br />
E2 =<br />
m c2 (m c 2 + E)<br />
m c 2 + E − c p cos(φ)<br />
(5.28)<br />
(5.29)<br />
(5.30)<br />
Det ses, at E1 er maksimal <strong>for</strong> θ = 0 o , altså med fotonens impuls i <strong>for</strong>læns<br />
retning. E1 er minimal <strong>for</strong> θ = 180 o , dvs. fotonens impuls er bagudrettet. For<br />
θ = 0 o er φ = 180 o , <strong>og</strong> <strong>for</strong> θ = 180 o er φ = 0 o , således at maksimal energi <strong>for</strong><br />
den ene foton svarer til minimal energi <strong>for</strong> den anden foton <strong>og</strong> vice versa.<br />
Den maksimale <strong>og</strong> den minimale energi er, idet vi benytter c p = √ E 2 − m 2 c 4<br />
E maks =<br />
E min =<br />
m c 2 (m c 2 + E)<br />
m c 2 + E − √ E 2 − m 2 c 4<br />
m c 2 (m c 2 + E)<br />
m c 2 + E + √ E 2 − m 2 c 4<br />
(5.31)<br />
(5.32)<br />
For lave hastigheder v af antipartiklen er E ≈ m c2 <strong>og</strong> p ≈ m v, således<br />
at<br />
E1 = E2 ≈ m c2 · 2 m c2 = m c 2<br />
(5.33)<br />
2 m c 2<br />
uafhængig af vinklen θ.<br />
For meget store hastigheder af antipartiklen er E ≫ m c 2 <strong>og</strong> c p ≈ E. For<br />
den mindste energi af fotonen gælder da<br />
E min =<br />
m c2 (m c2 + E)<br />
m c2 + E + √ E2 − m2 c4 ≈ m c2 E<br />
2 E<br />
1 = m c2<br />
2<br />
(5.34)
5.5 CM-system <strong>og</strong> LAB-system 79<br />
<strong>og</strong> dermed <strong>og</strong>så<br />
E max ≈ E + 1 m c2<br />
2<br />
5.5 CM-system <strong>og</strong> LAB-system<br />
(5.35)<br />
For et eksperiment, der udføres med et stillestående target <strong>og</strong> en beampartikel<br />
med høj energi, måles de spredte eller de producerede partikler naturligt i<br />
laboratoriesystemet, LAB-systemet. Men ved mange teoretiske overvejelser<br />
<strong>for</strong>etrækkes CM-systemet. Det er der<strong>for</strong> vigtigt at kunne trans<strong>for</strong>mere fysiske<br />
størrelser fra det ene system til det andet. For at kunne gøre det er det<br />
nødvendigt at kende de to systemers hastighed i <strong>for</strong>hold til hinanden udtrykt<br />
ved de relevante kinematiske variable.<br />
Lad beampartiklens masse være mb <strong>og</strong> dens impuls pL <strong>og</strong> den dertil hørende<br />
energi EL i LAB-systemet. Targetpartiklens masse er mt, <strong>og</strong> dens impuls er<br />
nul i LAB-systemet. Ved at trans<strong>for</strong>mere til CM-systemet findes impulserne<br />
her at være (vi ser her kun på x/x ′ -retningen)<br />
p ′ b = pL − v<br />
c2 EL<br />
<br />
2 1 − v<br />
c<br />
p ′ t = −mt v<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
(5.36)<br />
(5.37)<br />
hvor v er CM-systemets hastighed i <strong>for</strong>hold til LAB-systemet. Da CM-systemet<br />
er defineret ved, at den samlede impuls i dette system skal være nul, skal følgende<br />
være opfyldt<br />
Heraf findes v<br />
pL − v<br />
c2 EL<br />
<br />
1 − +<br />
v 2<br />
c<br />
−mt v<br />
<br />
1 − = 0 (5.38)<br />
v 2<br />
c<br />
v =<br />
pL<br />
mt + EL<br />
c 2<br />
Ved at anvende ligning (4.43) omskrives dette til<br />
v<br />
c =<br />
<br />
2 EL − (mb c2 ) 2<br />
EL + mt c2 (5.39)<br />
(5.40)<br />
Af denne ligning ses umiddelbart v < c, <strong>og</strong> dermed har v en fysisk realistisk<br />
værdi. For mb = mt bliver ligning (5.40)<br />
v<br />
c =<br />
<br />
EL − mt c2 EL + mt c2 (5.41)
80 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer<br />
Blandt de partikler, som reaktionen resulterer i, ser vi nu på en bestemt<br />
partikel, som vi vil kalde Ny. Lad denne partikel bevæge sig i xy-planen i<br />
LAB-systemet <strong>og</strong> lad dens bevægelsesretning være givet ved den vinkel θLAB,<br />
som dens impuls danner med x-aksen. Den tilsvarende vinkel θCM i CMsystemet<br />
kan da findes af den tidligere udledte <strong>for</strong>mel, ligning (3.58), idet vi<br />
nu benytter sammenhængen mellem den nye partikels hastighed −→<br />
uNy , impuls<br />
−→<br />
pNy <strong>og</strong> energi ENy (se ligning (4.44)) alle målt i LAB-systemet<br />
u Ny<br />
x = c2<br />
E Ny pNy cos(θLAB) (5.42)<br />
u Ny<br />
y = c2<br />
E Ny pNy sin(θLAB) (5.43)<br />
hvor pNy = | −→<br />
pNy |. Ved en lille omskrivning finder vi, at vinklen θLAB er fastlagt<br />
ved<br />
<br />
1 −<br />
tan(θCM) =<br />
<br />
v 2 Ny p sin(θLAB)<br />
c<br />
pNy cos(θLAB) − v<br />
c2 ENy (5.44)<br />
Den urelativistiske grænse Ligning (5.39) kan i den urelativistiske grænse,<br />
dvs. <strong>for</strong> lave beamenergier, hvor EL ≈ mb c2 <strong>og</strong> pL ≈ mb vb, approksimeres<br />
ved<br />
v ≈<br />
mb<br />
(5.45)<br />
vb<br />
mt + mb<br />
som netop er det sædvanlige urelativistiske udtryk <strong>for</strong> massemidtpunktets<br />
hastighed i denne situation. Tilsvarende fås i denne grænse at ligning (5.44)<br />
under anvendelse af E Ny ≈ m Ny c 2 <strong>og</strong> p Ny ≈ m Ny u Ny , hvor m Ny , u Ny <strong>og</strong> E Ny<br />
henholdsvis er den nye partikels masse, fart <strong>og</strong> energi i LAB-systemet, kan<br />
approksimeres ved<br />
tan(θCM) ≈ uNy sin(θLAB)<br />
u Ny cos(θLAB) − v<br />
som <strong>og</strong>så er det sædvanlige urelativistiske resultat da<br />
−−→<br />
uCM = −−→<br />
uLAB − v =<br />
uLAB cos(θLAB) − v<br />
uLAB sin(θLAB)<br />
<br />
(5.46)<br />
(5.47)<br />
som anvendt i vores problem, hvor uLAB er farten u Ny <strong>for</strong> partiklen Ny, netop<br />
medfører<br />
tan(θCM) = uNy sin(θLAB)<br />
u Ny cos(θLAB) − v<br />
(5.48)
5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik 81<br />
5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik<br />
I den relativistiske beskrivelse af fysiske fænomener har vi nu set, at der ikke<br />
nødvendigvis er massebevarelse ved alle processer, idet en del af partiklernes<br />
hvilemasse kan omdannes til energi, eller det kan være den omvendte proces,<br />
hvor en del af energien omdannes til hvilemasse. Vi vil i dette afsnit se på<br />
sammenhængen mellem massebevarelse, Galileitrans<strong>for</strong>mation <strong>og</strong> impulsbevarelse<br />
samt bevarelse af kinetisk energi ved elastiske stød i urelativistisk<br />
fysik.<br />
5.6.1 Massebevarelse <strong>og</strong> impulsbevarelse<br />
Der er på sædvanlig vis to inertialsystemer S <strong>og</strong> S ′ , hvor S ′ bevæger sig med<br />
hastighed v i <strong>for</strong>hold til S. Lad der være givet n partikler som vekselvirker<br />
med hinanden, <strong>og</strong> hvor der efter vekselvirkningen er N partikler. Partiklernes<br />
masser før vekselvirkningen betegnes mi , i = 1, . . . , n, <strong>og</strong> partiklernes masser<br />
efter vekselvirkningen betegnes Mi , i = 1, . . . , N. Det antages, at massen<br />
af en partikel er en Galileiinvariant størrelse. I systemet S er partiklernes<br />
hastighed før vekselvirkningen ui , i = 1, . . . , n <strong>og</strong> efter vekselvirkningen er<br />
deres hastighed wi , i = 1, . . . , N. Impulsbevarelsen i systemet S betyder<br />
n<br />
mi ui =<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
Mi wi<br />
(5.49)<br />
Ved at benytte Galileitrans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> hastighed, u = u ′ +v, kan ligning<br />
(5.49) omskrives til<br />
n<br />
i=1<br />
mi ( u ′ i<br />
+ v) =<br />
n<br />
mi u ′ i + n <br />
mi v =<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
Mi ( w ′ i<br />
hvor u ′ i <strong>og</strong> w ′ i betegner partiklernes hastigheder i S′ .<br />
Ved at benytte at der <strong>og</strong>så er impulsbevarelse i S ′ ,<br />
medfører ligning (5.51), at<br />
n<br />
i=1<br />
n <br />
i=1<br />
mi u ′ i =<br />
mi<br />
+ v) ⇔ (5.50)<br />
N<br />
Mi w ′ i + N <br />
Mi v (5.51)<br />
N<br />
i=1<br />
v = N <br />
i=1<br />
Mi w ′ i<br />
i=1<br />
(5.52)<br />
<br />
Mi v (5.53)
82 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer<br />
hvoraf fås<br />
n<br />
i=1<br />
mi =<br />
N<br />
i=1<br />
Mi<br />
(5.54)<br />
Vi har altså vist, at impulsbevarelse i alle inertialsystemer i kombination<br />
med Galileitrans<strong>for</strong>mationen medfører, at den samlede masse er en bevaret<br />
størrelse.<br />
Vi bytter nu lidt rundt på <strong>for</strong>udsætninger <strong>og</strong> konklusion. Antag at der gælder<br />
massebevarelse, Galileitrans<strong>for</strong>mation, <strong>og</strong> at impulsen er bevaret i et bestemt<br />
inertialsystem S ′<br />
n<br />
mi u ′ i =<br />
N<br />
(5.55)<br />
i=1<br />
i=1<br />
Mi w ′ i<br />
Impulsen i inertialsystemet S er da før, pf, henholdsvis efter vekselvirkningen,<br />
pe<br />
pf =<br />
pe =<br />
n<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
mi ( u ′ i<br />
Mi ( w ′ i<br />
+ v) =<br />
+ v) =<br />
n<br />
mi u ′ i + n <br />
mi v (5.56)<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
N<br />
Mi w ′ i + N <br />
Mi v (5.57)<br />
Med anvendelse af impulsbevarelse i S ′ samt af massebevarelse følger af<br />
ligningerne (5.56) <strong>og</strong> (5.57), at pf = pe, altså, at der er <strong>og</strong>så er impulsbevarelse<br />
i alle andre inertialsystemer.<br />
5.6.2 Massebevarelse <strong>og</strong> kinetisk energi<br />
For et elastisk stød gælder pr. definition, at den kinetiske energi før <strong>og</strong> efter<br />
stødet er ens. I inertialsystemet S er denne betingelse<br />
1<br />
2<br />
n<br />
i=1<br />
mi ui 2 = 1<br />
2<br />
N<br />
i=1<br />
i=1<br />
Mi wi 2<br />
Ved at anvende Galileitrans<strong>for</strong>mationen omskrives dette til<br />
1<br />
2<br />
n<br />
i=1<br />
mi u ′ i<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
n <br />
i=1<br />
2<br />
mi v +v·<br />
n<br />
i=1<br />
mi u ′ i<br />
= 1<br />
2<br />
N<br />
i=1<br />
Mi w ′ i<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
N <br />
i=1<br />
(5.58)<br />
2<br />
Mi v +v·<br />
(5.59)<br />
Hvis stødet <strong>og</strong>så kan betragtes som værende elastisk i inertialsystemet S ′ ,<br />
kan vi af ligning (5.59) slutte, at der gælder massebevarelse, <strong>og</strong> at impulsen<br />
er bevaret i systemet S ′ .<br />
N<br />
i=1<br />
Mi w ′ i
5.6 Massebevarelse i urelativistisk fysik 83<br />
Igen bytter vi nu lidt rundt på <strong>for</strong>udsætninger <strong>og</strong> konklusion. Vi går ud fra<br />
gyldigheden af Galileitrans<strong>for</strong>mationen, massebevarelse samt impulsbevarelse<br />
i inertialsystemet S ′ . Lad os nu antage, at den kinetiske energi er bevaret i<br />
systemet S ′<br />
E ′ før<br />
kin<br />
= 1<br />
2<br />
n<br />
i=1<br />
mi u ′ 2<br />
i<br />
= 1<br />
2<br />
N<br />
i=1<br />
Mi w ′ 2<br />
i<br />
= E ′ efter<br />
kin<br />
(5.60)<br />
I inertialsystemet S er den kinetiske energi før <strong>og</strong> efter stødet henholdsvis<br />
E før 1<br />
kin =<br />
2<br />
E efter<br />
kin = 1<br />
2<br />
n<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
mi ui 2<br />
= 1<br />
2<br />
Mi wi 2 = 1<br />
2<br />
n<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
mi u ′ 2<br />
i<br />
Mi w ′ 2<br />
i<br />
+ 1<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
n <br />
i=1<br />
N <br />
i=1<br />
2<br />
mi v + v ·<br />
2<br />
Mi v + v ·<br />
n<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
mi u ′ i<br />
(5.61)<br />
Mi w ′ i<br />
(5.62)<br />
Da vi har antaget massebevarelse <strong>og</strong> impulsbevarelse i S ′ , følger af ligningerne<br />
(5.61) <strong>og</strong> (5.62) at E før<br />
kin = Eefter kin , dvs. den kinetiske energi er <strong>og</strong>så bevaret i<br />
inertialsystemet S. Stødet er altså <strong>og</strong>så elastisk set fra S.
84 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
Kapitel 6<br />
Relativistisk dynamik:<br />
Bevægelsesligningen<br />
I dette kapitel behandles n<strong>og</strong>le konkrete anvendelser af den relativistiske<br />
bevægelsesligning. De løsninger, vi finder, vil blive sammenlignet med de<br />
løsninger, vi ville få ved en urelativistisk behandling af problemet.<br />
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt<br />
6.1.1 Begyndelseshastighed nul<br />
Vi betragter en partikel med masse m <strong>og</strong> positiv elektrisk ladning q, der<br />
befinder sig i et hom<strong>og</strong>ent tidsuafhængigt elektrisk felt E rettet efter x-aksen.<br />
Kraften på partiklen er F = q E i den positive x-akses retning. Partiklen<br />
bliver derved accelereret i den positive x-akses retning. Hvis partiklens begyndelseshastighed<br />
til tiden t = 0 er u = o, vil partiklen <strong>for</strong>etage en retlinet<br />
bevægelse langs x-aksen. Vi ønsker at bestemme partiklens hastighed <strong>og</strong> sted<br />
som funktion af tiden t. Da bevægelsen <strong>for</strong>egår langs x-aksen, vil vi kun se på<br />
hastigheden i denne retning. Denne vil blive betegnet u. Ifølge ligning (4.21)<br />
gælder<br />
m d u<br />
<br />
dt<br />
u 1 − ( c )2<br />
<br />
= q E ⇔ (6.1)<br />
u<br />
1 − ( u<br />
c<br />
85<br />
)2 = q E<br />
m<br />
t (6.2)
86 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
hvor E = | E| 1 <strong>og</strong> hvor vi har benyttet u(0) = 0. Hermed kan hastigheden<br />
som funktion af tiden bestemmmes ved at isolere u i ligning (6.2). Dette giver<br />
u =<br />
<br />
1 +<br />
q E<br />
m t<br />
q E<br />
m c<br />
Bemærk at ligning (6.3) kan omskrives til<br />
u<br />
c =<br />
<br />
1 +<br />
2<br />
t 2<br />
t<br />
m c<br />
q E<br />
2 t<br />
m c<br />
q E<br />
Af ligning (6.4) ses, at der altid<br />
<br />
gælder u < c <strong>og</strong> at u → c <strong>for</strong> t → ∞.<br />
For meget små værdier af t er<br />
1 +<br />
u =<br />
t<br />
m c<br />
q E<br />
q E<br />
m<br />
2<br />
≈ 1 <strong>og</strong> dermed er<br />
(6.3)<br />
(6.4)<br />
t (6.5)<br />
som jo <strong>og</strong>så er det resultat, vi får ved en urelativistisk regning.<br />
Stedet x som funktion af tiden t findes ved at bestemme stamfunktionen 2 til<br />
u i ligning (6.3)<br />
= m c2<br />
<br />
q E<br />
u(t) dt =<br />
<br />
1 +<br />
q E<br />
<br />
1 +<br />
m t<br />
q E<br />
m c<br />
2 t2 dt (6.6)<br />
<br />
q E<br />
2 t<br />
m c<br />
2 + konstant (6.7)<br />
Ligning (6.7) giver med begyndelsesbetingelsen x(0) = 0<br />
m<br />
<br />
c2<br />
x(t) =<br />
q E<br />
<br />
<br />
q E<br />
2 1 + t<br />
m c<br />
2 <br />
− 1<br />
Det ses let, at ligning (6.8) kan omskrives til<br />
(x +<br />
( m c2<br />
q E<br />
m c2<br />
q E )2<br />
t2<br />
−<br />
)2 ( m c<br />
q E<br />
(6.8)<br />
)2 = 1 (6.9)<br />
1 For ikke at blande energien E sammen med længden af det elektriske felt, benyttes<br />
symbolet E her.<br />
2 Benyt substitution.
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 87<br />
Da ligning (6.9) er ligningen <strong>for</strong> en hyperbel, kaldes denne bevægelse <strong>for</strong> hyperbolsk<br />
bevægelse.<br />
Anal<strong>og</strong>t med bevægelse med konstant kraft F i det urelatistiske tilfælde<br />
kan vi <strong>og</strong>så her finde en sammenhæng mellem hastighed <strong>og</strong> sted ved at eliminere<br />
tiden (eller ved at bruge arbejdssætningen). For en partikel med masse<br />
m gælder der urelativistisk u2 = 2 a x under <strong>for</strong>udsætning af begyndelseshastighed<br />
nul, <strong>og</strong> hvor a = F er accelerationen, <strong>og</strong> x er den tilbagelagte vej.<br />
m<br />
Med brug af ligning (6.3) får vi her i det relativistiske tilfælde<br />
<br />
q E<br />
2 t<br />
m c<br />
2 =<br />
<br />
u 2<br />
c<br />
1 − u<br />
c<br />
som ved indsættelse i ligning (6.8) giver den ønskede sammenhæng<br />
som omskrives til<br />
x =<br />
2<br />
m<br />
<br />
c2 1<br />
<br />
q E<br />
1 − <br />
− 1<br />
u 2<br />
c<br />
(6.10)<br />
(6.11)<br />
m c2 <br />
1 − = m c<br />
u 2<br />
c<br />
2 + q E x (6.12)<br />
Venstresiden i ligning (6.12) er partiklens energi E, således at denne ligning<br />
<strong>og</strong>så kan udtrykkes ved<br />
E = m c 2 + q E x ⇔ (6.13)<br />
E = m c 2 + |∆Epot| (6.14)<br />
idet tabet i potentiel energi <strong>for</strong> en ladet partikel i et hom<strong>og</strong>ent elektrisk felt<br />
netop er q E x, hvor x er flytningen i feltretningen.<br />
Ved at benytte ligning (6.13) samt ligning (4.43) findes impulsen på stedet x<br />
p = m c<br />
6.1.2 Vilkårlig begyndelseshastighed<br />
<br />
q E<br />
m c2 x 2 q E<br />
+ 2 x (6.15)<br />
m c2 Vi vælger koordinatsystem, så det elektriske felt E er rettet efter x-aksen, <strong>og</strong><br />
således at y- <strong>og</strong> z-akserne er fastlagt ved, at partiklens begyndelseshastighed<br />
u0 får koordinaterne u0 = (u0x, u0y, 0). Da kraften er rettet efter x-aksen,<br />
kan vi i det følgende se bort fra bevægelse i z-aksens retning <strong>og</strong> betragte<br />
problemet som et todimensionalt problem. Vi vil der<strong>for</strong> benytte betegnelserne
88 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
u = (ux, uy), u0 = (u0x, u0y) samt sætte u 2 0 = u 2 0x + u 2 0y. Bevægelsesligningen<br />
bliver her<br />
m d<br />
dt<br />
som skrevet ud i koordinater giver<br />
d<br />
dt<br />
u<br />
<br />
1 − u2 x +u2 y<br />
c 2<br />
ux<br />
<br />
1 − u2x +u2 y<br />
c2 d<br />
dt<br />
uy<br />
= q E<br />
<br />
1 − u2 x+u 2 y<br />
c 2<br />
= q E (6.16)<br />
m<br />
(6.17)<br />
= 0 (6.18)<br />
hvor der igen er benyttet E = | E|. Ligningerne (6.17) <strong>og</strong> (6.18) har med de<br />
givne begyndelsesbetingelser løsningen<br />
ux<br />
<br />
1 − u2 x+u 2 y<br />
c 2<br />
= q E<br />
m<br />
uy<br />
<br />
1 − u2x +u2y c2 t +<br />
=<br />
u0x<br />
<br />
1 − u2 0x +u2 0y<br />
c2 u0y<br />
<br />
1 − u2 0x +u2 0y<br />
c2 (6.19)<br />
(6.20)<br />
Det ses af ligning (6.20), at der er et bånd mellem ux <strong>og</strong> uy. Ved en lille<br />
regning kan dette udtrykkes ved<br />
u 2 y = u 2 0y<br />
1 − u2x c2 1 − u2 0x<br />
c2 (6.21)<br />
Ideen er nu at indsætte ligning (6.21) i ligning (6.19), men inden vi gør det,<br />
vil vi se på indmaden af kvadratroden, der indgår i ligning (6.19). Denne<br />
indmad kan ved brug af ligning (6.21) omskrives til<br />
1 − u2 x + u 2 y<br />
c 2<br />
= (1 − u2 0<br />
c 2 ) (1 − u2 x<br />
c 2 )<br />
1 − u2 0x<br />
c 2<br />
(6.22)<br />
Ligning (6.22) benyttes til omskrivning af ligning (6.19), <strong>og</strong> følgende udtryk<br />
<strong>for</strong> ux opnås<br />
ux =<br />
<br />
q E<br />
m<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t + u0x<br />
q E<br />
1 + ( m c )2 (1 − u2 0<br />
c2 ) t2 + 2<br />
q E<br />
m c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t u0x<br />
(6.23)
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 89<br />
Herefter kan vi finde uy ved at benytte ligning (6.23) i ligning (6.21). Resultatet<br />
er<br />
uy = <br />
u0y<br />
(6.24)<br />
q E<br />
1 + ( m c )2 (1 − u2 0<br />
c2 ) t2 q E<br />
+ 2 m c2 <br />
1 − u2 0<br />
c2 t u0x<br />
Af udtrykket ligning (6.23) <strong>for</strong> ux vises let, at ux er en voksende funktion af<br />
t. Ligning (6.24) viser tilsvarende, at uy er en aftagende funktion af t. Dette<br />
følger <strong>og</strong>så af ligning (6.21), når vi ved, at ux er en voksende funktion af<br />
t. Man ser endvidere <strong>og</strong>så let af ligning (6.23), at ux → c <strong>for</strong> t → ∞. Da<br />
farten |u| af partiklen skal være mindre end c, må gælde, at hastigheden uy<br />
i y-aksens retning bliver mindre <strong>og</strong> mindre, efterhånden som t bliver større<br />
<strong>og</strong> større. Relativistisk gælder altså, at selv om der ikke virker en kraft i yaksens<br />
retning, er hastigheden i denne retning ikke konstant, men aftagende.<br />
Dette vil ikke gælde urelativistisk. Men både i det relativistiske <strong>og</strong> i det<br />
urelativistiske tilfælde er impulsen i y-aksens retning konstant.<br />
Resultaterne i afsnittene (6.1.1) <strong>og</strong> (6.1.2) kan umiddelbart oversættes til<br />
tilsvarende resultater <strong>for</strong> en partikel påvirket af en konstant kraft F i xaksens<br />
retning. I alle udtryk i de to nævnte afsnit skal q E blot erstattes af<br />
F = | F |.<br />
6.1.3 Begyndelseshastighed vinkelret på E-felt<br />
+ −<br />
Figur 6.1: Ladet partikel i hom<strong>og</strong>ent <strong>og</strong> konstant elektrisk felt E. Begyndelseshastigheden<br />
u0 er vinkelret på E.<br />
Vi ser nu på det tilfælde, hvor begyndelseshastigheden uo er rettet efter yaksen<br />
<strong>og</strong> dermed vinkelret på det elektriske felt E. Dvs. uo = (0, uo). Se Fig.<br />
uo<br />
y<br />
E<br />
x
90 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
(6.1).<br />
Dermed giver ligning (6.23)<br />
Ved at indføre α =<br />
d x<br />
d t<br />
= c <br />
1 + (<br />
<br />
q E<br />
1 − m c<br />
u2 0<br />
c2 t<br />
q E<br />
m c )2 (1 − u2 0<br />
c2 ) t2 <br />
q E<br />
1 − m c<br />
u2 0<br />
c2 ses, at ligning (6.25) er af <strong>for</strong>men<br />
d x<br />
d t<br />
= c<br />
α t<br />
√ 1 + α 2 t 2<br />
(6.25)<br />
(6.26)<br />
Heraf fås ved integration<br />
<br />
x =<br />
2 2 α t d t c d (1 + α t )<br />
c √ =<br />
1 + α2 t2 α<br />
2 √ 1 + α2 t2 ⇔ (6.27)<br />
x = c<br />
√<br />
1 + α2 t2 + k α<br />
(6.28)<br />
Med x = 0 <strong>for</strong> t = 0 er k = − c , således at vi af ligning (6.28) får<br />
α<br />
α x<br />
c + 1 = √ 1 + α 2 t 2 ⇔ (6.29)<br />
α<br />
2 c2 x2 + x 1 = α t2<br />
(6.30)<br />
2 c<br />
som med udtrykket <strong>for</strong> α indsat giver følgende sammenhæng mellem x <strong>og</strong> t<br />
q E<br />
2 m c 2 x2 +<br />
1<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
x =<br />
q E<br />
2 m t2<br />
Dernæst ser vi på bestemmelsen af y v.hj.a. ligning (6.24)<br />
Dvs.<br />
y = u0<br />
<br />
d y<br />
d t =<br />
d t<br />
√ 1 + α 2 t 2<br />
u0<br />
√ 1 + α 2 t 2<br />
(6.31)<br />
(6.32)<br />
= u0<br />
α ln(α t + √ 1 + α 2 t 2 ) + k (6.33)<br />
Med y = 0 <strong>for</strong> t = 0 fås k = 0. Altså<br />
<br />
y = u0<br />
d t u0<br />
√ =<br />
1 + α2 t2 α ln(α t + √ 1 + α2 t2 ) (6.34)
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 91<br />
som med α indsat giver følgende sammenhæng mellem t <strong>og</strong> y<br />
<br />
m c u0 q E<br />
y =<br />
ln 1 −<br />
m c<br />
q E<br />
u2 0<br />
c2 <br />
t + 1 +<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
q E<br />
2 (1 −<br />
m c<br />
u2 0<br />
c2 ) t2 <br />
(6.35)<br />
For α t ≪ 1 kan indmaden til ln i ligning (6.34) til første orden i t approksimeres<br />
ved<br />
således at 3<br />
α t + √ 1 + α 2 t 2 ≈ α t + 1 + 1<br />
2 α2 t 2 ≈ 1 + α t (6.36)<br />
ln(α t + √ 1 + α 2 t 2 ) ≈ α t (6.37)<br />
Dermed har vi et approksimativt udtryk y i ligning (6.34)<br />
y = u0 t (6.38)<br />
For små værdier af t er x heller ikke særlig stor. Dvs. vi kan se bort fra<br />
x 2 -leddet i ligning (6.31). Dermed kan vi finde et approksimativt udtryk <strong>for</strong><br />
sammenhængen mellem t <strong>og</strong> x<br />
x =<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
q E<br />
2 m t2<br />
(6.39)<br />
I ligning (6.39) erstatter vi nu t med t = y<br />
, se ligning (6.38), <strong>og</strong> finder derved<br />
u0<br />
sammenhængen mellem x <strong>og</strong> y <strong>for</strong> små værdier af t<br />
x =<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
Banekurven bliver altså en parabel.<br />
q E<br />
2 m u 2 0<br />
y 2<br />
(6.40)<br />
En urelativistisk regning giver som bekendt i den her undersøgte situation<br />
m d2 x<br />
dt2 = q E ⇒ 1 q E<br />
x = 2 m t2 (6.41)<br />
m d2 y<br />
dt2 = 0 ⇒ y = u0<br />
hvoraf vi finder banekurven<br />
t (6.42)<br />
x =<br />
q E<br />
y 2<br />
(6.43)<br />
2 m u 2 0<br />
som jo er et eksempel på den sædvanlige kasteparabel. Den relativistiske <strong>og</strong><br />
den urelativistiske kasteparabel afviger fra hinanden ved koefficienten til y 2 .<br />
For u0 ≪ c er to koefficienter som <strong>for</strong>ventet identiske.<br />
3 Benyt at <strong>for</strong> |x| ≪ 1 gælder ln(1 + x) ≈ x.
92 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
6.1.4 Acceleration af ustabil partikel<br />
Vi <strong>for</strong>estiller os, at vi i laboratoriet har produceret et antal ustabile partikler<br />
med levetid 4 τo. Disse partikler ønskes vha. et konstant elektrisk felt E accelereret<br />
fra hvile op til en bestemt slutenergi E = n m c 2 , som er n gange en<br />
partikels hvileenergi. Hvis feltstyrken er lille, vil det tage lang tid, <strong>og</strong> mange<br />
af partiklerne vil være henfaldet, inden kraftpåvirkningen kan nå at få dem<br />
op på den ønskede energi. For at en bestemt brøkdel f af disse partikler overlever,<br />
skal feltstyrken have en bestemt størrelse. Denne værdi af E = | E| vil<br />
vi nu finde. Sammenhængen mellem et tids<strong>for</strong>løb dτ i partiklens hvilesystem<br />
<strong>og</strong> det tilsvarende tids<strong>for</strong>løb dt i laboratoriesystemet er<br />
dτ = dt<br />
<br />
1 − ( u<br />
c )2 (6.44)<br />
hvor u er partiklens øjeblikkelige hastighed. Ved hjælp af ligning (6.3) fås<br />
1 − ( u<br />
c )2 =<br />
således at ligning (6.44) kan omskrives til<br />
1<br />
1 + q E 2<br />
t2 m c<br />
1<br />
dτ = dt <br />
1 + q E 2<br />
t2 m c<br />
(6.45)<br />
(6.46)<br />
Dermed kan sammenhængen mellem det samlede tids<strong>for</strong>løb τ i partiklens<br />
hvilesystem <strong>og</strong> tids<strong>for</strong>løbet t i laboratoriesystemet findes ved integration<br />
τ =<br />
τ<br />
Resultatet af integrationen er<br />
τ =<br />
0<br />
dτ =<br />
t<br />
0<br />
m c<br />
q E ln<br />
<br />
t +<br />
1<br />
<br />
1 + dt (6.47)<br />
q E 2<br />
t2 m c<br />
<br />
t2 + m c<br />
m c<br />
q E<br />
q E<br />
2<br />
<br />
(6.48)<br />
Kravet om, at slutenergien skal være n gange partiklens hvileenergi, medfører,<br />
at n kan udtrykkes ved slutfarten us<br />
E = n m c 2 =<br />
4 Levetiden hænger sammen med halveringstiden T 1<br />
2<br />
m c2 ⇔ (6.49)<br />
us 1 − ( )2<br />
c<br />
via T 1 = ln(2) τo.<br />
2
6.2 Det skrå kast 93<br />
n =<br />
1<br />
1 − ( us<br />
c )2<br />
(6.50)<br />
Ved hjælp af ligningerne (6.45) <strong>og</strong> (6.50) kan vi finde den nødvendige tid t i<br />
laboratoriesystemet <strong>for</strong> at accelerere partiklen op til den ønskede energi<br />
n =<br />
<br />
1 + q E 2 t2 ⇔ (6.51)<br />
m c<br />
t =<br />
m c<br />
q E<br />
√ n 2 − 1 (6.52)<br />
Ligning (6.52) benyttes nu i ligning (6.48), <strong>og</strong> vi får sammenhængen mellem<br />
tiden τ målt i partiklens hvilesystem <strong>og</strong> den ønskede slutenergi angivet ved<br />
faktoren n. Resultatet er<br />
τ =<br />
m c<br />
q E ln(n + √ n 2 − 1) (6.53)<br />
Da antallet af endnu ikke henfaldne partikler kan findes af henfaldsloven, er<br />
det nu muligt ved hjælp af ligning (6.53) at finde den nødvendige feltstyrke<br />
<strong>for</strong>, at brøkdelen f af partikler overlever accelerationen<br />
τ<br />
−<br />
e τo > f ⇔ (6.54)<br />
τ < −τo ln(f) ⇔ (6.55)<br />
m c<br />
E > −<br />
q τo ln(f) ln(n + √ n2 − 1) (6.56)<br />
Ligning (6.56) er det ønskede resultat. (Husk f < 1 der<strong>for</strong> er ln(f) < 0, <strong>og</strong> E<br />
bliver positiv).<br />
6.2 Det skrå kast<br />
Vi vil i dette afsnit se på den relativistiske behandling af det skrå kast. For<br />
at kunne sammenligne direkte med den sædvanlige urelativistiske behandling<br />
af det skrå kast vælger vi at beskrive bevægelsen i et koordinatsystem med<br />
en y-akse, hvis retning er modsat den konstante kraft F , der påvirker partiklen.<br />
Dvs. F = (0, −F ). Til tiden t = 0 er partiklen i punktet (0, 0) <strong>og</strong><br />
har hastigheden u0 = (u0x, u0y) = | u0| (cos(θ), sin(θ)), hvor θ er den vinkel,<br />
begyndelseshastigheden danner med x-aksen. Se Fig. (6.2).
94 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
y<br />
u0<br />
6.2.1 Banekurven<br />
θ<br />
F<br />
u<br />
Figur 6.2: Det skrå kast.<br />
Bevægelsesligningerne, der skal løses, er<br />
d<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
ux<br />
<br />
1 − u2x +u2y c2 uy<br />
<br />
1 − u2x +u2y c2 = 0 (6.57)<br />
= − F<br />
m<br />
x<br />
(6.58)<br />
Løsningen til disse ligninger <strong>for</strong>etages helt på samme måde som i afsnit 6.1.2.<br />
Resultatet er<br />
ux =<br />
uy =<br />
<br />
<br />
u0x<br />
1 + ( F<br />
m c )2 (1 − u2 0<br />
c 2 ) t 2 − 2 F<br />
m c 2<br />
−F<br />
m<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t + u0y<br />
1 + ( F<br />
m c )2 (1 − u2 0<br />
c 2 ) t 2 − 2 F<br />
m c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t u0y<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t u0y<br />
(6.59)<br />
(6.60)<br />
Vi kan nu finde stedet som funktion af tiden ved integration af ligningerne<br />
(6.59) <strong>og</strong> (6.60). For x-koordinaten fås efter en lille omskrivning
6.2 Det skrå kast 95<br />
=<br />
x(t) =<br />
F<br />
m<br />
t<br />
c u0x<br />
0<br />
<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
1 + ( F<br />
m c )2 1 − u2 0<br />
c2 t<br />
0<br />
F<br />
m<br />
d F<br />
m<br />
u0x dt<br />
t 2 − 2 F<br />
m c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c2 <br />
t − u0y<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t − u0y<br />
2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t u0y<br />
+ c 2 − u 2 0y<br />
(6.61)<br />
Ved opslag i en integraltabel findes<br />
<br />
1<br />
√ dx = ln |x +<br />
x2 + a √ x2 + a| (6.62)<br />
Da integralet i ligning (6.61) netop er af denne <strong>for</strong>m, finder vi<br />
x(t) =<br />
F<br />
m<br />
c u0x<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
ln<br />
<br />
<br />
F<br />
For y-koordinaten fås tilsvarende<br />
=<br />
−F<br />
m<br />
y(t) =<br />
c<br />
t<br />
0<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
m<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c2 2 t − u0y + c2 − u2 0y + F<br />
<br />
1 − m<br />
u2 0<br />
c2 t − u0y<br />
( −F<br />
m<br />
c − u0y<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t + u0y) dt<br />
1 + ( F<br />
m c )2 (1 − u2 0<br />
c 2 ) t 2 − 2 F<br />
m c 2<br />
t<br />
0<br />
2<br />
<br />
d<br />
<br />
− F<br />
m<br />
− F<br />
m<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c2 2 t + u0y<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t + u0y<br />
2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2 t u0y<br />
+ c 2 − u 2 0y<br />
Dette integral kan umiddelbart findes, <strong>og</strong> resultatet <strong>for</strong> y(t) er<br />
y(t) =<br />
c<br />
<br />
F 1 − m<br />
u2 0<br />
c2 <br />
c −<br />
<br />
<br />
− F<br />
<br />
m<br />
1 − u20 t + u0y<br />
c2 2<br />
+ c 2 − u 2 0y<br />
Dermed er banekurven <strong>for</strong> partiklen bestemt. Se Fig. (6.3).<br />
<br />
(6.63)<br />
(6.64)<br />
(6.65)
96 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
y<br />
y<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
u 0 /c=0.8, θ=60 o<br />
y<br />
-0.1<br />
0 0.5 1 1.5<br />
x<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
u 0 /c=0.5, θ=60 o<br />
y<br />
-0.02<br />
0 0.2<br />
x<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
u 0 /c=0.8, θ=45 o<br />
-0.05<br />
0 0.5 1 1.5<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
x<br />
u 0 /c=0.5, θ=45 o<br />
y<br />
-0.02<br />
0 0.2 0.4<br />
x<br />
y<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
u 0 /c=0.8, θ=30 o<br />
-0.05<br />
0 0.5<br />
x<br />
1<br />
0.04<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
u 0 /c=0.5, θ=30 o<br />
data1<br />
data2<br />
data1<br />
data2<br />
-0.01<br />
0 0.2<br />
x<br />
0.4<br />
Figur 6.3: Banekurven <strong>for</strong> det skrå kast. Data1 ′ − ′ er den relativistiske<br />
banekurve. Data2 ′ − · ′ er den klassiske banekurve. Kurverne er tegnet <strong>for</strong><br />
to <strong>for</strong>skellige værdier af begyndelsesfarten <strong>og</strong> <strong>for</strong> tre <strong>for</strong>skellige værdier af<br />
begyndelseshastighedens vinkel med x-aksen. Arbitrær akseinddeling.<br />
Bemærk at i alle tilfældene er både den relativistiske kastelængde <strong>og</strong> den<br />
relativistiske maksimale højde større end den tilsvarende klassiske størrelse.<br />
Ved at eliminere t fra ligningerne (6.63) <strong>og</strong> (6.65) kan vi finde en ligning<br />
<strong>for</strong> banekurven. Af ligning (6.63) fås efter n<strong>og</strong>en regning<br />
− F<br />
<br />
1 −<br />
m<br />
u20 c2 t+u0y<br />
<br />
<br />
F<br />
= u0y cosh<br />
m c u0x<br />
1 − u20 x<br />
c2 <br />
<br />
F<br />
−c sinh 1 −<br />
m c u0x<br />
u2 <br />
0<br />
x<br />
c2 (6.66)<br />
Dette resultat indsættes i ligning (6.65). Under anvendelse af cosh 2 (v) −<br />
sinh 2 (v) = 1 fås efter en del regneri den ønskede ligning
6.2 Det skrå kast 97<br />
y =<br />
F<br />
m c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
1−cosh<br />
m c u0x<br />
1 − u20 x<br />
c2 <br />
+ u0y<br />
c<br />
<br />
<br />
F<br />
sinh<br />
m c u0x<br />
1 − u20 x<br />
c2 (6.67)<br />
Denne ligning er ikke ligningen <strong>for</strong> en parabel, som jo ville være det resultat,<br />
en urelativistisk regning ville have givet.<br />
6.2.2 N<strong>og</strong>le resultater <strong>for</strong> det skrå kast<br />
I dette underafsnit vil vi udlede n<strong>og</strong>le resultater <strong>for</strong> det skrå kast <strong>og</strong> sammenligne<br />
disse med tilsvarende resultater <strong>for</strong> en urelativistisk regning.<br />
Maksimale højde. Den maksimale højde ymax under kastet er karakteriseret<br />
ved at uy = 0. Af ligning (6.60) findes tidspunktet t1, hvor dette sker<br />
t1 =<br />
F<br />
m u0y<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c2 Højden y til dette tidspunkt findes af ligning (6.65)<br />
ymax = y(t1) =<br />
F<br />
m c<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
c − c2 − u2 <br />
0y<br />
(6.68)<br />
(6.69)<br />
Dette resultat <strong>for</strong> den maksimale højde kan vi sammenligne med den maksimale<br />
højde ved det sædvanlige skrå kast, hvor tyngdekraften antages at være<br />
konstant <strong>og</strong> af <strong>for</strong>men F = m g <strong>for</strong> u0 ≪ c. I denne approksimation fås af<br />
ligning (6.69)<br />
ymax = y(t1) ≈<br />
m g<br />
m c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
<br />
1 − 1 − u20 c2 <br />
≈ c2<br />
g<br />
u 1<br />
2<br />
2 0y<br />
c2 = u20 sin2 (θ)<br />
2 g<br />
(6.70)<br />
hvilket netop er det klassiske resultat <strong>for</strong> maksimalhøjden <strong>for</strong> det skrå kast.<br />
Vi kan lave et energicheck af vores resultat <strong>for</strong> maksimalhøjden. Til tiden<br />
t = t1 kan vi finde hastigheden i x-aksens retning ved at benytte ligning
98 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
(6.59) 5<br />
ux =<br />
u0x<br />
<br />
1 − u2 0y<br />
c2 (6.71)<br />
Da, der her gælder uy = 0, er den totale relativistiske energi i toppen af<br />
banekurven<br />
= m c2<br />
<br />
1 − u2 0y<br />
c2 (6.72)<br />
Etop =<br />
m c2<br />
<br />
1 − u2<br />
c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
Energien i toppen af banekurven kan <strong>og</strong>så findes ved at se på kraftens arbejde<br />
på turen op. Dette arbejde er A = −F · ymax. Energien i toppen skal da <strong>og</strong>så<br />
være givet ved<br />
<br />
hvor E0 =<br />
Etop = E0 − F · ymax =<br />
m c2<br />
<br />
1− u2 0<br />
c 2<br />
benyttet ligning (6.69).<br />
m c2<br />
<br />
1 − u2<br />
c 2<br />
= m c2<br />
1 − u2 0y<br />
c2 <br />
1 − u2 0<br />
c2 (6.73)<br />
er begyndelsesenergien af partiklen, <strong>og</strong> hvor vi <strong>og</strong>så har<br />
De to ligninger (6.72) <strong>og</strong> (6.73) stemmer heldigvis overens.<br />
Kastelængden. Kastelængden xmax <strong>for</strong> det relativistiske skrå kast opnås<br />
til det tidspunkt t2, hvor y = 0. Af ligning (6.65) findes<br />
t2 = 0 ∨ t2 =<br />
F<br />
2 m u0y<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
(6.74)<br />
t2 = 0 er løsningen, der hører til starten af kastet. Den interessante løsning<br />
er der<strong>for</strong><br />
2 m u0y<br />
t2 = (6.75)<br />
F<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
Bemærk at der <strong>og</strong>så i det relativistiske tilfælde gælder t2 = 2 t1. Altså at<br />
turen op tager lige så lang tid som turen ned.<br />
Kastelængden findes nu ved at indsætte t2 i ligning (6.63)<br />
xmax = x(t2) =<br />
F<br />
m c u0x<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
c +<br />
<br />
u0y<br />
ln<br />
c − u0y<br />
(6.76)<br />
5 Bemærk at hastigheden i x-aksens retning ikke er konstant selv om, der ikke virker en<br />
kraft i denne retning.
6.2 Det skrå kast 99<br />
Også dette resultat sammenlignes med det urelativistiske resultat <strong>for</strong> kastelængden.<br />
Ved at benytte at <strong>for</strong> |x| ≪ 1 gælder ln <br />
1+x ≈ 2 x, fås af ligning (6.76)<br />
1−x<br />
xmax = x(t2) ≈<br />
≈<br />
c u0x<br />
g<br />
m g<br />
m c u0x<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c2 2 u0y<br />
c = 2 u0x u0y<br />
g<br />
u0y<br />
1 + c ln<br />
1 − u0y<br />
<br />
c<br />
= u2 0 sin(2 θ)<br />
g<br />
som netop er det sædvanlige urelativistiske resultat <strong>for</strong> det skrå kast.<br />
(6.77)<br />
Til tiden t = t2 findes hastigheden af ligningerne (6.59) <strong>og</strong> (6.60): ux = u0x<br />
<strong>og</strong> uy = −u0y. Dette er samme resultat som i det urelativistiske tilfælde.<br />
For fast værdi af begyndelsesfarten u0 vil vi nu <strong>for</strong>søge at finde den vinkel,<br />
hastighedsvektoren skal danne med x-aksen <strong>for</strong> at få den største kastelængde.<br />
Af ligning (6.76) ses, at vinkelafhængigheden er bestemt af funktionen<br />
<br />
1 + β sin(θ)<br />
<br />
f(θ) = cos(θ) ln<br />
1 − β sin(θ)<br />
(6.78)<br />
hvor β = u0<br />
c .<br />
For at finde maksimum af denne funktion differentieres den mht. θ, <strong>og</strong> differentialkvotienten<br />
sættes lig nul. Derved fås ligningen<br />
<br />
1 + β sin(θ)<br />
<br />
2 cos<br />
− sin(θ) ln<br />
+ β<br />
1 − β sin(θ)<br />
2 (θ)<br />
1 − β2 sin2 (θ)<br />
= 0 (6.79)<br />
Denne ligning har ingen analytisk løsning, men må løses numerisk. I modsætning<br />
til det urelativistiske tilfælde hvor den største kastelængde fås <strong>for</strong><br />
θ = 45 o <strong>for</strong> alle værdier af u0, er vinklen, der giver den største kastelængde i<br />
det relativistiske tilfælde, afhængig af begyndelsesfarten. Se Fig. (6.4).<br />
Hastighedsbegrænsning. Af udtrykket <strong>for</strong> ux ligning (6.59) ses let, at ux<br />
er voksende <strong>for</strong> 0 ≤ t ≤ t1 <strong>og</strong> aftagende <strong>for</strong> t ≥ t1. Endvidere ses at gælde<br />
ux(t) → 0 <strong>for</strong> t → ∞ (6.80)<br />
I det urelativistiske tilfælde er ux som bekendt konstant.
100 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
θ<br />
58<br />
56<br />
54<br />
52<br />
50<br />
48<br />
46<br />
44<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
u /c<br />
0<br />
0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
Figur 6.4: Vinklen θ (målt i grader) der giver den største kastelængde som<br />
funktion af begyndelsesfarten.<br />
Af udtrykket <strong>for</strong> uy ligning (6.60) ses, at uy er aftagende <strong>for</strong> alle t. Endvidere<br />
ses at gælde<br />
uy(t) → −c <strong>for</strong> t → ∞ (6.81)<br />
I det urelativistiske tilfælde er uy <strong>og</strong>så aftagende <strong>for</strong> alle t, men her vil<br />
uy(t) → −∞ <strong>for</strong> t → ∞.<br />
Ved direkte udregning af farten |u| vha. ligningerne (6.59) <strong>og</strong> (6.60) får vi<br />
|u| < c <strong>for</strong> alle værdier af t. Hvis dette ikke havde været opfyldt, ville vi have<br />
haft et problem!<br />
Relativitetsteorien rækker længst. For fast værdi af begyndelsesfarten<br />
u0 vil vi se på <strong>for</strong>skellen mellem den relativistiske kastelængde <strong>og</strong> den urela-
6.3 Ladet partikel i magnetfelt 101<br />
tivistiske kastelængde<br />
∆ x = x rel<br />
max − x urel<br />
max =<br />
<br />
c<br />
F<br />
m<br />
u2 0 − u2 <br />
0y<br />
ln<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
f ′ (z) = 2<br />
− 2<br />
1 − z2 u0y 1+ c<br />
1− u0y c<br />
<br />
− 2 u0y<br />
c<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
(6.82)<br />
Parentesen i ovenstående ligning er en funktion af <strong>for</strong>men<br />
f(z) = ln <br />
<br />
1+z − 2 z 1 − 1−z<br />
u20 c2 <strong>for</strong> 0 ≤ z < 1 (6.83)<br />
med differentialkvotienten<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
(6.84)<br />
Der gælder f ′ (z) > 0, således at f er voksende. Endvidere er f(0) = 0. Altså<br />
er f(z) > 0 <strong>for</strong> z > 0, <strong>og</strong> dermed er ∆ x > 0. Heraf følger, at den relativistiske<br />
kastelængde er større end den urelativistiske kastelængde.<br />
Tilsvarende ses på <strong>for</strong>skellen på de to maksimalhøjder<br />
∆ y = y rel<br />
max − y urel<br />
max =<br />
c2 <br />
1 − 1 − u2 0y<br />
c2 1 − 2<br />
F<br />
m<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
u 2 0y<br />
c 2<br />
<br />
1 − u2 0<br />
c 2<br />
<br />
(6.85)<br />
Lad os på parentesen i ovenstående ligning. Denne indeholder en funktion af<br />
<strong>for</strong>men<br />
<br />
g(z) = 1 − √ 1 − z − 1<br />
2 z<br />
med differentialkvotienten<br />
g ′ (z) =<br />
1 − u2 0<br />
c 2 <strong>for</strong> 0 ≤ z < 1 (6.86)<br />
1<br />
2 √ <br />
1 − 1 − 2<br />
1 − z u20 c2 (6.87)<br />
Der gælder g ′ (z) > 0, således at g er voksende. Endvidere er g(0) = 0. Altså<br />
er ∆ y > 0, <strong>og</strong> dermed er den relativistiske maksimalhøjde større end den<br />
urelativistiske maksimalhøjde.<br />
6.3 Ladet partikel i magnetfelt<br />
En partikel med masse m <strong>og</strong> elektrisk ladning q sendes ind i et område med<br />
et tidsuafhængigt hom<strong>og</strong>ent magnetfelt B. Bevægelsesligningen er<br />
d<br />
dt<br />
m u<br />
1 − ( u<br />
c )2 = q u × B (6.88)
102 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
Da kraften er vinkelret på hastigheden, er farten konstant, <strong>og</strong> vi kan der<strong>for</strong><br />
trække kvadratroden uden<strong>for</strong> differentiationen således, at ligning (6.88)<br />
omskrives til<br />
d<br />
dt u = α u × B (6.89)<br />
hvor<br />
α ≡ q<br />
m<br />
<br />
1 − ( u<br />
c )2 (6.90)<br />
Ligning (6.89) er helt den samme ligning som i det urelativistiske tilfælde<br />
m<br />
blot med den <strong>for</strong>skel, at m er erstattet af √ u . Løsningen er de<strong>for</strong> <strong>og</strong>så<br />
1−( )2<br />
af samme <strong>for</strong>m. Altså i B-feltets retning <strong>for</strong>tsætter partiklen med konstant<br />
hastighed, <strong>og</strong> vinkelret på B-feltet er bevægelsen en jævn cirkelbebevægelse.<br />
Men lad os nu gennemføre regnestykket i detaljer.<br />
Vi vælger koordinatsystem så z-aksen går i B-feltets retning: B = (0, 0, B).<br />
Hermed bliver u × B = (B uy, −B ux, 0), <strong>og</strong> ligning (6.89) er i koordinater<br />
c<br />
d ux<br />
dt = α B uy (6.91)<br />
d uy<br />
dt = −α B ux (6.92)<br />
d uz<br />
= 0<br />
dt<br />
(6.93)<br />
Ligning (6.93) giver umiddelbart, at hastigheden i z-retningen er konstant<br />
uz = uoz<br />
(6.94)<br />
hvor uoz er begyndelseshastigheden i z-aksens retning. Dvs.bevægelsen i zaksens<br />
retning er en jævn bevægelse.<br />
Ligningerne (6.91) <strong>og</strong> (6.92) kobler. Ved differentiation af ligning (6.91) mht.<br />
t <strong>og</strong> anvendelse af ligning (6.92) fås<br />
hvor<br />
Ligning (6.95) har løsningen<br />
Ligningerne (6.92) <strong>og</strong> (6.97) giver<br />
d 2 ux<br />
dt 2 = −ω2 ux (6.95)<br />
ω ≡ α B (6.96)<br />
ux(t) = A cos(ω t + δ) (6.97)<br />
uy = −A sin(ω t + δ) (6.98)
6.3 Ladet partikel i magnetfelt 103<br />
Stedkoordinaterne x <strong>og</strong> y findes ved integration af ligningerne (6.97) <strong>og</strong> (6.98)<br />
x(t) = A<br />
ω<br />
y(t) = A<br />
ω<br />
sin(ω t + δ) + c1<br />
(6.99)<br />
cos(ω t + δ) + c2<br />
(6.100)<br />
Dvs. i xy-planen har vi en jævn cirkelbevægelse med radius A,<br />
vinkelhastighed<br />
ω<br />
ω <strong>og</strong> centrum i (c1, c2). Hele banekurven kan altså karakteriseres ved at være<br />
en skruelinje (eller helix). Se Fig. (6.5).<br />
z<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
2<br />
Δ z<br />
1<br />
0<br />
y<br />
-1<br />
-2<br />
Figur 6.5: Ladet partikels bevægelse i magnetfelt. Banekurven er en skruelinje.<br />
Akseinddelingen er arbitrær.<br />
Omløbstiden T er<br />
T =<br />
2 π<br />
ω =<br />
-2<br />
-1<br />
2 π m<br />
<br />
q B 1 − ( u<br />
c )2<br />
x<br />
0<br />
1<br />
2<br />
(6.101)
104 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
I løbet af en omgang i cirkelbevægelsen vil <strong>for</strong>skydningen ∆ z, skruehøjden,<br />
i z-aksens retning være<br />
∆ z = u0z T =<br />
2 π m u0z<br />
<br />
q B 1 − ( u<br />
c )2<br />
(6.102)<br />
Konstanterne A, δ, c1 <strong>og</strong> c2 bestemmes af begyndelsesbetingelserne. Lad disse<br />
være x(0) = y(0) = 0, ux(0) = 0 <strong>og</strong> uy = uoy. Med disse værdier bliver<br />
ligningerne (6.99) <strong>og</strong> (6.100)<br />
Radius i cirklen er<br />
x(t) = − uoy<br />
ω<br />
y(t) = uoy<br />
ω<br />
r = uoy<br />
ω =<br />
cos(ω t) + uoy<br />
ω<br />
(6.103)<br />
sin(ω t) (6.104)<br />
m uoy<br />
q B 1 − ( u<br />
poy<br />
=<br />
)2 q B<br />
c<br />
(6.105)<br />
hvor poy er partiklens startimpuls i y-retningen. Denne er <strong>og</strong>så hele partiklens<br />
startimpuls i xy-planen. Længden af impulsvektoren er uændret under hele<br />
bevægelsen. Endvidere er impulsen i z-retningen konstant. Der<strong>for</strong> er længden<br />
af impulsvektorens projektion på xy-planen konstant, således at ligning<br />
(6.105) kan skrives<br />
6.4 Relativistisk raket<br />
r = |−→ pxy|<br />
q B<br />
(6.106)<br />
Vi vil i det følgende se på en raket, der bevæger sig efter x-aksen i inertialsystemet<br />
S. Fremdriften af raketten <strong>for</strong>egår ved, at der sendes n<strong>og</strong>et masse<br />
i <strong>for</strong>m af en gas ud af raketten i den negative x-akses retning. Denne gas<br />
antages at have den konstante hastighed −vo i <strong>for</strong>hold til raketten målt i<br />
rakettens hvilesystem. Lad raketten have den øjeblikkelige hastighed u målt<br />
i inertialsystemet S. Se Fig. (6.6). Dermed bliver gassens hastighed ug i systemet<br />
S<br />
u − vo<br />
ug =<br />
1 −<br />
u vo<br />
c 2<br />
(6.107)<br />
Raketten befinder sig langt væk fra alle andre legemer, således at raket plus<br />
gas udgør et isolereret system. Rakettens startmasse er m1, <strong>og</strong> dens slutmasse<br />
er m2. Rakettens starthastighed er u1, <strong>og</strong> dens sluthastighed er u2. Vi
6.4 Relativistisk raket 105<br />
y<br />
S<br />
Figur 6.6: Raketfremdrift i feltfrit område.<br />
ønsker at finde sammenhængen mellem disse fire størrelser. Dette gøres ved<br />
at benytte energi- <strong>og</strong> impulsbevarelse <strong>for</strong> systemet raket+gas: Ændringen i<br />
rakettens energi/impuls er lig minus ændringen i gassens energi/impuls. Lad<br />
den udsendte gasmængde i et vist tidsrum være ∆m <strong>og</strong> lad rakettens øjeblikkelige<br />
masse være m. Følgende to ligninger kan da opstilles <strong>for</strong> energi- <strong>og</strong><br />
impulsbalancen<br />
d m c2 <br />
u 1 − ( c )2<br />
∆m c<br />
= − 2<br />
<br />
1 − ( ug<br />
c )2<br />
d m u<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
∆m ug<br />
= − 1 − ( ug<br />
c )2<br />
u<br />
x<br />
(6.108)<br />
(6.109)<br />
Ved at dividere ligning (6.109) med ligning (6.108) falder ∆m ud, <strong>og</strong> vi får<br />
d √ m u<br />
u<br />
1−( c )2<br />
<br />
d = ug<br />
(6.110)<br />
m<br />
√ u<br />
1−( c )2<br />
Differentialerne i ligning (6.110) udregnes<br />
<br />
√ u<br />
u dm + m d<br />
1−( )2<br />
c<br />
<br />
√ 1<br />
u dm + m d<br />
1−( )2<br />
c<br />
u<br />
√ u<br />
1−( c )2<br />
√ 1<br />
u<br />
1−( c )2<br />
Ved at benytte ligning (6.107) samt<br />
d u<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
1<br />
= <br />
u 1 − (<br />
d 1<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
<br />
=<br />
<br />
3<br />
2 )2 c<br />
u<br />
c2 3<br />
u 2 1 − ( )2 c<br />
= ug<br />
(6.111)<br />
du (6.112)<br />
du (6.113)
106 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen<br />
kan ligning (6.111) omskrives til<br />
Ligning (6.114) integreres<br />
m2<br />
<strong>og</strong> vi får<br />
m1<br />
vo<br />
vo<br />
dm<br />
m<br />
dm<br />
m<br />
= − du<br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
u2<br />
= −<br />
u1<br />
<br />
m2 c<br />
vo ln(m) = − ln<br />
m1 2<br />
du<br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
1 + u<br />
c<br />
1 − u<br />
c<br />
u2<br />
u1<br />
(6.114)<br />
(6.115)<br />
(6.116)<br />
Hvis vi antager, at u1 = 0, altså at raketten starter i hvile i inertialsystemet<br />
S, får vi et lidt simplere regnestykke. Sluthastigheden u2 findes af ligning<br />
(6.116)<br />
u2 = c<br />
2 vo<br />
m2 1 − ( ) c<br />
m1<br />
1 + ( m2<br />
2 vo<br />
) c<br />
m1<br />
For vo ≪ c fås, at u2 i ligning (6.117) kan aproksimeres til 6<br />
2 v0 − ln( c<br />
u2 ≈ c m2<br />
m1 )<br />
2 v0 2 + ln( c m2<br />
m1 ) ≈ vo ln m1 <br />
m2<br />
som jo <strong>og</strong>så det resultat, en urelativistisk regning giver.<br />
(6.117)<br />
(6.118)<br />
Lad os nu <strong>for</strong>estille os, at gassen, der blev sendt ud, var en fotongas. Fotonernes<br />
frekvens er f, <strong>og</strong> der udsendes n fotoner i et givet tidsrum. Ligningerne<br />
(6.108) <strong>og</strong> (6.109) bliver da ændret til<br />
d m c2 <br />
u 1 − ( c )2<br />
<br />
= −n h f (6.119)<br />
d m u<br />
<br />
u 1 − ( c )2<br />
h f<br />
= −n (6.120)<br />
c<br />
Ved at benytte helt samme metode som før får vi her ligningen<br />
c dm<br />
m<br />
= − du<br />
1 − ( u<br />
c )2<br />
(6.121)<br />
Denne ligning kan igen løses ved integration, <strong>og</strong> med samme betingelser som<br />
før fås her <strong>for</strong> u2<br />
u2 = c<br />
1 − ( m2<br />
m1 )2<br />
1 + ( m2<br />
m1 )2<br />
som er det samme, som vi ville få af ligning (6.117) ved at sætte vo = c.<br />
6 Benyt at <strong>for</strong> |x| ≪ 1 gælder a x ≈ 1 + x ln(a).<br />
(6.122)
Kapitel 7<br />
Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter<br />
Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter spiller allerede fra starten af Einsteins overvejelser<br />
om rum <strong>og</strong> tid en central rolle <strong>for</strong> udviklingen af den specielle relativitetsteori.<br />
Einstein funderer over, at det er lige meget om en magnet bevæger<br />
sig <strong>for</strong>bi en stationær leder, eller om, det er lederen, der bevæger sig <strong>for</strong>bi<br />
en stationær magnet. Den iagttagne elektriske strøm, der genereres, er den<br />
samme. Endvidere stod det med <strong>for</strong>muleringen af Maxwells ligninger klart,<br />
at lys er udbredelse af elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter i rummet, <strong>og</strong> med Einsteins<br />
<strong>for</strong>kastelse af æterteorien, blev det ligeledes klart, at disse felter ikke<br />
behøver et medium <strong>for</strong> at kunne udbrede sig, men <strong>og</strong>så kan udbrede sig i det<br />
tomme rum. Da et af grundpostulaterne i den specielle relativitetsteori er, at<br />
alle inertialsystemer er lige gode, vil vi i dette kapitel undersøge, hvorledes<br />
elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter trans<strong>for</strong>merer fra et inertialsystem til et andet<br />
inertialsystem.<br />
7.1 Trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne<br />
For at finde trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne <strong>for</strong> det elektriske felt E <strong>og</strong> <strong>for</strong> det<br />
magnetiske felt B går vi ud fra, at Lorentzkraften i de to inertialsystemer S<br />
<strong>og</strong> S ′ er givet ved henholdsvis<br />
F = q ( E + u × B) (7.1)<br />
F ′ = q ( E ′ + u ′ × B ′ ) (7.2)<br />
hvor u <strong>og</strong> u ′ er partiklens hastighed i henholdsvis S <strong>og</strong> S ′ . Tilsvarende notation<br />
<strong>for</strong> kræfter <strong>og</strong> felter. Det er endvidere antaget, at den elektriske ladning<br />
q af partiklen er invariant. Lad os se på x ′ -komponenten af F ′<br />
F ′ x = q (E ′ x + u ′ y B ′ z − u ′ z B ′ y) (7.3)<br />
107
108 Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter<br />
Hastighederne målt i S ′ kan udtrykkes ved hastighederne i S, således at<br />
ligning (7.3) kan skrives<br />
F ′ x = q E ′ x + uy<br />
1 − ( v<br />
1 −<br />
c )2<br />
v ux<br />
c2 B ′ z − uz<br />
1 − ( v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
c )2<br />
B ′ <br />
y<br />
(7.4)<br />
Vi kan <strong>og</strong>så finde F ′ x af ligning (7.1) ved at benytte trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlen<br />
ligning (4.77) <strong>for</strong> kraft<br />
F ′ x = Fx − v<br />
c2 u · F<br />
v ux 1 − c2 ⇔ (7.5)<br />
F ′ x = q (Ex + uy Bz − uz By − v<br />
1 −<br />
c2 (ux Ex + uy Ey + uz Ez))<br />
v ux<br />
c2 (7.6)<br />
Ved i ligningerne (7.4) <strong>og</strong> (7.6) at sammenligne de hastighedsuafhængige led<br />
<strong>og</strong> de led, der afhænger af henholdsvis uy <strong>og</strong> af uz, fås 1<br />
samt<br />
For F ′ y fås på samme måde<br />
E ′ x = Ex<br />
B ′ y = By + v<br />
c 2 Ez<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
B ′ z = Bz − v<br />
c 2 Ey<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(7.7)<br />
(7.8)<br />
(7.9)<br />
F ′ y = q (E ′ y + u ′ z B ′ x − u ′ x B ′ z) ⇔ (7.10)<br />
F ′ y = q E ′ y + uz<br />
1 − ( v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
c )2<br />
B ′ x − ux − v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
B ′ <br />
z<br />
(7.11)<br />
F ′ y kan <strong>og</strong>så findes ved at benytte krafttrans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlen ligning (4.80)<br />
<strong>for</strong> Fy<br />
F ′ y = q (Ey + uz Bx − ux Bz) 1 − ( v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
c )2<br />
(7.12)<br />
Ved at sammenholde led med uz i ligningerne(7.11) <strong>og</strong> (7.12) ses, at der<br />
gælder<br />
(7.13)<br />
B ′ x = Bx<br />
1 Det <strong>for</strong>udsættes, at hastigheden u ikke indgår i trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne.
7.1 Trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne 109<br />
Fra ligning (7.9) kender vi B ′ z. Dette indsættes i ligning (7.11) <strong>og</strong> led uden<br />
uz i ligningerne (7.11) <strong>og</strong> (7.12) sammenlignes. Dette giver<br />
E ′ y − Bz − v<br />
c 2 Ey<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
som efter lidt regning medfører<br />
Vi ser dernæst på F ′ z<br />
ux − v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
= (Ey − ux Bz) 1 − ( v<br />
1 −<br />
E ′ y = Ey − v Bz<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
v ux<br />
c 2<br />
c )2<br />
(7.14)<br />
(7.15)<br />
F ′ z = q (E ′ z + u ′ x B ′ y − u ′ y B ′ x) ⇔ (7.16)<br />
som efter brug af hastighedstrans<strong>for</strong>mationen giver<br />
F ′ z = q E ′ z + ux − v<br />
B<br />
1 − ′ y − uy<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
v ux<br />
c 2<br />
Ved trans<strong>for</strong>mation af Fz ved brug af ligning (4.81) fås<br />
F ′ z = q (Ez + ux By − uy Bx) 1 − ( v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
2<br />
c )2<br />
B ′ <br />
x<br />
(7.17)<br />
(7.18)<br />
Fra ligning (7.8) kendes B ′ y. Dette indsættes i ligning (7.17), <strong>og</strong> led uden uy<br />
sammenlignes i ligningerne (7.17) <strong>og</strong> (7.18), hvorved vi får<br />
E ′ z + By + v<br />
c 2 Ez<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
som efter lidt regning giver<br />
ux − v<br />
1 −<br />
v ux<br />
c 2<br />
= (Ez + ux By) 1 − ( v<br />
1 −<br />
E ′ z = Ez + v By<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
v ux<br />
c 2<br />
c )2<br />
(7.19)<br />
(7.20)<br />
Lad os samle de opnåede resultater <strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mation af det elektriske <strong>og</strong><br />
det magnetiske felt fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ′<br />
E ′ x = Ex<br />
B ′ x = Bx<br />
E ′ y = Ey − v Bz<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
B ′ y = By + v<br />
c 2 Ez<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
E ′ z = Ez + v By<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
B ′ z = Bz − v<br />
c 2 Ey<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(7.21)<br />
(7.22)
110 Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter<br />
<strong>og</strong> de tilsvarende <strong>for</strong>mler <strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mationen fra S ′ til S<br />
Ex = E ′ x<br />
Bx = B ′ x<br />
Ey = E′ y + v B ′ z<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
By = B′ y − v<br />
c 2 E ′ z<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
Ez = E′ z − v B ′ y<br />
<br />
v 1 − ( c )2<br />
Bz = B′ z + v<br />
c 2 E ′ y<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(7.23)<br />
(7.24)<br />
7.2 Konsekvenser af trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne<br />
7.2.1 Invariante størrelser<br />
Det ses ved direkte udregning, at følgende størrelser er invariante<br />
samt<br />
E 2 − c 2 B 2<br />
= E ′ 2<br />
− c 2 B ′ 2<br />
(7.25)<br />
E · B = E ′ · B ′ (7.26)<br />
Ligning (7.26) viser, at hvis det elektriske felt <strong>og</strong> det magnetiske felt er ort<strong>og</strong>onale<br />
i inertialsystemet S, er de <strong>og</strong>så ort<strong>og</strong>onale i inertialsystemet S ′ .<br />
7.2.2 Specialtilfældet E = o<br />
For E = o <strong>og</strong> B vilkårlig følger umiddelbart af ligningerne (7.21) <strong>og</strong> (7.22)<br />
E ′ x = 0 E ′ y =<br />
B ′ x = Bx<br />
B ′ y =<br />
−v Bz<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
By<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
E ′ z =<br />
B ′ z =<br />
v By<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
Bz<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(7.27)<br />
(7.28)<br />
Af disse to ligninger ses, at det der i inertialsystemet S kun er et magnetisk<br />
felt, i inertialsystemet S ′ er både et magnetisk felt <strong>og</strong> et elektrisk felt.<br />
Da v = vi <strong>og</strong> B = Bx i + By j + Bz k, hvor i, j <strong>og</strong> k er de sædvanlige<br />
basisvektorer i rumdelen af inertialsystemet S, er v × B = v By k − v Bz j.<br />
Ligningerne (7.27) <strong>og</strong> (7.28) kan derved i dette tilfælde sammenfattes ved<br />
E ′ =<br />
1<br />
<br />
1 − v ×<br />
v 2<br />
c<br />
B = v × B ′ (7.29)
7.3 Den kørende stang 111<br />
7.2.3 Specialtilfældet B = o<br />
For B = o <strong>og</strong> E vilkårlig følger umiddelbart af ligningerne (7.21) <strong>og</strong> (7.22)<br />
E ′ x = Ex<br />
E ′ y =<br />
B ′ x = 0 B ′ y =<br />
Ey<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
v<br />
c 2 Ez<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
E ′ z =<br />
B ′ z =<br />
Ez<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
− v<br />
c 2 Ey<br />
1 − ( v<br />
c )2<br />
(7.30)<br />
(7.31)<br />
Af disse to ligninger ses, at det, der i inertialsystemet S kun er et elektrisk<br />
felt, i inertialsystemet S ′ både er et elektrisk felt <strong>og</strong> et magnetisk felt.<br />
Da v = vi <strong>og</strong> E = Ex i + Ey j + Ez k, er v × E = v Ey k − v Ez j. I dette<br />
specialtilfælde kan ligningerne (7.30) <strong>og</strong> (7.31) derved sammenskrives til<br />
B ′ = −1<br />
c 2<br />
7.3 Den kørende stang<br />
v × E −1<br />
= v 1 − ( )2 c<br />
c 2 v × E ′ (7.32)<br />
Vi vil se på en meget lang stang med positiv elektrisk ladning hom<strong>og</strong>ent<br />
påsmurt. I inertialsystemet S ′ , hvor stangen er i hvile, er ladningstætheden,<br />
ladning pr. længde, λo. I S ′ er der kun et elektrisk felt rettet radialt væk fra<br />
x ′ -aksen. For et punkt beliggende i x ′ y ′ -planen med y ′ > 0 er det elektriske<br />
felt i y ′ -aksens retning<br />
E ′ y = λo<br />
2 π ɛo r ′<br />
(7.33)<br />
hvor r ′ er afstanden fra det pågældende punkt til x ′ -aksen.<br />
Inertialsystemet S ′ bevæger sig med hastighed v i <strong>for</strong>hold til inertialsystemet<br />
S (se Fig. (7.1)), <strong>og</strong> der<strong>for</strong> bliver ladningstætheden λ i S på grund af Lorentz<strong>for</strong>kortningen<br />
λ =<br />
λo<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
(7.34)<br />
Denne ladnings<strong>for</strong>deling giver <strong>og</strong>så i S et elektrisk felt i det givne punkt<br />
rettet efter y-aksen<br />
Ey =<br />
λo<br />
<br />
2 π ɛo r 1 − v<br />
c<br />
2<br />
(7.35)
112 Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter<br />
y<br />
S<br />
y ′<br />
S ′<br />
v<br />
Figur 7.1: Kørende stang med elektrisk ladning.<br />
x, x ′<br />
Men i S får vi <strong>og</strong>så et magnetfelt fra Biot-Savarts lov, idet vi i dette inertialsystem<br />
har en elektisk strøm i x-aksens retning med stømstyrke<br />
I =<br />
Magnetfeltet i det givne punkt er<br />
Bz = µo<br />
2 π<br />
λo v<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
λo v<br />
<br />
r 1 − v<br />
c<br />
2<br />
(7.36)<br />
(7.37)<br />
hvor r er afstanden fra punktet til x-aksen. Da afstande vinkelrette på x, x ′ -<br />
akserne er ens i S <strong>og</strong> S ′ er r = r ′ .<br />
Vi kan <strong>og</strong>så finde Ey <strong>og</strong> Bz ved at benytte de fundne trans<strong>for</strong>mationsregler<br />
<strong>for</strong> elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter ligningerne (7.23) <strong>og</strong> (7.24) samt ligning<br />
(7.33). Dette giver<br />
samt<br />
Ey = E′ y + v B ′ z<br />
λo<br />
<br />
1 − = <br />
v 2<br />
2 π ɛo r 1 − c<br />
v<br />
c<br />
c2 E ′ y<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
Bz = B′ z + v<br />
2 = µo<br />
2 π<br />
λo v<br />
<br />
r 1 − v<br />
c<br />
2<br />
2<br />
(7.38)<br />
(7.39)<br />
hvor vi <strong>og</strong>så har benyttet B ′ z = 0. Ligningerne (7.38) <strong>og</strong> (7.39) er præcis de<br />
samme som ligningerne (7.35) <strong>og</strong> (7.37).
7.4 Ladet partikel med konstant hastighed 113<br />
7.4 Ladet partikel med konstant hastighed<br />
En partikel med elektrisk ladning q bevæger sig med konstant hastighed v<br />
efter x-aksens retning i inertialsystemet S. Se Fig. (7.2).<br />
z<br />
q<br />
y<br />
θ<br />
v<br />
r<br />
Figur 7.2: Det elektriske <strong>og</strong> det magnetiske felt fra ladning med konstant<br />
hastighed v langs x-aksen.<br />
I partiklens hvilesystem S ′ er i punktet P (x ′ , y ′ , z ′ ) til alle tider det elektriske<br />
felt givet ved Coulombfeltet, <strong>og</strong> det magnetiske felt er nul<br />
E ′ = q<br />
4 π ɛ0<br />
r ′<br />
|r ′ |<br />
= q<br />
4 π ɛ0<br />
P<br />
1<br />
B<br />
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3<br />
2<br />
E<br />
x<br />
(x ′ , y ′ , z ′ ) (7.40)<br />
B ′ = o (7.41)<br />
hvor r ′ er stedvektoren til P i S ′ .<br />
Vi vil finde det elektriske felt <strong>og</strong> det magnetiske felt i inertialsystemet S til<br />
tiden t = 0. Af trans<strong>for</strong>mations<strong>for</strong>mlerne <strong>for</strong> felterne ligningerne (7.23) <strong>og</strong>
114 Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter<br />
(7.24) får vi<br />
Ex = q<br />
4 π ɛ0<br />
Ey = q<br />
4 π ɛ0<br />
Ez = q<br />
4 π ɛ0<br />
Bx = 0<br />
By = − v<br />
c 2<br />
Bz = v<br />
c 2<br />
x ′<br />
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3<br />
2<br />
1<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
1<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
2<br />
q<br />
4 π ɛ0<br />
1<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
q<br />
4 π ɛ0<br />
1<br />
<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
Af disse to ligningssæt ses, at der gælder<br />
y ′<br />
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3<br />
2<br />
z ′<br />
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3<br />
2<br />
2<br />
z ′<br />
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3<br />
2<br />
y ′<br />
(x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 3<br />
2<br />
(7.42)<br />
(7.43)<br />
B = 1<br />
c 2 v × E (7.44)<br />
Til t = 0 er P i S beskrevet ved r = (x, y, z) <strong>og</strong> i S ′ ved<br />
x ′ =<br />
x<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
y ′ = y z ′ = z (t ′ =<br />
v − c2 x<br />
<br />
1 − ) (7.45)<br />
v 2<br />
c<br />
Ligning (7.45) benyttes i ligning (7.42), <strong>og</strong> vi får det elektriske felt (<strong>og</strong> dermed<br />
<strong>og</strong>så det magnetiske felt) i punktet P i systemetS udelukkende beskrevet ved<br />
koordinater angivet i S. Først <strong>for</strong>etages en lille omskrivning af x ′2 + y ′2 + z ′2<br />
x ′2 + y ′2 + z ′2 =<br />
=<br />
=<br />
1<br />
1 − <br />
v 2 x<br />
c<br />
2 + y 2 + z 2<br />
1<br />
1 − <br />
v 2 (x<br />
c<br />
2 + y 2 + z 2 1<br />
) + (1 −<br />
1 − <br />
v 2 ) (y<br />
c<br />
2 + z 2 )<br />
1<br />
1 − <br />
v 2 |r|<br />
c<br />
2 (1 − <br />
v 2 2<br />
sin (θ)) (7.46)<br />
c
7.4 Ladet partikel med konstant hastighed 115<br />
hvor θ er vinklen mellem v <strong>og</strong> r. Denne mellemregning anvendes i ligning<br />
(7.42), <strong>og</strong> vi får med r = |r|<br />
Ex = q<br />
4 π ɛ0<br />
Ey = q<br />
4 π ɛ0<br />
Ez = q<br />
4 π ɛ0<br />
(1 − <br />
v 2)<br />
c<br />
(1 − <br />
v 2)<br />
c<br />
(1 − <br />
v 2)<br />
c<br />
r 3 (1 − v<br />
c<br />
r 3 (1 − v<br />
c<br />
r 3 (1 − v<br />
c<br />
x<br />
2 sin 2 (θ)) 3<br />
2<br />
y<br />
2 sin 2 (θ)) 3<br />
2<br />
z<br />
2 sin 2 (θ)) 3<br />
2<br />
(7.47)<br />
Dvs. E er rettet radiært væk fra ladningens øjeblikkelige position. B-feltets<br />
retning er pga. krydsproduktet både vinkelret på v <strong>og</strong> r <strong>og</strong> har samme længde<br />
<strong>for</strong> alle r, der fås ved at roterere r rundt om x-aksen med fast åbningsvinkel<br />
(som på en kegle). Dvs. B-feltet er <strong>for</strong> alle disse r tangent til den derved<br />
fremkomne cirkel. Se Fig. (7.2). Endvidere ses af vinkelafhængigheden θ,<br />
at det elektriske felt er størst <strong>for</strong> θ = 90 o , altså i retninger vinkelrette på<br />
ladningens bevægelsesretning, <strong>og</strong> det elektriske felt er mindst i <strong>og</strong> modsat<br />
bevægelsesretningen. 2 Længden af det elektriske felt er nemlig<br />
| E| = q<br />
4 π ɛ0<br />
r 2 1 − v<br />
c<br />
1 − <br />
v 2<br />
c<br />
2 sin 2 (θ) 3<br />
2<br />
(7.48)<br />
For B-feltet kommer der yderligere en <strong>for</strong>mindskende θ-afhængighed via<br />
krydsproduktet i ligning (7.44). Derved bliver længden af B-feltet<br />
Se Fig. (7.3).<br />
| B| =<br />
q<br />
4 π ɛ0 c<br />
v<br />
c<br />
<br />
v 2<br />
1 − sin(θ)<br />
c<br />
r 2 1 − v<br />
c<br />
2 sin 2 (θ) 3<br />
2<br />
(7.49)<br />
Bemærk at både | E| <strong>og</strong> B| er symmetriske omkring θ = 90 o , <strong>og</strong> at B = o i<br />
både <strong>for</strong>læns <strong>og</strong> baglæns retning, dvs. <strong>for</strong> θ = 0 o <strong>og</strong> θ = 180 o .<br />
2 Disse betragtninger gælder til ethvet tidspunkt i inertialsystemet S. Vi har af regnemæssige<br />
bekvemmelighedsgrunde valgt at se på situationen <strong>for</strong> t = 0, men som det ses,<br />
indgår tiden ikke i vores konklusion.
116 Elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter<br />
E/E 0<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
Elektrisk felt<br />
1a<br />
0<br />
0<br />
1.5<br />
50 100 150 200<br />
1<br />
0.5<br />
2a<br />
0<br />
0<br />
1.5<br />
50 100 150 200<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
0<br />
2<br />
3a<br />
50 100 150 200<br />
1<br />
0<br />
0<br />
4a<br />
50 100<br />
θ<br />
150 200<br />
B/B 0<br />
1<br />
0<br />
Magnetisk felt<br />
-1<br />
0<br />
0.4<br />
1b<br />
50 100 150 200<br />
0.2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
50 100 150 200<br />
0.5<br />
0<br />
0<br />
1.5<br />
50 100 150 200<br />
1<br />
2b<br />
3b<br />
0.5<br />
4b<br />
0<br />
0 50 100<br />
θ<br />
150 200<br />
Figur 7.3: Det elektriske <strong>og</strong> det magnetiske felt <strong>for</strong> en ladet partikel, der<br />
bevæger sig med farten v i x-aksens retning som funktion af vinklen θ.<br />
Felterne er skalerede med henholdsvis E0 = q<br />
4 π ɛ0 r2 q<br />
<strong>og</strong> B0 = 4 π ɛ0 c r2 .<br />
1.række: v<br />
c<br />
= 0, 2.række: v<br />
c<br />
= 0.25, 3.række: v<br />
c<br />
= 0.50, 4.række: v<br />
c<br />
= 0.75.
Kapitel 8<br />
Invarians af Maxwells ligninger<br />
Vi har i kapitel 4 set, at kravene, der fører frem til Lorentztrans<strong>for</strong>mationen,<br />
medfører, at den Newtonske mekanik skal ændres. Det viste sig nødvendigt<br />
at indføre en ny definition af impuls. Dermed blev Newtons 2. lov justeret,<br />
<strong>og</strong> vi fik en teori <strong>for</strong> den relativistiske mekanik, der gælder i alle inertialsystemer.<br />
Vi skal nu undersøge, om Lorentztrans<strong>for</strong>mationen <strong>og</strong>så medfører<br />
at elektrodynamikken, som den er beskrevet ved Maxwells ligninger, <strong>og</strong>så<br />
skal ændres. Resultatet af disse undersøgelser er, at Maxwells ligninger er<br />
invariante under en Lorentztrans<strong>for</strong>mation.<br />
8.1 Maxwells ligninger i vakuum<br />
Maxwells ligninger i vakuum har som bekendt <strong>for</strong>men<br />
∇ · E = 0 (8.1)<br />
∇ · B = 0 (8.2)<br />
∇ × E = − ∂B<br />
∂t<br />
(8.3)<br />
∂E<br />
∇ × B = µo ɛo<br />
∂t<br />
(8.4)<br />
117
118 Invarians af Maxwells ligninger<br />
Skrevet ud i koordinater lyder de<br />
∂Ex<br />
∂x<br />
∂Bx<br />
∂x<br />
+ ∂Ey<br />
∂y<br />
+ ∂By<br />
∂y<br />
∂Ez<br />
∂y<br />
∂Ex<br />
∂z<br />
∂Ey<br />
∂x<br />
∂Bz<br />
∂y<br />
∂Bx<br />
∂z<br />
∂By<br />
∂x<br />
+ ∂Ez<br />
∂z<br />
+ ∂Bz<br />
∂z<br />
− ∂Ey<br />
∂z<br />
− ∂Ez<br />
∂x<br />
− ∂Ex<br />
∂y<br />
= 0 (8.5)<br />
= 0 (8.6)<br />
= −∂Bx<br />
∂t<br />
= −∂By<br />
∂t<br />
= −∂Bz<br />
∂t<br />
∂By<br />
−<br />
∂z = µo<br />
∂Ex<br />
ɛo<br />
∂t<br />
∂Bz<br />
−<br />
∂x = µo<br />
∂Ey<br />
ɛo<br />
∂t<br />
∂Bx<br />
−<br />
∂y = µo<br />
∂Ez<br />
ɛo<br />
∂t<br />
(8.7)<br />
(8.8)<br />
(8.9)<br />
(8.10)<br />
(8.11)<br />
(8.12)<br />
Vi ønsker at vise, at Maxwells ligninger har samme <strong>for</strong>m i alle inertialsystemer.<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ′<br />
vil i dette afsnit blive skrevet på <strong>for</strong>men<br />
x ′ = γ (x − v t) y ′ = y z ′ = z t ′ = γ (t − v<br />
c 2 x) (8.13)<br />
hvor<br />
γ =<br />
1<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
(8.14)
8.1 Maxwells ligninger i vakuum 119<br />
Lad en fysisk størrelse F være en funktion af t <strong>og</strong> x samt y <strong>og</strong> z. Da t <strong>og</strong> x er<br />
funktioner af t ′ <strong>og</strong> x ′ som angivet i ligning (8.14), gælder ifølge kædereglen<br />
Endvidere gælder<br />
∂F<br />
∂t<br />
∂F<br />
∂x<br />
∂F<br />
=<br />
∂t ′<br />
= ∂F<br />
∂t<br />
∂t ′<br />
∂t<br />
+ ∂F<br />
∂x ′<br />
∂x ′<br />
∂t<br />
∂F<br />
γ − v γ (8.15)<br />
′ ∂x ′<br />
∂F<br />
=<br />
∂t ′<br />
∂t ′<br />
∂x<br />
= − ∂F<br />
∂t ′<br />
v<br />
c<br />
∂F<br />
∂y<br />
∂F<br />
∂z<br />
= ∂F<br />
∂y ′<br />
= ∂F<br />
∂z ′<br />
+ ∂F<br />
∂x ′<br />
∂x ′<br />
∂x<br />
∂F<br />
γ + γ (8.16)<br />
2 ∂x ′<br />
(8.17)<br />
(8.18)<br />
Ved at benytte trans<strong>for</strong>mationsreglerne <strong>for</strong> det elektriske felt <strong>og</strong> <strong>for</strong> det magnetiske<br />
felt (se ligningerne (7.23) til (7.24)) samt ovenstående differentiationsregler<br />
omskrives ligning (8.7)<br />
∂<br />
∂y ′ (γ (E′ z − v B ′ y)) − ∂<br />
∂z ′ (γ (E′ y + v B ′ z)) = −(γ ∂<br />
∂t ′ B′ x − γ v ∂<br />
∂x ′ B′ x) ⇔<br />
∂E ′ z<br />
∂y ′ − ∂E′ y<br />
∂z ′ + ∂B′ x<br />
∂t ′<br />
∂B<br />
− v ′ x<br />
∂x ′ + ∂B′ y<br />
∂y ′ + ∂B′ z<br />
∂z ′<br />
<br />
= 0 (8.19)<br />
Ligeledes omskrives ligning (8.6)<br />
− v<br />
c 2 γ ∂B′ x<br />
∂t ′ + γ ∂B′ x<br />
∂x<br />
∂<br />
+ ′ ∂y ′<br />
′<br />
γ B y − v<br />
c2 E′ ∂<br />
z +<br />
∂z ′<br />
′<br />
γ B z + v<br />
c2 E′ <br />
y = 0 ⇔<br />
− v<br />
c2 ∂E ′ z<br />
∂y ′ − ∂E′ y<br />
∂z ′ + ∂B′ x<br />
∂t ′<br />
∂B<br />
+ ′ x<br />
∂x ′ + ∂B′ y<br />
∂y ′ + ∂B′ z<br />
∂z ′<br />
<br />
= 0 (8.20)<br />
Hvis ligningerne (8.19) <strong>og</strong> (8.20) skal gælde <strong>for</strong> alle v, må følgende være<br />
opfyldt<br />
∂B ′ x<br />
∂x ′ + ∂B′ y<br />
∂y ′ + ∂B′ z<br />
∂z<br />
′ = 0 (8.21)<br />
∂E ′ z<br />
∂y ′ − ∂E′ y<br />
∂z ′ = −∂B′ x<br />
∂t ′<br />
(8.22)
120 Invarians af Maxwells ligninger<br />
Men ligningerne (8.21) <strong>og</strong> (8.22) er jo netop to af Maxwells ligninger (8.6)<br />
<strong>og</strong> (8.7) opskrevet i inertialsystemet S ′ . Dvs. disse to ligninger er Lorentzinvariante.<br />
Ligning (8.8) omskrives<br />
∂E ′ <br />
x<br />
− −<br />
∂z ′ ∂<br />
∂t ′<br />
′<br />
γ (E z − v B ′ y) v<br />
c2 ∂<br />
γ +<br />
∂x ′ (γ (E′ z − v B ′ <br />
y)γ =<br />
<br />
∂<br />
−<br />
∂t ′<br />
′<br />
γ B y − v<br />
c2 E′ ∂<br />
z γ −<br />
∂x ′<br />
′<br />
γ B y − v<br />
c2 E′ <br />
z v γ ⇔ (8.23)<br />
∂E ′ x<br />
∂z ′ − ∂E′ z<br />
∂x ′ = −∂B′ y<br />
∂t ′<br />
(8.24)<br />
Ligning (8.24) Maxwells ligning (8.8) i inertialsystemet S ′ . Igen er invariansen<br />
af en Maxwellligning hermed vist. Invariansen af ligning (8.9) kan gennemføres<br />
helt anal<strong>og</strong>t.<br />
Dernæst ser vi på ligning (8.5) med udnyttelse af c 2 = 1<br />
µo ɛo<br />
− ∂E′ x<br />
∂t ′<br />
v<br />
c2 γ + ∂E′ x<br />
∂x<br />
∂<br />
γ + ′ ∂y ′ (γ(E′ y + v B ′ z)) + ∂<br />
∂z ′ (γ(E′ z − v B ′ y)) = 0 ⇔<br />
∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z<br />
∂z ′<br />
∂B<br />
+ v ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y 1<br />
−<br />
∂z ′ c2 ∂E ′ x<br />
∂t ′<br />
<br />
= 0 ⇔<br />
∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z<br />
∂z ′<br />
∂B<br />
+ v ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y<br />
∂z ′ − µo<br />
∂E<br />
ɛo<br />
′ x<br />
∂t ′<br />
<br />
= 0 (8.25)<br />
Endelig får ligning (8.10) samme behandling<br />
∂<br />
∂y ′<br />
′<br />
γ B z + v<br />
c2 E′ ∂<br />
y −<br />
∂z ′<br />
′<br />
γ B y − v<br />
c2 E′ ∂E<br />
z = µo ɛo<br />
′ x<br />
∂t ′ γ − ∂E′ x<br />
∂x ′ v γ ⇔<br />
v<br />
c2 ∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z<br />
∂z ′<br />
∂B<br />
+ ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y<br />
∂z ′ − µo<br />
∂E<br />
ɛo<br />
′ x<br />
∂t ′<br />
<br />
= 0 (8.26)<br />
Hvis ligningerne (8.25) <strong>og</strong> (8.26) skal gælde <strong>for</strong> alle v, må følgende være<br />
opfyldt<br />
∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z<br />
∂z<br />
∂B ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y<br />
∂z ′ = µo<br />
∂E<br />
ɛo<br />
′ x<br />
∂t ′<br />
′ = 0 (8.27)<br />
(8.28)<br />
Ligningerne (8.27) <strong>og</strong> (8.28) er netop Maxwellligningerne (8.5) <strong>og</strong> (8.10).<br />
Altså igen er det vist, at to af Maxwllligningerne er Lorentzinvariante.<br />
De resterende ligningers invarians vises på samme måde.
8.2 Ladningstæthed <strong>og</strong> strømtæthed 121<br />
8.2 Ladningstæthed <strong>og</strong> strømtæthed<br />
Lad os betragte et system af ladninger i bevægelse i et inertialsystem S. Ladningernes<br />
hastighed i S er u. I ladningernes hvilesystem er ladningstætheden<br />
ρo. På grund af Lorentz<strong>for</strong>kortningen i bevægelsesretningen (se ligning (3.62))<br />
er ladningstætheden ρ i inertialsystemt S da<br />
1<br />
ρ = ρo <br />
1 − u<br />
c<br />
Strømtætheden j bliver der<strong>for</strong> i dette inertialsystem<br />
2<br />
j<br />
u<br />
= ρ u = ρo <br />
1 − u<br />
c<br />
2<br />
(8.29)<br />
(8.30)<br />
Vi vil nu finde trans<strong>for</strong>mationsreglerne <strong>for</strong> ladningstæthed <strong>og</strong> strømtæthed<br />
ved overgang mellem to inertialsystemer S <strong>og</strong> S ′ , hvor S ′ bevæger sig med<br />
hastighed v i <strong>for</strong>hold til S. Til brug <strong>for</strong> dette benytter vi hastighedstrans<strong>for</strong>mationen<br />
ligningerne (3.36) til (3.38) samt relationen (se ligningerne (4.55)<br />
til (4.57))<br />
Først omskrives ρ<br />
<br />
1 − u<br />
c<br />
1<br />
ρ = ρo <br />
1 − =<br />
u 2<br />
c<br />
ρ = ρ′ + v<br />
<br />
c 2 j ′ x<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
Dernæst på samme måde<br />
jx =<br />
ρo ux<br />
2 =<br />
<br />
1 − =<br />
u 2<br />
c<br />
jx = j′ x + v ρ ′<br />
<br />
2 1 − v<br />
c<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
<br />
<br />
2<br />
1 + v u′ x<br />
c 2<br />
ρo +<br />
u ′<br />
2<br />
1− c<br />
v<br />
c2 <br />
ρo u ′ x<br />
u ′<br />
1− c<br />
1 − v<br />
c<br />
1 − u ′<br />
c<br />
ρo u ′ x<br />
u ′<br />
1− c<br />
2 2 + v<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
2<br />
ρo u ′<br />
1− c<br />
2 ⇔<br />
2<br />
⇔<br />
(8.31)<br />
(8.32)<br />
(8.33)
122 Invarians af Maxwells ligninger<br />
For jy <strong>og</strong> jz ses at gælde<br />
Altså har vi<br />
jy =<br />
jz =<br />
<br />
<br />
ρo uy<br />
1 − =<br />
u 2<br />
c<br />
ρo uz<br />
1 − =<br />
u 2<br />
c<br />
jy = j ′ y<br />
jz = j ′ z<br />
ρo u ′ y<br />
<br />
1 − u ′ <br />
= j<br />
2<br />
c<br />
′ y<br />
ρo u ′ z<br />
<br />
1 − u ′ <br />
= j<br />
2<br />
c<br />
′ z<br />
(8.34)<br />
(8.35)<br />
(8.36)<br />
(8.37)<br />
Vi kan hermed konkludere, at (ρ, jx, jy, jz) trans<strong>for</strong>merer på samme måde<br />
som (t, x, y, z) under en Lorentztrans<strong>for</strong>mation. Endvidere kan vi slutte, at<br />
(c ρ) 2 − j 2 er invariant. Den bliver<br />
(c ρ) 2 − j 2 = c 2 ρ 2 o<br />
8.3 Maxwells ligninger med kilder<br />
Maxwells ligninger med kilder er<br />
∇ · E = ρ<br />
ɛo<br />
(8.38)<br />
(8.39)<br />
∇ · B = 0 (8.40)<br />
∇ × E = − ∂B<br />
∂t<br />
∇ × B = µo j + µo ɛo<br />
∂E<br />
∂t<br />
(8.41)<br />
(8.42)
8.3 Maxwells ligninger med kilder 123<br />
På koordinat<strong>for</strong>m er de<br />
∂Ex<br />
∂x<br />
∂Bx<br />
∂x<br />
+ ∂Ey<br />
∂y<br />
+ ∂By<br />
∂y<br />
∂Ez<br />
∂y<br />
∂Ex<br />
∂z<br />
∂Ey<br />
∂x<br />
∂Bz<br />
∂y<br />
∂Bx<br />
∂z<br />
∂By<br />
∂x<br />
+ ∂Ez<br />
∂z<br />
+ ∂Bz<br />
∂z<br />
− ∂Ey<br />
∂z<br />
− ∂Ez<br />
∂x<br />
− ∂Ex<br />
∂y<br />
= ρ<br />
ɛo<br />
(8.43)<br />
= 0 (8.44)<br />
= −∂Bx<br />
∂t<br />
= −∂By<br />
∂t<br />
= −∂Bz<br />
∂t<br />
∂By<br />
−<br />
∂z = µo<br />
∂Ex<br />
jx + µo ɛo<br />
∂t<br />
∂Bz<br />
−<br />
∂x = µo<br />
∂Ey<br />
jy + µo ɛo<br />
∂t<br />
∂Bx<br />
−<br />
∂y = µo<br />
∂Ez<br />
jz + µo ɛo<br />
∂t<br />
(8.45)<br />
(8.46)<br />
(8.47)<br />
(8.48)<br />
(8.49)<br />
(8.50)<br />
Vi skal nu vise Lorentzinvariansen af ligningerne (8.43) til (8.50). Fremgangsmåden<br />
er den samme som i det kildefrie tilfælde. Omskrivningen af<br />
ligning (8.43) giver i <strong>for</strong>hold til før blot et ekstra led, der hidrører fra trans<strong>for</strong>mationen<br />
af ρ ligning (8.32). Resultatet er, idet vi igen benytter c 2 = 1<br />
µo ɛo<br />
∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z ρ′<br />
−<br />
∂z ′<br />
ɛo<br />
+ v ∂B ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y<br />
∂z ′ − µo j ′ x − µo ɛo<br />
∂E ′ x<br />
∂t ′<br />
<br />
= 0 (8.51)<br />
Ved omskrivningen af ligning (8.48) benyttes ligning (8.33) til at udtrykke<br />
µo jx ved de målte størrelser i inertialsystemet S ′ . Resultatet er<br />
v<br />
c2 ∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z ρ′<br />
−<br />
∂z ′<br />
ɛo<br />
+ ∂B ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y<br />
∂z ′ − µo j ′ x − µo ɛo<br />
∂E ′ x<br />
∂t ′<br />
<br />
= 0 (8.52)
124 Invarians af Maxwells ligninger<br />
Da ligningerne (8.51) <strong>og</strong> (8.52) skal gælde <strong>for</strong> alle v, slutter vi<br />
∂E ′ x<br />
∂x ′ + ∂E′ y<br />
∂y ′ + ∂E′ z ρ′<br />
=<br />
∂z ′<br />
ɛo<br />
∂B ′ z<br />
∂y ′ − ∂B′ y<br />
∂z ′ = µo j ′ x + µo ɛo<br />
∂E ′ x<br />
∂t ′<br />
(8.53)<br />
(8.54)<br />
Hvilket netop er Maxwellligningerne (8.43) <strong>og</strong> (8.48) i inertialsystemet S ′ .<br />
Ligning (8.49) omskrives anal<strong>og</strong>t med (8.48). Efter n<strong>og</strong>en rumsteren rundt<br />
fås her<br />
∂B ′ x<br />
∂z ′ − ∂B′ z<br />
∂x ′ (1 − µo ɛo v 2 ) γ 2 ∂E<br />
= µo ɛo<br />
′ y<br />
∂t ′<br />
v 2 2<br />
1 − γ + µo j<br />
c<br />
′ y (8.55)<br />
Ved at udnytte (1 − µo ɛo v2 ) γ2 = 1 − omskrives til<br />
<br />
v 2<br />
2 γ c = 1 kan ligning (8.55)<br />
∂B ′ x<br />
∂z ′ − ∂B′ z<br />
∂x ′ = µo j ′ y + µo ɛo<br />
∂E ′ y<br />
∂t ′<br />
(8.56)<br />
som netop er Maxwelligning (8.49) i S ′ .<br />
Ligning (8.50) behandles helt anal<strong>og</strong>t med dette. Ligningerne (8.44) til (8.47)<br />
vises helt som før i det kildefrie tilfælde.<br />
Konklusionen er, at <strong>og</strong>så Maxwells ligninger med kilder er af samme <strong>for</strong>m i<br />
alle inertialsystemet. Dvs. disse ligninger er Lorentzinvariante.<br />
8.4 Bølgeligningen<br />
Bølgeligningen <strong>for</strong> det elektriske <strong>og</strong> <strong>for</strong> det magnetiske felt er en følge af<br />
Maxwells ligninger (8.1) til (8.4)<br />
<strong>og</strong><br />
∂ 2<br />
∂x<br />
∂ 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z 2<br />
∂2 ∂2<br />
+ + 2 2<br />
∂y<br />
∂z 2<br />
∂2 ∂2<br />
+ + 2 2<br />
E − µo ɛo<br />
B − µo ɛo<br />
∂2 E = 0 (8.57)<br />
∂t2 ∂2 B = 0 (8.58)<br />
∂t2 Da disse bølgeligninger udeledes direkte fra Maxwells ligninger, <strong>og</strong> da Maxwells<br />
ligninger er Lorentzinvariante, har bølgeligningen samme <strong>for</strong>m i alle inertialsystemer,<br />
<strong>og</strong> dermed er udbredelsesfarten <strong>for</strong> de elektromagnetiske bølger<br />
<strong>og</strong>så den samme i alle inertialsystemer i overensstemmelse med den<br />
grundlæggende antagelse i relativitetsteorien, nemlig at lysets fart har samme<br />
værdi i alle inertialsystemer.
Kapitel 9<br />
Firevektorer<br />
Vi vil i dette kapitel indføre et nyt begreb, som kan være meget nyttigt ved<br />
både teoretiske <strong>og</strong> konkrete regninger i relativitetsteorien. Den nye størrelse<br />
vi vil indføre er firevektoren, som er anal<strong>og</strong> til den sædvanlige vektor i planen<br />
eller rummet. For sædvanlige vektorer er skalarproduktet ofte en bekvem<br />
størrelse at ty til ved både teoretiske <strong>og</strong> konkrete beregninger. Ligeledes er<br />
længder (eller afstande) i planen eller i rummet jo sædvanligvis via skalarproduktet<br />
givet ved |a| = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3, dvs. vektorens længde kvadreret er<br />
|a| 2 = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 , som tydeligt er en positiv definit størrelse. For firevektorer<br />
vil vi nu indføre tilsvarende størrelser.<br />
9.1 Definition af firevektor<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen ligning (2.25) til ligning (2.28) <strong>for</strong> tid <strong>og</strong> sted minder<br />
på mange måder om koordinatskifte ved en drejning af koordinatsystemet<br />
i den sædvanlige plan. Hvis koordinatsystemet K ′ fremkommer ved en drejning<br />
bestemt ved vinklen θ af koordinatsystemet K, kan et punkt P i planen<br />
som bekendt beskrives ved både et koordinatsæt (x, y) i K <strong>og</strong> ved et koordinatsæt<br />
(x ′ , y ′ ) i K ′ . Se fig. (9.1).<br />
Sammenhængen mellem de to koordinatsæt er<br />
eller skrevet på matrix<strong>for</strong>m<br />
x ′ = x cos(θ) + y sin(θ) (9.1)<br />
y ′ = −x sin(θ) + y cos(θ) (9.2)<br />
<br />
′ x<br />
y ′<br />
<br />
cos(θ) sin(θ) x<br />
=<br />
− sin(θ) cos(θ) y<br />
125<br />
(9.3)
126 Firevektorer<br />
y ′<br />
K ′<br />
y<br />
K<br />
Figur 9.1: Rotation af koordinatsystem.<br />
Koordinaterne x <strong>og</strong> y <strong>og</strong> tilsvarende koordinaterne x ′ <strong>og</strong> y ′ har samme dimension<br />
således, at koefficienterne cos(θ) <strong>og</strong> sin(θ), der bestemmer koordinatskiftet,<br />
er dimensionsløse. Koefficienterne, der bestemmer Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
fra S til S ′ , er ikke dimensionsløse, men vi kan skaffe os et nyt<br />
sæt variable i stedet <strong>for</strong> t, x, y <strong>og</strong> z i S <strong>og</strong> tilsvarende t ′ , x ′ , y ′ <strong>og</strong> z ′ i S ′ ,<br />
som har dimensionsløse koefficienter <strong>for</strong> den trans<strong>for</strong>mation, der beskriver<br />
koordinatskiftet fra S til S ′ . Ligningerne (2.25) <strong>og</strong> (2.28) omskrives til<br />
θ<br />
P<br />
c t ′ v c t − c = x<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
x ′ v x − c t c = <br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
2<br />
x ′<br />
x<br />
(9.4)<br />
(9.5)<br />
Dvs. sættet (c t, x) trans<strong>for</strong>merer til sættet (c t ′ , x ′ ) med dimensionsløse koefficienter.<br />
y <strong>og</strong> z har som sædvanlig den trivielle trans<strong>for</strong>mation y ′ = y <strong>og</strong><br />
z ′ = z.<br />
I stedet <strong>for</strong> sættet (c t, x, y, z) vil vi benytte sættet (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) defineret<br />
ved<br />
(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = (c t, x, y, z) (9.6)<br />
Endvidere vil vi benytte standard<strong>for</strong>kortelserne<br />
γ =<br />
1<br />
<br />
1 − v<br />
c<br />
2<br />
<strong>og</strong> β = v<br />
c<br />
(9.7)
9.1 Definition af firevektor 127<br />
Trans<strong>for</strong>mationen fra (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) til (x ′ 0 , x ′ 1 , x ′ 2 , x ′ 3 ) kan nu skrives<br />
på matrix<strong>for</strong>m<br />
⎛<br />
x<br />
⎜<br />
⎜x<br />
⎝x<br />
x<br />
′ 0<br />
′ 1<br />
′ 2<br />
′ 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
γ<br />
⎜<br />
⎜−β<br />
γ<br />
⎝ 0<br />
−β γ<br />
γ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
0 x<br />
0⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0⎠<br />
⎝<br />
0 0 0 1<br />
0<br />
x1 x2 x3 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(9.8)<br />
Matricen i ligning (9.8) betegnes Λ. Række- <strong>og</strong> søjleindeks har værdierne<br />
0, 1, 2, 3. De enkelte elementer i Λ betegnes Λρ σ, således at rækkeindeks ρ<br />
skrives øverst, <strong>og</strong> søjleindeks σ skrives nederst. Værdierne <strong>for</strong> Λρ σ er Λ0 0 =<br />
Λ1 1 = γ, Λ0 1 = Λ1 0 = −β γ, Λ2 2 = Λ3 3 = 1, <strong>og</strong> de resterende elementer af Λ er<br />
alle nul.<br />
Den omvendte trans<strong>for</strong>mation fra inertialsystemet S ′ til S har den inverse<br />
matrix Λ som trans<strong>for</strong>mationsmatrix<br />
⎛<br />
⎞−1<br />
⎛<br />
⎞<br />
γ −β γ 0 0 γ β γ 0 0<br />
⎜−β<br />
γ γ 0 0⎟<br />
⎜β<br />
γ γ 0 0⎟<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
⎟<br />
⎠<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
Altså ⎛<br />
x<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
x1 x2 x3 ⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
γ<br />
⎜<br />
⎜β<br />
γ<br />
⎝ 0<br />
β γ<br />
γ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
0 x<br />
0⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎜x<br />
0⎠<br />
⎝x<br />
0 0 0 1 x<br />
′ 0<br />
′ 1<br />
′ 2<br />
′ 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎠<br />
(9.9)<br />
(9.10)<br />
Matricen Λ, der beskriver den generelle Lorentztrans<strong>for</strong>mation fra inertialsystemet<br />
S til inertialsystemet S ′ uden drejning af de rumlige koordinatakser,<br />
aflæses af ligningerne (2.57) <strong>og</strong> (2.58) at være<br />
Λ µ ν =<br />
⎛<br />
γ −γ β1 −γ β2 −γ β3<br />
⎜<br />
⎜−γ<br />
β1 1 + (γ − 1)<br />
⎜<br />
⎝<br />
β2 1<br />
β2 (γ − 1) β1 β2<br />
β2 (γ − 1) β1 β3<br />
β2 −γ β2 (γ − 1) β1 β2<br />
β2 1 + (γ − 1) β2 2<br />
β2 (γ − 1) β2 β3<br />
β2 −γ β3 (γ − 1) β1 β3<br />
β 2<br />
(γ − 1) β2 β3<br />
β 2<br />
hvor β = (β1, β2, β3) = ( vx vy vz , , c c c ) <strong>og</strong> β2 = | β| 2 .<br />
Matricen Λ ses at være symmetrisk, dvs. Λ µ ν = Λν µ.<br />
1 + (γ − 1) β2 3<br />
β 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(9.11)<br />
En fysisk størrelse A med fire komponenter (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ), der ved trans<strong>for</strong>mation<br />
fra et inertialsystem til et andet inertialsystem trans<strong>for</strong>merer som
128 Firevektorer<br />
(x0 , x1 , x2 , x3 ), kaldes en firevektor. Altså trans<strong>for</strong>mationen1 <strong>for</strong> (A0 , A1 , A2 , A3 )<br />
er ⎛ ⎞<br />
′ 0 A<br />
⎜ ′ 1<br />
⎜A<br />
⎟<br />
⎝ ′ 2 A ⎠<br />
′ 3 A =<br />
⎛<br />
γ<br />
⎜<br />
⎜−β<br />
γ<br />
⎝ 0<br />
−β γ<br />
γ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
0 A<br />
0⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0⎠<br />
⎝<br />
0 0 0 1<br />
0<br />
A1 A2 A3 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(9.12)<br />
0’te komponenten af A, A 0 , kaldes tidsdelen af A, <strong>og</strong> de sidste tre komponenter<br />
af A kaldes rumdelen af A <strong>og</strong> skrives ofte som A = (A 1 , A 2 , A 3 ).<br />
Eksempler på firevektorer udover (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) er sættet bestemt af en par-<br />
tikels energi <strong>og</strong> impuls ( E<br />
c<br />
, p) = ( E<br />
c , px, py, pz) kaldet fireimpulsen, se afs-<br />
nit (9.6), samt sættet bestemt af ladningstæthed <strong>og</strong> strømtæthed (c ρ, j) =<br />
(c ρ, jx, jy, jz) kaldet firestrømtætheden. Se afsnit (8.2) <strong>for</strong> hvorledes ρ <strong>og</strong><br />
j trans<strong>for</strong>merer. Endvidere vil vi se i afsnit (9.10), at bølgevektoren <strong>for</strong> en<br />
harmonisk bølge indgår i en firevektor.<br />
9.2 Regning med firevektorer<br />
Summen af to firevektorer A = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) <strong>og</strong> B = (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )<br />
defineres ved komponentvis summation, dvs. A+B = (A 0 +B 0 , A 1 +B 1 , A 2 +<br />
B 2 , A 3 + B 3 ).<br />
Ligeledes defineres et tal λ gange en firevektor ved λ A = (λ A 0 , λ A 1 , λ A 2 , λ A 3 ),<br />
dvs. komponentvis multiplikation med λ.<br />
Det vises let, at både A + B <strong>og</strong> λ A opfylder betingelsen <strong>for</strong> at være firevektorer,<br />
da trans<strong>for</strong>mationen ligning (9.12) er lineær.<br />
Det er en umiddelbar følge af en firevektors trans<strong>for</strong>mationsegenskab (ligning<br />
(9.12)) at<br />
A 0 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 = A ′0 2 − A ′1 2 − A ′2 2 − A ′3 2<br />
(9.13)<br />
Det vil altså sige at A0 2 1 2 2 2 3 2<br />
− A − A − A er en invariant størrelse under<br />
trans<strong>for</strong>mationen ligning (9.12). Størrelsen A0 2 1 2 2 2 3 2<br />
− A − A − A er anal<strong>og</strong><br />
til en sædvanlig vektors længde kvadreret, men i modsætning til denne er<br />
den ikke positiv definit, men indefinit.<br />
Ved at indføre metrikken gµν defineret ved matrix<strong>for</strong>men af den<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 0 0 0<br />
⎜<br />
gµν = ⎜0<br />
−1 0 0 ⎟<br />
⎝0<br />
0 −1 0 ⎠<br />
(9.14)<br />
0 0 0 −1<br />
1 Vi ser på standardtrans<strong>for</strong>mationen her.
9.3 Skalarprodukt 129<br />
kan den invariante størrelse A ′ 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 skrives<br />
3<br />
µ=0 ν=0<br />
3<br />
gµνA µ A ν = A 0 2 1 2 2 2 3 2<br />
− A − A − A<br />
(9.15)<br />
<strong>og</strong> denne kan gøres yderligere kompakt ved at benytte Einsteins summationskonvention<br />
3 3<br />
gµνA µ A ν = gµν A µ A ν<br />
(9.16)<br />
µ=0 ν=0<br />
hvor udeladelsen af et summationstegn pr. definition betyder, at hvis et indeks<br />
<strong>for</strong>ekommer både <strong>for</strong>oven <strong>og</strong> <strong>for</strong>neden skal der summeres fra 0 til 3. Ved<br />
hjælp af denne summationskonvention kan trans<strong>for</strong>mationen ligning (9.12)<br />
<strong>og</strong>så skrives<br />
A ′µ = Λ µ ν A ν<br />
(9.17)<br />
At størrelsen s 2 er Lorentzinvariant stiller et krav til Λ, som ses af følgende<br />
regnestykke<br />
s ′2 = s 2 ⇔ gν µ x ′ν x ′µ = gρ σ x ρ x σ ⇔<br />
gν µ Λ ν ρ x ρ Λ µ σ x σ = gρ σ x ρ x σ<br />
(9.18)<br />
Da ligning (9.18) skal gælde <strong>for</strong> alle firevektorer xρ , skal matricen Λ opfylde<br />
kravet<br />
(9.19)<br />
9.3 Skalarprodukt<br />
gν µ Λ ν ρ Λ µ σ = gρ σ<br />
Ved hjælp af metrikken gµν kan vi <strong>og</strong>så indføre et skalarprodukt A·B mellem<br />
to firevektorer A <strong>og</strong> B ved definitionen<br />
A · B = gµν A µ B ν = A 0 B 0 − A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3<br />
(9.20)<br />
For dette skalarprodukt vises let A · B = B · A <strong>og</strong> A · (B + C) = A · B +<br />
A · C. Størrelsen gµν A µ A ν er altså skalarproduktet af A med sig selv. Dette<br />
betegnes <strong>og</strong>så<br />
A 2 = A · A (9.21)
130 Firevektorer<br />
Vi har tidligere vist, at A 2 er invariant. Ved anvendelse af dette viser følgende<br />
regning, at <strong>og</strong>så skalarproduktet mellem to firevektorer er invariant<br />
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B (9.22)<br />
da det heraf fremgår, at skalarproduktet kan udtrykkes ved invariante størrelser.<br />
Afhængig af <strong>for</strong>tegnet <strong>for</strong> A2 gives A følgende navne<br />
A 2<br />
⎧<br />
⎪⎨ > 0 A siges at være tidsagtig<br />
= 0<br />
⎪⎩<br />
< 0<br />
A siges at være lysagtig<br />
A siges at være rumagtig<br />
(9.23)<br />
Sætning 1 . Lad A være en tidsagtig firevektor. Da findes et inertialsystem,<br />
så det <strong>for</strong> rumdelen af A gælder A = o.<br />
Bevis. Vi drejer den rumlige del af inertialsystemet, så vi får et inertialsystem<br />
S med A = (A 0 , A 1 , 0, 0), hvor |A 0 | > |A 1 |, da A er tidsagtig. Det vi<br />
søger, er et inertialsystem S ′ med hastighed v i <strong>for</strong>hold til S så A ′ = o. Dette<br />
krav medfører<br />
A ′1 = γ (A 1 − β A 0 ) = 0 ⇔ (9.24)<br />
β = A1<br />
A0 ⇒ (9.25)<br />
|β| < 1 (9.26)<br />
da |A 0 | > |A 1 |. Dvs. det er altid muligt at finde et inertialsystem, således at<br />
rumdelen af firevektoren A er nulvektoren. <br />
Sætning 2 . Lad A <strong>og</strong> B være tidsagtige firevektorer med positive tidskomponenter.<br />
Da er A · B > 0. Endvidere er A + B tidsagtig med positiv tidskomponent.<br />
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge <strong>for</strong>udsætningen<br />
er A 0 > | A| <strong>og</strong> B 0 > | B|. Heraf følger<br />
A 0 > | A| ∧ B 0 > | B| ⇒ (9.27)<br />
A 0 B 0 > A · B ⇔ (9.28)<br />
A 0 B 0 − A · B > 0 (9.29)
9.3 Skalarprodukt 131<br />
Dvs. der gælder A · B > 0.<br />
Vi udregner nu (A + B) 2<br />
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B > 0 (9.30)<br />
At udtrykket i (9.30) er positivt følger af <strong>for</strong>udsætningen om, at A <strong>og</strong> B er<br />
tidsagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist, at A + B er<br />
tidsagtig med positiv tidskomponent. <br />
Sætning 3 . Lad A være en tidsagtig firevektor <strong>og</strong> B en lysagtig firevektor,<br />
begge med positive tidskomponenter. Da er A · B > 0. Endvidere er A + B<br />
tidsagtig med positiv tidskomponent.<br />
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge <strong>for</strong>udsætningen<br />
er A 0 > | A| <strong>og</strong> B 0 = | B|. Heraf følger<br />
Dvs. der gælder A · B > 0.<br />
Vi udregner nu (A + B) 2<br />
A 0 > | A| ∧ B 0 = | B| ⇒ (9.31)<br />
A 0 B 0 > A · B ⇔ (9.32)<br />
A 0 B 0 − A · B > 0 (9.33)<br />
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B > 0 (9.34)<br />
At udtrykket i (9.34) er positivt følger af <strong>for</strong>udsætningen om, at A er tidsagtig,<br />
<strong>og</strong> at B er lysagtig samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist,<br />
at A + B er tidsagtig med positiv tidskomponent. <br />
Sætning 4 . Lad A <strong>og</strong> B være lysagtige firevektorer med positive tidskomponenter.<br />
Da er A · B ≥ 0. Endvidere er A + B lysagtig, hvis vinklen mellem<br />
rumdelene af A <strong>og</strong> B er nul, ellers er summen tidsagtig. I begge tilfælde er<br />
tidskomponenten positiv.<br />
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge <strong>for</strong>udsætningen<br />
er A 0 = | A| <strong>og</strong> B 0 = | B|. Heraf følger A · B = A 0 B 0 (1 − cos(θ))<br />
hvor θ er vinklen mellem A <strong>og</strong> B. Dette viser at A · B ≥ 0. Igen udregnes<br />
(A + B) 2 , som her giver<br />
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B ≥ 0 (9.35)<br />
At udtrykket i (9.35) er positivt eller nul følger af <strong>for</strong>udsætningen om, at A<br />
<strong>og</strong> B er lysagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist, at A + B<br />
er tidsagtig eller lysagtig med positiv tidskomponent. A+B er lysagtig, netop<br />
når θ = 0.
132 Firevektorer<br />
9.3.1 Invarians<br />
For skalarproduktet gælder følgende<br />
Sætning 5 . Lad A være en vilkårlig firevektor <strong>og</strong> B være et talsæt (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )<br />
<strong>for</strong> hvilket det gælder, at skalarproduktet A · B er en invariant størrelse. Da<br />
er B en firevektor.<br />
Bevis. At A · B er invariant betyder<br />
A 0 B 0 − A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3 = A ′ 0 B ′ 0 − A ′ 1 B ′ 1 − A ′ 2 B ′ 2 − A ′ 3 B ′ 3 (9.36)<br />
hvor<br />
således at ligning (9.36) bliver<br />
A ′ 0 = γ(A 0 − β A 1 ) (9.37)<br />
A ′ 1 = γ(A 1 − β A 0 ) (9.38)<br />
A ′ 2 = A ′ 2<br />
A ′ 3 = A ′ 3<br />
A 0 B 0 − A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3 =<br />
γ(A 0 − β A 1 ) B ′ 0 − γ(A 1 − β A 0 ) B ′ 1 − A 2 B ′ 2 − A 3 B ′ 3<br />
(9.39)<br />
(9.40)<br />
(9.41)<br />
Hvis ligning (9.41) skal gælde <strong>for</strong> alle firevektorer A kan vi vælge A 0 = A 1 =<br />
A 2 = 0. Heraf fås B ′ 3 = B 3 . Hvis vi vælger A 0 = A 1 = A 3 = 0 fås tilsvarende<br />
B ′ 2 = B 2 . Ligning (9.41) bliver dermed<br />
A 0 B 0 − A 1 B 1 = γ(A 0 − β A 1 ) B ′ 0 − γ(A 1 − β A 0 ) B ′ 1<br />
som omskrives til<br />
(9.42)<br />
A 0 B 0 − A 1 B 1 = A 0 γ(B ′ 0 + β B ′ 1) − A 1 γ(B ′ 1 + β B ′ 0) (9.43)<br />
heraf aflæses de resterende trans<strong>for</strong>mationsegenskaber <strong>for</strong> B<br />
B 0 = γ(B ′ 0 + β B ′ 1) (9.44)<br />
B 1 = γ(B ′ 1 + β B ′ 0) (9.45)<br />
Vi har nu vist, at B trans<strong>for</strong>merer som en firevektor, <strong>og</strong> dermed per definition<br />
er en firevektor. (Egentlig har vi den omvendte trans<strong>for</strong>mation til den i<br />
ligningerne (9.37) til (9.40)).
9.4 Firehastighed 133<br />
9.4 Firehastighed<br />
Som vi tidligere har set i afsnit (3.3) har hastigheden temmelig kedelige<br />
trans<strong>for</strong>mationsegenskaber sammenlignet med f.eks. tid <strong>og</strong> sted, der jo trans<strong>for</strong>merer<br />
ved den kendte (<strong>og</strong> der<strong>for</strong> pæne!) Lorentztrans<strong>for</strong>mation. Men vi vil<br />
nu definere en ny størrelse vha. en partikels hastighed u, som har pæne trans<strong>for</strong>mationsegenskaber.<br />
Denne størrelse er firehastigheden U defineret <strong>for</strong> en<br />
partikel med hvilemasse <strong>for</strong>skellig fra nul ved<br />
U = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) = (c γ, γ u) (9.46)<br />
Lad os se på rumdelen af U: d x<br />
U = γ u, hvor u = . γ-faktoren er givet<br />
d t<br />
ved <strong>for</strong>holdet mellem tids<strong>for</strong>løbet d t i inertialsystemet S <strong>og</strong> det tilsvarende<br />
tids<strong>for</strong>løb d τ, egentiden, i partiklens hvilesystem, inertialsystemet S ′ . Dvs.<br />
1 γ = . Altså er<br />
1−( v<br />
d t = d τ<br />
)2<br />
c<br />
U<br />
d x<br />
=<br />
d τ<br />
Tilsvarende gælder <strong>for</strong> tidskomponenten af U, at<br />
Dvs.<br />
U 0 = c<br />
U = c<br />
d t<br />
d τ<br />
d t<br />
d τ<br />
d x <br />
,<br />
d τ<br />
(9.47)<br />
(9.48)<br />
(9.49)<br />
Da d τ er invariant, <strong>og</strong> da (c d t, d x) trans<strong>for</strong>merer som (c t, x), er U <strong>og</strong>så en<br />
firevektor.<br />
For U 0 2 − U 2 fås ved direkte udregning<br />
U 0 2 − U 2 = c 2<br />
altså som ventet en invariant størrelse.<br />
9.5 Fireacceleration<br />
(9.50)<br />
I lighed med indførelsen af firehastigheden U indfører vi nu en fireacceleration,<br />
A, ved definitionen<br />
d U<br />
A = (9.51)<br />
d τ<br />
Da U er en firevektor <strong>og</strong> d τ er en invariant størrelse, er fireaccelerationen en<br />
firevektor, som navnet jo lægger op til.
134 Firevektorer<br />
A kan angives v.hj.a. den sædvanlige hastighed u <strong>og</strong> den sædvanlige acceleration<br />
a = . For at gøre dette ser vi på højre side af ligning (9.51)<br />
d γ<br />
d t fås<br />
d u<br />
d t<br />
d U<br />
d τ<br />
= d t<br />
d τ<br />
d U<br />
d t<br />
= γ<br />
<br />
c<br />
d γ d γ<br />
,<br />
d t d t<br />
d u<br />
<br />
u + γ<br />
d t<br />
(9.52)<br />
For<br />
d γ 1 = γ3<br />
c d t 2 u · a (9.53)<br />
således at det søgte udtryk <strong>for</strong> fireaccelerationen bliver<br />
A =<br />
<br />
1<br />
c γ4 u · a, γ 2 4 u · a<br />
<br />
a + γ u<br />
c2 (9.54)<br />
Da U 2 = c2 d U<br />
, se ligning (9.50), er 2 U · = 0. Dvs. U ·A = 0. Firehastigheden<br />
d τ<br />
<strong>og</strong> fireaccelerationen er altså ort<strong>og</strong>onale.<br />
9.6 Fireimpuls<br />
9.6.1 Definition af fireimpuls<br />
Ved at gange firehastigheden U med partiklens masse m fås en ny firevektor<br />
P<br />
P = m U = E<br />
, p<br />
(9.55)<br />
c<br />
som kaldes fireimpulsen. Da vi nu ved, at fireimpulsen er en firevektor, kan<br />
vi umiddelbart opskrive dens trans<strong>for</strong>mation fra inertialsystemet S til inertialsystemet<br />
S ′ <strong>og</strong> derved mere elegant finde trans<strong>for</strong>mationen <strong>for</strong> energi <strong>og</strong><br />
impuls (se ligningerne (4.67) til (4.70)), som vi møjsommeligt udledte i afsnit<br />
(4.5).<br />
For fireimpulsen fås endvidere<br />
P 0 2 − P 2 = m 2 c 2<br />
(9.56)<br />
altså som ventet igen en invariant størrelse. Ligning (9.56) er blot en anden<br />
udgave af den relativistiske Pythagoras ligning (4.43).<br />
Da alle fireimpulser <strong>for</strong> partikler med hvilemasse <strong>for</strong>skellig fra nul opfylder<br />
egenskaben om at være tidsagtige <strong>og</strong> med positiv tidskomponent, er den<br />
samlede fireimpuls <strong>for</strong> et partikelsystem af sådanne partikler <strong>og</strong>så tidsagtig.<br />
Ligeledes vil den samlede fireimpuls <strong>for</strong> et partikelsystem, som blot indeholder<br />
en partikel med hvilemasse <strong>for</strong>skellig fra nul, <strong>og</strong>så være tidsagtig. Vi<br />
kan de<strong>for</strong> altid finde et inertialsystem, så rumdelen af systemets fireimpuls
9.6 Fireimpuls 135<br />
er nulvektoren. Dette system er netop CM-systemet. Hvis alle de ingående<br />
partikler i systemet er lysagtige, findes et sådant system ikke, hvis alle partiklernes<br />
sædvanlige impulser er i samme retning. Se sætningerne 1 til 4 afsnit<br />
9.3.<br />
9.6.2 Comptoneffekt<br />
Som eksempel på anvendelse af firevektorer vil vi se på Comptoneffekten 2 .<br />
En foton med frekvens f rammer en hvilende elektron <strong>og</strong> spredes på denne.<br />
Fotonens frekvens efter spredningen er f ′ , <strong>og</strong> den spredte fotons impuls danner<br />
vinklen θ med den indkommende fotons impuls. Hele processen <strong>for</strong>egår i<br />
xy-planen. Se Fig. (9.2).<br />
y<br />
x<br />
f<br />
f ′<br />
Figur 9.2: Comptonspredning.<br />
Lad fireimpulsen af fotonen før spredningen være P1 = (<br />
θ<br />
p ′ 2<br />
h f<br />
c<br />
h f<br />
, , 0, 0) <strong>og</strong> efter<br />
c<br />
spredningen er dens fireimpuls P ′ h f ′ h f ′<br />
h f ′<br />
1 = ( , cos(θ), sin(θ), 0). For elek-<br />
c c c<br />
tronen er de tilsvarende fireimpulser P2 = (m c, 0, 0, 0) <strong>og</strong> P ′<br />
2 = ( E′<br />
c , p ′<br />
2),<br />
hvor m er elektronens masse, E ′ er dens energi, <strong>og</strong> p ′<br />
2 er dens impuls efter<br />
spredningen. Energi- <strong>og</strong> impulsbevarelse er indeholdt i firevektorudtrykket<br />
Heraf fås<br />
som ved kvadrering giver<br />
P ′<br />
2<br />
P1 + P2 = P ′<br />
1 + P ′<br />
2<br />
P ′<br />
2 = P1 + P2 − P ′<br />
1<br />
2<br />
= P1 2 + P2 2 + P ′ 2<br />
1 + 2 P1 · P2 − 2 P1 · P ′<br />
1 − 2 P2 · P ′<br />
1<br />
(9.57)<br />
(9.58)<br />
(9.59)<br />
2 Effekten er opkaldt efter A.H. Compton, der med sit eksperiment i 1922 viste, at<br />
fotonen kan opføre sig som en partikel.
136 Firevektorer<br />
Under anvendelse af P2 2 = P ′ 2 2 2<br />
2 = m c <strong>og</strong> P1 2 = P ′ 2<br />
1 = 0 reduceres ligning<br />
(9.59) til<br />
f − f ′ = h<br />
m c 2 f f ′ (1 − cos(θ)) ⇔ (9.60)<br />
1 1<br />
−<br />
f ′ f<br />
h<br />
= (1 − cos(θ)) (9.61)<br />
m c2 som med brug af λ f = λ ′<br />
f ′ = c, hvor λ <strong>og</strong> λ ′<br />
er bølgelængderne af fotonen<br />
henholdsvis før <strong>og</strong> efter spredningen, giver udtrykket <strong>for</strong> bølgelængdeændringen<br />
∆λ = λ ′<br />
− λ<br />
∆λ = h<br />
(1 − cos(θ)) (9.62)<br />
m c<br />
Dette er netop den sædvanlige ligning <strong>for</strong> Comptoneffekten.<br />
9.6.3 Elastisk stød<br />
For to partikler A <strong>og</strong> B med masser mA <strong>og</strong> mB <strong>og</strong> fireimpulser PA <strong>og</strong> PB er<br />
skalarproduktet PA · PB uafhængigt af hvilket inertialsystem, det udregnes i.<br />
Hvis vi udregner det i partikel B’s hvilesystem, får vi<br />
<br />
1 − vAB<br />
c<br />
PA · PB = mB EA = mA mB c 2<br />
2<br />
(9.63)<br />
hvor EA er A’s energi i B’s hvilesystem, <strong>og</strong> vAB er farten af A i B’s hvilesystem.<br />
3<br />
Lad nu de to partikler støde elastisk sammen<br />
Fireimpulsbevarelsen giver<br />
P før<br />
A<br />
A + B → A + B (9.64)<br />
+ Pfør<br />
B<br />
= Pefter<br />
A<br />
+ P efter<br />
B<br />
før 2<br />
Ved at kvadrere ligning (9.65) samt anvende P<br />
P<br />
før 2<br />
2<br />
B = Pefter B = m2 B c2 får vi<br />
P før<br />
A<br />
· Pfør<br />
B<br />
3 vAB er <strong>og</strong>så farten af B i A’s hvilesystem.<br />
= Pefter<br />
A<br />
A<br />
· P efter<br />
B<br />
2 = Pefter A<br />
(9.65)<br />
= m 2 A c2 <strong>og</strong><br />
(9.66)
9.6 Fireimpuls 137<br />
Ved at udnytte ligning (9.63) er denne ligning ensbetydende med<br />
mA mB c2 <br />
=<br />
2<br />
c<br />
mA mB c2 <br />
1 − vefter 2 AB<br />
c<br />
<br />
1 − v før<br />
AB<br />
(9.67)<br />
Heraf ses, at den relative fart af partiklerne A <strong>og</strong> B er den samme før <strong>og</strong><br />
efter stødet.<br />
Ikkerelativistisk beregning. Vi vil nu vise, at en ikkerelativistisk regning<br />
giver samme resultat. Først trans<strong>for</strong>merer vi til CM-systemet. Her er før<br />
stødet p før før<br />
A = −p B<br />
elastisk, gælder<br />
efter<br />
= p <strong>og</strong> efter stødet p A<br />
efter = −p B = q. Da stødet er<br />
|p| 2<br />
<br />
1<br />
+<br />
2 mA<br />
1<br />
<br />
= |q|<br />
2 mB<br />
2<br />
<br />
1<br />
+<br />
2 mA<br />
1<br />
<br />
2 mB<br />
(9.68)<br />
Heraf fås |p| = |q|. p <strong>og</strong> q er ikke ens, men er drejet i <strong>for</strong>hold til hinanden.<br />
De relative hastigheder af partiklerne før <strong>og</strong> efter stødet er<br />
v før før før<br />
AB = v A − v B<br />
v efter<br />
AB = v efter<br />
A − v efter<br />
B<br />
<br />
1<br />
= p +<br />
mA<br />
1<br />
<br />
mB<br />
<br />
1<br />
= q +<br />
mA<br />
1<br />
<br />
mB<br />
(9.69)<br />
(9.70)<br />
Da længderne af p <strong>og</strong> q er ens, er <strong>og</strong>så |v før efter<br />
AB | = |v AB | ens. Den relative<br />
fart er altså uændret i CM-systemet. Dette gælder da <strong>og</strong>så i et vilkårligt<br />
inertialsystem S, da hastighedstrans<strong>for</strong>mationen fra CM-systemet til S ifølge<br />
Galileitrans<strong>for</strong>mationen er u = vCM + u, hvor vCM er hastigheden af CMsystemet<br />
i <strong>for</strong>hold til S. Differensen mellem to hastigheder i de to systemer<br />
er ens, <strong>og</strong> dermed naturligvis deres længder. Vi har altså vist, at <strong>og</strong>så ved en<br />
ikkerelativistisk regning er den relative fart af partiklerne A <strong>og</strong> B den samme<br />
før <strong>og</strong> efter stødet.<br />
9.6.4 Partikelproduktion<br />
Vi ser igen på reaktionen<br />
A + B → C + D + E + · · · (9.71)<br />
Fireimpulserne i begyndelsestilstanden er PA <strong>og</strong> PB. For fireimpulserne i<br />
sluttilstanden benyttes symbolerne Pi, i = 1, 2, . . . , n. Fireimpulsbevarelsen
138 Firevektorer<br />
giver<br />
PA + PB =<br />
Ved kvadrering af ligning (9.72) får vi<br />
m 2 A c 2 + m 2 B c 2 + 2 PA · PB =<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
i=1<br />
Pi<br />
m 2 i c 2 +<br />
Ved at benytte ligning (9.63) bliver ligning (9.73)<br />
m 2 A c 2 + m 2 B c 2 + 2 mB EA =<br />
n<br />
i=1<br />
m 2 i c 2 +<br />
n<br />
i,j=1, i=j<br />
n<br />
i,j=1, i=j<br />
Pi · Pj<br />
mi mj c 2<br />
<br />
1 − vij<br />
c<br />
2<br />
(9.72)<br />
(9.73)<br />
(9.74)<br />
hvor EA er partikel A’s energi i B’s hvilesystem, som vi kan opfatte som<br />
laboratoriesystemet, <strong>og</strong> hvor vij er den relative fart af partikel i <strong>og</strong> partikel<br />
j. Hvis vi ønsker, at EA skal være så lille som mulig <strong>for</strong> denne reaktion, skal<br />
alle vij = 0. Dvs. alle partikler i sluttilstanden skal ligge stille i <strong>for</strong>hold til<br />
hinanden. Ligning (9.74) bliver så<br />
m 2 A c 2 + m 2 B c 2 + 2 mB EA =<br />
Heraf findes<br />
EA =<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
m 2 i c 2 +<br />
i=1 mi<br />
2<br />
2 mB<br />
n<br />
i,j=1, i=j<br />
− m2 A − m2B c 2<br />
mi mj c 2 =<br />
n <br />
i=1<br />
mi<br />
2<br />
c 2<br />
(9.75)<br />
(9.76)<br />
som altså er den mindste energi <strong>for</strong> partikel A i LABsystemet, således at<br />
reaktionen kinematisk kan finde sted.<br />
Denne ligning sammenlignes med den tidligere fundne ligning (5.9). Ved at<br />
indsætte n i=1 mi = mA + mB + M med samme definition af M som den, der<br />
indgår i ligning (5.9), ses at de to ligninger er identiske.<br />
9.6.5 Partikelhenfald<br />
For partikelhenfaldet<br />
gælder fireimpulsbevarelsen<br />
A → B + C (9.77)<br />
PA = PB + PC<br />
(9.78)
9.7 Firekraft 139<br />
Denne ligning kvadreres, <strong>og</strong> vi får<br />
m 2 A c 2 = m 2 B c 2 + m 2 C c 2 + 2 PB · PC<br />
(9.79)<br />
Skalarproduktet i ovenstående ligning udregnes i partikels A’s hvilesystem<br />
under anvendelse af EA = mA c 2 = EB + EC samt, at den samlede impuls i<br />
dette system er nul<br />
PB · PC = EB<br />
c , p · EC<br />
c , −p = mA EB − m 2 B c 2<br />
Ligning (9.80) anvendes i ligning (9.79), <strong>og</strong> vi får<br />
<strong>og</strong> vha. energibevarelsen<br />
EB = m2 A + m2 B − m2 C<br />
2 mA<br />
EC = m2 A − m2 B + m2 C<br />
2 mA<br />
c 2<br />
c 2<br />
(9.80)<br />
(9.81)<br />
(9.82)<br />
Disse resultater stemmer overens med de tidligere fundne, se ligningerne<br />
(5.20) <strong>og</strong> (5.21).<br />
9.7 Firekraft<br />
Ved at benytte definitionen på kraft F , se ligning (4.21), på fireimpuls P, se<br />
ligning (9.55), <strong>og</strong> på fireacceleration A, se ligning (9.51), finder vi<br />
d p<br />
d t = F ∧<br />
d p<br />
d τ = d P<br />
d τ = m d U<br />
d τ = m A ∧<br />
d p<br />
d τ<br />
= d t<br />
d τ<br />
d p<br />
d t = γ F ⇒<br />
(9.83)<br />
m A = γ F (9.84)<br />
hvor A er rumdelen af fireaccelerationen A. Det er nu fristende at identificere<br />
γ F med rumdelen af en firevektor F, som vi vil kalde firekraften. p er som<br />
bekendt rumdelen af fireimpulsen P, hvis tidskomponent er P0 = E . Vi har<br />
c<br />
der<strong>for</strong> behov <strong>for</strong> at finde (benyt ligning (4.25)<br />
d P 0<br />
d τ<br />
d P0<br />
d τ<br />
1 d t d E 1<br />
= = c c d τ d t γ F · u<br />
=<br />
(9.85)<br />
1<br />
c γ<br />
<br />
3 a · u<br />
<br />
2<br />
m γ a · u + m γ u<br />
c2 (9.86)<br />
= m 1<br />
c γ4 a · u (9.87)<br />
= m A 0<br />
(9.88)
140 Firevektorer<br />
Som tidskomponenten af firekraften bruger vi der<strong>for</strong><br />
Dvs. firekraften er defineret ved<br />
F 0 = 1<br />
c γ F · u (9.89)<br />
<br />
F · u<br />
F = γ ,<br />
c<br />
<br />
F<br />
(9.90)<br />
Med denne definition har vi på kompakt <strong>for</strong>m både bevægelsesligningen <strong>og</strong><br />
energibevarelsen udtrykt i én ligning v.hj.a. firevektorer<br />
d P<br />
d τ<br />
= F (9.91)<br />
9.8 Dobbelt Lorentztrans<strong>for</strong>mation<br />
Lad os se på den dobbelte Lorentztrans<strong>for</strong>mation fra afsnit 2.6. Matricerne,<br />
der beskriver de to trans<strong>for</strong>mationer, er<br />
⎛<br />
γi<br />
⎜−βi<br />
γi<br />
Λ[i] = ⎜<br />
⎝ 0<br />
−βi γi<br />
γi<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
0⎠<br />
(9.92)<br />
0 0 0 1<br />
<strong>for</strong> i = 1, 2 <strong>og</strong> hvor β1 = v<br />
c <strong>og</strong> β2 = w med tilhørende γ’er.<br />
c<br />
Den dobbelte trans<strong>for</strong>mation er beskrevet ved matricen<br />
⎛<br />
γ1 γ2 (1 + β1 β2)<br />
⎜−γ1<br />
γ2 (β1<br />
Λ = Λ[2] Λ[1] = ⎜ + β2)<br />
⎝ 0<br />
−γ1 γ2 (β1 + β2)<br />
γ1 γ2 (1 + β1 β2)<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
0⎠<br />
0 0 0 1<br />
Vi sætter nu<br />
Heraf fås umiddelbart<br />
Med dette β udregnes<br />
(9.93)<br />
γ1 γ2 (1 + β1 β2) = γ (9.94)<br />
γ1 γ2 (β1 + β2) = β γ (9.95)<br />
1<br />
1 − β 2 =<br />
β = β1 + β2<br />
1 + β1 β2<br />
1 + β1 β2<br />
<br />
2 2 1 − β1 1 − β2 (9.96)<br />
(9.97)
9.9 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen tager en drejning 141<br />
Dvs. ved at sammenligne med ligning (9.94) får vi<br />
1<br />
γ = <br />
1 − β2 Vi har altså vist, at med de fundne værdier af β <strong>og</strong> γ er Λ af <strong>for</strong>men<br />
⎛<br />
⎞<br />
γ −β γ 0 0<br />
⎜<br />
Λ = ⎜−β<br />
γ γ 0 0 ⎟<br />
⎝ 0 0 1 0⎠<br />
0 0 0 1<br />
(9.98)<br />
(9.99)<br />
<strong>og</strong> dermed er den samlede trans<strong>for</strong>mation en Lorentztrans<strong>for</strong>mation fra S til<br />
S ′′ , hvor S ′′ bevæger sig langs x, x ′′ -aksen med farten V = c β.<br />
Hvis vi bytter om på rækkefølgen af de to trans<strong>for</strong>mationer <strong>og</strong> udregner<br />
Υ = Λ[1] Λ[2], vil vi opdage, at Λ = Υ. Det vil altså sige, at i denne situation<br />
er rækkefølgen af trans<strong>for</strong>mationerne uden betydning <strong>for</strong> den samlede<br />
trans<strong>for</strong>mation.<br />
9.9 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen tager en drejning<br />
Vi ser nu på tre inertialsystemer S, S ′ <strong>og</strong> S ′′ . S ′ bevæger sig i x, x ′ -aksens<br />
retning med hastighed v = (v, 0, 0) i <strong>for</strong>hold til S. S ′′ bevæger sig i y, y ′ -<br />
aksens retning med hastighed w = (0, w, 0) i <strong>for</strong>hold til S ′ . Trans<strong>for</strong>mationen<br />
fra S til S ′ er bestemt af matricen Λ[x]<br />
Λ µ<br />
[x] ν =<br />
⎛<br />
γx<br />
⎜−γx<br />
βx ⎜<br />
⎝ 0<br />
−γx βx<br />
γx<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
0⎠<br />
0 0 0 1<br />
<strong>og</strong> trans<strong>for</strong>mationen fra S ′ til S ′′ er bestemt af matricen Λ[y]<br />
Λ µ<br />
[y] ν =<br />
− 1<br />
⎛<br />
γy<br />
⎜ 0<br />
⎝−γy<br />
βy<br />
0<br />
1<br />
0<br />
−γy βy<br />
0<br />
γy<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
0⎠<br />
0 0 0 1<br />
(9.100)<br />
(9.101)<br />
hvor βx = v<br />
c , γx = (1−β 2 2 x) , βy = w<br />
c <strong>og</strong> γy = (1−β 2 2 y) . Trans<strong>for</strong>mationen<br />
fra S til S ′′ beskrives ved matricen Λ givet ved<br />
⎛<br />
⎞<br />
γx γy −γx γy βx −γy βy 0<br />
⎜ −γx βx γx<br />
Λ = Λ[y] Λ[x] = ⎜<br />
0 0 ⎟<br />
⎝−γx<br />
γy βy γx γy βx βy γy 0⎠<br />
(9.102)<br />
0 0 0 1<br />
− 1
142 Firevektorer<br />
Matricen Λ er ikke symmetrisk. Dermed kan trans<strong>for</strong>mationen fra S til S ′′<br />
ikke være en Lorentztrans<strong>for</strong>mation, hvor S ′′ bevæger sig med de rumlige<br />
akser parallelle med de rumlige akser i S. Vi vil vise, at denne trans<strong>for</strong>mation<br />
er givet ved en Lorentztrans<strong>for</strong>mation af inertialsystemet S til inertialsystemet<br />
S ∗ , hvor S ∗ bevæger sig med de rumlige koordinatakser parallelle<br />
med akserne i S, efterfulgt af en drejning af den rumlige del af S ∗ til den<br />
rumlige del af S ′′ , <strong>og</strong> hvor tiderne under drejningen er ens. Vi skal altså finde<br />
en matrix Λ ∗ , der beskriver Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, <strong>og</strong> en matrix D, der<br />
beskriver drejningen. Disse matricer skal opfylde ligningen<br />
Λ = D Λ ∗<br />
(9.103)<br />
Da z-retningen ingen rolle spiller her <strong>for</strong> trans<strong>for</strong>mationerne af x <strong>og</strong> y, må<br />
drejningen være om netop z∗-aksen. Drejningsmatricen er der<strong>for</strong> af <strong>for</strong>men<br />
⎛<br />
1<br />
⎜<br />
D = ⎜0<br />
⎝<br />
0<br />
cos(θ<br />
0 0<br />
∗ ) sin(θ∗ 0 − sin(θ<br />
) 0<br />
∗ ) cos(θ∗ )<br />
⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
(9.104)<br />
0 0 0 1<br />
hvor θ ∗ er vinklen, den rumlige del af S ∗ skal drejes <strong>for</strong> at falde sammen med<br />
den rumlige del af S ′′ .<br />
Af ligningerne (9.102) <strong>og</strong> (9.103) fås<br />
Λ[y] Λ[x] = D Λ ∗ ⇔ Λ ∗ = D −1 Λ[y] Λ[x] (9.105)<br />
hvor D−1 er den inverse matrix til D<br />
D −1 ⎛<br />
1 0 0 0<br />
⎜<br />
= ⎜0<br />
cos(θ<br />
⎝<br />
∗ ) − sin(θ∗ ⎞<br />
) 0 ⎟<br />
⎠<br />
0 sin(θ ∗ ) cos(θ ∗ ) 0<br />
0 0 0 1<br />
(9.106)<br />
Af ligningerne (9.102), (9.105) <strong>og</strong> (9.106) fås<br />
Λ ∗ ⎛<br />
1<br />
⎜<br />
= ⎜0<br />
⎝<br />
0<br />
cos(θ<br />
0 0<br />
∗ ) − sin(θ∗ 0 sin(θ<br />
) 0<br />
∗ ) cos(θ∗ )<br />
⎞ ⎛<br />
γx γy<br />
⎟ ⎜ −γx βx ⎟ ⎜<br />
0⎠<br />
⎝−γx<br />
γy βy<br />
−γx γy βx<br />
γx<br />
γx γy βx βy<br />
−γy βy<br />
0<br />
γy<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
0⎠<br />
0 0 0 1 0 0 0 1<br />
⎛<br />
γx γy<br />
⎜−γx<br />
βx<br />
= ⎜ cos(θ<br />
⎝<br />
−γx γy βx −γy βy 0<br />
∗ ) + γx γy βy sin(θ∗ ) γx cos(θ∗ ) − γx γy βx βy sin(θ∗ ) −γy sin(θ∗ −γx βx sin(θ<br />
) 0<br />
∗ ) − γx γy βy cos(θ∗ ) γx sin(θ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ∗ ) γy cos(θ∗ )<br />
⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
0 0 0<br />
(9.107)<br />
1
9.9 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen tager en drejning 143<br />
Denne matrix skal være symmetrisk. Dvs. der skal gælde Λ ∗1 2 = Λ ∗2 1, altså<br />
eller<br />
Af ligning (9.108) findes<br />
−γy sin(θ ∗ ) = γx sin(θ ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ ∗ ) ⇔<br />
tan(θ ∗ ) = − γx γy βx βy<br />
γx + γy<br />
cos(θ ∗ ) = γx + γy<br />
1 + γx γy<br />
βx βy<br />
tan(θ ∗ ) = −<br />
1 − β2 x + 1 − β2 y<br />
<strong>og</strong> sin(θ ∗ ) = − γx γy βx βy<br />
1 + γx γy<br />
(9.108)<br />
(9.109)<br />
(9.110)<br />
Vha. af ligning (9.110) kan vi checke, at de øvrige matrixelementer af matricen<br />
i ligning (9.107) <strong>og</strong>så opfylder kravet om symmetri. Eksplicit finder vi, at Λ∗ er<br />
Λ ∗ ⎛<br />
γx γy −γx γy βx −γy βy 0<br />
⎜<br />
⎜−γx<br />
γy βx 1 +<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
γ2 x γ2 y β2 x γx γ<br />
1+γx γy<br />
2 y βx βy<br />
0<br />
1+γx γy<br />
γx γ<br />
−γy βy<br />
2 ⎞<br />
⎟ (9.111)<br />
y βx βy γy (γx+γy)<br />
0⎠<br />
1+γx γy 1+γx γy<br />
0 0 0 1<br />
som altså er den matrix, der bestemmer trans<strong>for</strong>mationen fra S til S ∗ . Hastighe-<br />
den af S ∗ , v ∗ = c β ∗ , i <strong>for</strong>hold til S aflæses ved at se på 0’te søjlerne af<br />
matricerne i ligningerne (9.11) <strong>og</strong> (9.111). Dette giver med γ∗ = (1 − β∗2 1<br />
−<br />
) 2<br />
<strong>og</strong> β∗ = | β∗ |<br />
heraf fås<br />
<strong>og</strong> dermed<br />
γ ∗ = γx γy<br />
γ ∗ β ∗ 1 = γx γy βx<br />
γ ∗ β ∗ 2 = γy βy<br />
γ ∗ β ∗ 3 = 0 (9.112)<br />
β ∗ = (β ∗ 1, β ∗ 2, β ∗ 3) = (βx, γ −1<br />
x βy, 0) (9.113)<br />
v ∗ = c β ∗ = (c βx, c γ −1<br />
x βy, 0) (9.114)<br />
Vi har altså vist, at sammensætning af to Lorentztrans<strong>for</strong>mationer, hvor
144 Firevektorer<br />
bevægelsen af systemerne ikke er i samme retning, giver en Lorentstrans<strong>for</strong>mation,<br />
der ikke kan fås ved en Lorentztrans<strong>for</strong>mation af det oprindelige<br />
system S til slutsystemet S ′′ ved kun at udføre en trans<strong>for</strong>mation i en eller<br />
anden retning, men kræver en Lorentztrans<strong>for</strong>mation af det oprindelige system<br />
S i en veldefineret retning til systemet S ∗ efterfulgt af en rotation af de<br />
rumlige akser af S ∗ efter denne Lorentztrans<strong>for</strong>mation.<br />
Rækkefølge af trans<strong>for</strong>mationer. Ved at bytte om på rækkefølgen af de<br />
to trans<strong>for</strong>mationer, dvs. først <strong>for</strong>etages en trans<strong>for</strong>mation efter y, y ′ -aksen<br />
med hastighed w = (0, w, 0) <strong>og</strong> derefter en trans<strong>for</strong>mation efter x ′ , x ′′ -aksen<br />
med hastighed v = (v, 0, 0), fås en trans<strong>for</strong>mation, der er bestemt af matricen<br />
Υ<br />
Υ = Λ[x] Λ[y]<br />
som ved direkte udregning af matrixproduktet bliver<br />
⎛<br />
γx γy<br />
⎜−γx<br />
γy βx<br />
Υ = ⎜<br />
⎝ −γy βy<br />
−γx βx<br />
γx<br />
0<br />
−γx γy βy<br />
γx γy βx βy<br />
γy<br />
⎞<br />
0<br />
0 ⎟<br />
0⎠<br />
0 0 0 1<br />
(9.115)<br />
(9.116)<br />
Da Λ = Υ er de to sammensatte trans<strong>for</strong>mationer i almindelighed ikke ens.<br />
Rækkefølgen af trans<strong>for</strong>mationerne er altså afgørende vigtig.<br />
Heller ikke Υ er symmetrisk. Der<strong>for</strong> ønsker vi som før at finde to matricer, Υ ⋆<br />
<strong>og</strong> D, som bestemmer henholdsvis en Lorentztrans<strong>for</strong>mation efter vektoren<br />
v ⋆ fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ⋆ <strong>og</strong> en drejning med vinklen<br />
θ ⋆ af S ⋆ om z ⋆ -aksen til S ′′ , således at<br />
Υ = D Υ ⋆<br />
Ved at <strong>for</strong>etage samme regnestykke som før finder vi<br />
eller<br />
Af ligning (9.118) findes<br />
tan(θ ⋆ ) =<br />
cos(θ ⋆ ) = γx + γy<br />
1 + γx γy<br />
tan(θ ⋆ ) = γx γy βx βy<br />
γx + γy<br />
βx βy<br />
1 − β 2 x + 1 − β 2 y<br />
<strong>og</strong> sin(θ ⋆ ) = γx γy βx βy<br />
1 + γx γy<br />
(9.117)<br />
(9.118)<br />
(9.119)<br />
(9.120)
9.9 Lorentztrans<strong>for</strong>mationen tager en drejning 145<br />
samt<br />
⎛<br />
Υ ⋆ ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
γx γy −γx βx −γx γy βy 0<br />
γ2 x +γx γy γ<br />
1+γx γy<br />
2 x γy βx βy<br />
0<br />
1+γx γy<br />
γ2 x γy βx βy<br />
1 + 1+γx γy<br />
γ2 x γ2 y β2 ⎞<br />
⎟<br />
y<br />
0⎠<br />
1+γx γy<br />
0 0 0 1<br />
−γx βx<br />
−γx γy βy<br />
Hastigheden v ⋆ findes ved at se på 0’te-søjlen af Υ ⋆ . Dette giver<br />
hvoraf findes<br />
<strong>og</strong> dermed<br />
γ ⋆ = γx γy<br />
γ ⋆ β ⋆ 1 = γx βx<br />
(9.121)<br />
γ ⋆ β ⋆ 2 = γx γy βy<br />
γ ⋆ β ⋆ 3 = 0 (9.122)<br />
β ⋆ = (β ⋆ 1, β ⋆ 2, β ⋆ 3) = (γ −1<br />
y βx, βy, 0) (9.123)<br />
v ⋆ = c β ⋆ = (c γ −1<br />
y βx, c βy, 0) (9.124)<br />
For de to drejningsvinkler θ ∗ <strong>og</strong> θ ⋆ ses af ligningerne (9.110) <strong>og</strong> (9.120), at de<br />
er lig hinanden med modsat <strong>for</strong>tegn. De to vektorer v ∗ <strong>og</strong> v ⋆ , som Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
skal <strong>for</strong>egå efter, er <strong>for</strong>skellige, se ligningerne (9.114) <strong>og</strong><br />
(9.124). Retningerne af disse vektorer er <strong>for</strong>skellige, men deres længder er ens<br />
idet | β ∗ | = | β ⋆ | = 1 − γ −2<br />
x γ −2<br />
y . Vinklen φ mellem disse to hastighedsvektorer<br />
kan bestemmes af<br />
cos(φ) = β ∗ · β ⋆<br />
| β ∗ | | β ⋆ |<br />
γ−1 y β<br />
= 2 x + γ−1 x β2 y<br />
1 − γ−2 x γ−2 y<br />
= γ−1 y (1 − γ−2 x ) + γ−1 x (1 − γ−2 y )<br />
1 − γ−2 x γ−2 y<br />
= γx + γy<br />
1 + γx γy<br />
(9.125)<br />
Vinklen φ mellem v ∗ <strong>og</strong> v ⋆ målt i inertialsystemet S har altså samme størrelse<br />
som den numeriske værdi af drejningsvinklen θ ∗ målt i inertialsystemet S ∗<br />
<strong>og</strong> af drejningsvinklen θ ⋆ målt i inertialsystemet S ⋆ .<br />
Hastighedstrans<strong>for</strong>mation. Hastigheden w = (0, w, 0) i S ′ er i S ved<br />
hastighedstrans<strong>for</strong>mationen ligningerne (3.36) til (3.38) netop v ∗ , se ligning<br />
(9.114)<br />
v ∗ <br />
= (v, w 1 − <br />
v 2,<br />
0) (9.126)<br />
c
146 Firevektorer<br />
Hastigheden v = (v, 0, 0) i S ′′ er i S, her benyttes ligningerne (3.41) - (3.43)<br />
netop v ⋆ , se ligning (9.124)<br />
v ⋆ <br />
= (v 1 − <br />
w 2,<br />
w, 0) (9.127)<br />
c<br />
At de fundne vektorer v ∗ <strong>og</strong> v ⋆ er <strong>for</strong>skellige, afspejler altså at rækkefølgen<br />
en hastighedssammensætning <strong>for</strong>egår i med udgangspunkt i Lorentztrans<strong>for</strong>mationen<br />
er vigtig. Hvis hastighedssammensætningen <strong>for</strong>etages med<br />
udgangspunkt i Galileitrans<strong>for</strong>mationen spiller rækkefølgen ingen rolle. Her<br />
finder vi nemlig v ∗ = v ⋆ = (v, w, 0) <strong>og</strong> dermed φ = 0 o . Ligeledes finder vi her<br />
θ ∗ = θ ⋆ = 0 o , idet sammensætning af to Galileitrans<strong>for</strong>mationer ikke giver<br />
anledning til n<strong>og</strong>en drejning af systemerne i <strong>for</strong>hold til hinanden.<br />
9.10 Harmonisk bølge<br />
En harmonisk bølge er i et inertialsystem beskrevet ved et udtryk af <strong>for</strong>men<br />
ψ(t, r) = A cos( k ·r −ω t) = A cos( k ·r − ω<br />
c c t), hvor k er bølgevektoren, hvis<br />
retning bestemmer bølgens udbredelsesretning, <strong>og</strong> hvis længde er bestemt<br />
af bølgelængden λ ved | 2 π k| = . ω hænger sammen med frekvensen f via<br />
λ<br />
ω = 2 π f, <strong>og</strong> <strong>for</strong> elektromagnetiske bølger (f.ex. lys) gælder jo endvidere<br />
c = f λ. Da en iagttager i S <strong>og</strong> en iagttager i S ′ er enige om, hvor bølgen har<br />
bølgedale <strong>og</strong> bølgetoppe må fasen φ = k · r − ω c t være invariant. Da (c t, r)<br />
c<br />
er en firevektor, følger det af sætningen i afsnit (9.3.1), at K = ( ω<br />
c , k) er en<br />
firevektor. Vi kan der<strong>for</strong> uden videre opskrive K’s trans<strong>for</strong>mationsegenskaber<br />
K ′ 0 ω<br />
= ′<br />
c<br />
K ′ 1 ′ 1<br />
= k<br />
K ′ 2 = k ′ 2<br />
K ′ 3 = k ′ 3<br />
= γ(K 0 − β K 1 ) = γ( ω<br />
c − β k1 )<br />
= γ(K<br />
(9.128)<br />
1 − β K 0 ) = γ(k 1 − β ω<br />
)<br />
c<br />
(9.129)<br />
= K 2 = k 2<br />
(9.130)<br />
= K 3 = k 3<br />
(9.131)<br />
Hvis der specielt gælder k 2 = k 3 = 0, dvs. bølgen udbreder sig i x-aksens<br />
retning, fås af ligningerne (9.128) <strong>og</strong> (9.129)<br />
ω ′<br />
c<br />
= γ(ω<br />
c − β k1 ) (9.132)<br />
k ′ 1 1 ω<br />
= γ(k − β ) (9.133)<br />
c
9.10 Harmonisk bølge 147<br />
Ligningerne (9.132) <strong>og</strong> (9.133) omskrives under brug af ω = 2 π f, ω ′<br />
=<br />
2 π f ′<br />
, k = , k′ = 2 π samt λ f = λ ′<br />
f ′<br />
= c<br />
2 π<br />
λ<br />
λ ′<br />
2 π f ′<br />
c = γ2 π f<br />
c<br />
f ′ = f γ (1 − β) = f<br />
f ′ = f<br />
2 π f <br />
− β ⇔ (9.134)<br />
c<br />
1 − v<br />
c <br />
1 − ⇔ (9.135)<br />
v 2<br />
c<br />
1 − v<br />
c<br />
1 + v<br />
c<br />
(9.136)<br />
Ligning (9.136) er netop den tidligere udledte ligning (3.85) <strong>for</strong> den longitudinale<br />
Dopplereffekt.<br />
I det generelle tilfælde kan vi vælge koordinatsystemet, så k = (k cos(α), k sin(α), 0),<br />
hvor k =<br />
2 π f<br />
c . Ligningerne (9.128) til (9.130) bliver da<br />
Ligning (9.137) giver<br />
2 π f ′<br />
c = γ 2 π f 2 π f<br />
− β cos(α)<br />
c c<br />
<br />
2 π f<br />
(9.137)<br />
′<br />
cos(α<br />
c<br />
′ ) = γ 2 π f<br />
2 π f <br />
cos(α) − β<br />
c<br />
c<br />
(9.138)<br />
2 π f ′<br />
sin(α<br />
c<br />
′ 2 π f<br />
) =<br />
c<br />
sin(α) (9.139)<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − β2 1 − β cos(α)<br />
Da α = π − θ, se Fig. (3.8), bliver ligning (9.140)<br />
f = f ′<br />
<br />
1 − β2 1 + β cos(θ)<br />
(9.140)<br />
(9.141)<br />
som er det generelle udtryk <strong>for</strong> Dopplereffekten, vi fandt tidligere (se ligning<br />
(3.97)). Af ligning (9.138) fås med brug af ligning (9.140)<br />
cos(α ′ ) =<br />
cos(α) − β<br />
1 − β cos(α)<br />
(9.142)<br />
som er den tidligere udledte ligning (3.22) <strong>for</strong> sammenhængen mellem en<br />
lysstråles retning i de to inertialsystemer.
148 Firevektorer<br />
9.11 Den elektromagnetiske felttensor<br />
I afsnit (7.1) udledte vi, hvorledes det elektriske felt E <strong>og</strong> det magnetiske<br />
felt B trans<strong>for</strong>merer ved overgang fra inertialsystemet S til inertialsystemet<br />
S ′ . Disse trans<strong>for</strong>mationer kan beskrives mere kompakt ved at indføre den<br />
elektromagnetiske felttensor F µν<br />
⎛<br />
F µν ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
Ex<br />
c<br />
Ey<br />
c<br />
Ez<br />
c<br />
− Ex 0 Bz −By<br />
c<br />
− Ey<br />
c −Bz 0 Bx<br />
− Ez<br />
c By −Bx 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(9.143)<br />
hvor µ er rækkeindeks <strong>og</strong> ν er søjleindeks i F µν . Det ses af definitionen af<br />
F µν , at F µν = −F νµ . Dvs. F µν er antisymmetrisk.<br />
Påstanden er nu, at i inertialsystemet S ′ er den elektromagnetiske felttensor<br />
bestemt af trans<strong>for</strong>mationen<br />
F ′µν = Λ µ ρ Λ ν σ F ρσ<br />
(9.144)<br />
hvor Einsteins summationskonvention benyttes, dvs. at der summeres over ρ<br />
<strong>og</strong> σ fra 0 til 3.<br />
Vi viser påstanden ved direkte kontrol. Først ser vi på F ′01<br />
F ′01 = Λ 0 ρ Λ 1 σ F ρσ<br />
= Λ 0 0 Λ 1 σ F 0σ + Λ 0 1 Λ 1 σ F 1σ<br />
= Λ 0 0 (Λ 1 0 F 00 + Λ 1 1 F 01 ) + Λ 0 1 (Λ 1 0 F 10 + Λ 1 1 F 11 )<br />
= γ −β γ · 0 + γ Ex<br />
c<br />
= γ 2 (1 − β 2 ) Ex<br />
c<br />
= Ex<br />
c<br />
+ (−β γ) −β γ −Ex<br />
c<br />
+ γ · 0<br />
(9.145)<br />
Da per definition F ′01 = E′ x<br />
c følger det af ligning (9.145), at E ′ x = Ex, som<br />
jo netop er den tidligere viste trans<strong>for</strong>mationsregel (se ligning (7.21)) <strong>for</strong> det<br />
elektriske felt.
9.11 Den elektromagnetiske felttensor 149<br />
Dernæst ser vi på F ′02<br />
F ′02 = Λ 0 ρ Λ 2 σ F ρσ<br />
= Λ 0 0 Λ 2 σ F 0σ + Λ 0 1 Λ 2 σ F 1σ<br />
= Λ 0 0 Λ 2 2 F 02 + Λ 0 1 Λ 2 2 F 12<br />
= γ · 1 · Ey<br />
c<br />
= γ Ey<br />
c<br />
+ (−β γ) · 1 · Bz<br />
<br />
− β Bz<br />
(9.146)<br />
Da per definition F ′02 = E′ y<br />
c følger det af ligning (9.146), at E ′ y = γ (Ey−v Bz),<br />
som <strong>og</strong>så er i overensstemmelse med trans<strong>for</strong>mationen ligning (7.21).<br />
Som næste element af F ′ ser vi på F ′12<br />
F ′12 = Λ 1 ρ Λ 2 σ F ρσ<br />
= Λ 1 0 Λ 2 σ F 0σ + Λ 1 1 Λ 2 σ F 1σ<br />
= Λ 1 0 Λ 2 2 F 02 + Λ 1 1 Λ 2 2 F 12<br />
= −β γ · 1 · Ey<br />
+ γ · 1 · Bz<br />
c<br />
= γ Bz − β Ey<br />
(9.147)<br />
<br />
c<br />
Heraf aflæses B ′ z = γ Bz − v<br />
c2 <br />
Ey som netop er den tidligere viste ligning<br />
(7.22).<br />
På samme direkte måde <strong>for</strong> F ′13<br />
F ′13 = Λ 1 ρ Λ 3 σ F ρσ<br />
= Λ 1 0 Λ 3 σ F 0σ + Λ 1 1 Λ 3 σ F 1σ<br />
= Λ 1 0 Λ 3 3 F 03 + Λ 1 1 Λ 3 3 F 13<br />
= −β γ · 1 · Ez<br />
c<br />
= γ −By − β Ez<br />
c<br />
Heraf aflæses igen det ønskede B ′ y = γ By − v<br />
+ γ · 1 · (−By)<br />
<br />
(9.148)<br />
c2 Ez<br />
Vi mangler selvfølgelig stadig at checke mange elementer i den elektromagnetiske<br />
felttensor, men reelt kun to, nemlig f. eks. F ′03 <strong>og</strong> F ′23 , da vi kan<br />
udnytte følgende<br />
F ′νµ = Λ ν ρ Λ µ σ F ρσ<br />
= −Λ ν ρ Λ µ σ F σρ<br />
= −Λ µ σ Λ ν ρ F σρ<br />
= −F ′µν<br />
.<br />
(9.149)
150 Firevektorer<br />
Altså F ′µν bliver <strong>og</strong>så antisymmetrisk. Der<strong>for</strong> er det nok kun at checke<br />
halvdelen af komponenterne. Vi har nu vist, at F ′µν trans<strong>for</strong>merer som angivet<br />
i ligning (9.144), <strong>og</strong> at denne trans<strong>for</strong>mation netop bestemmer trans<strong>for</strong>mationen<br />
af de elektriske <strong>og</strong> magnetiske felter fra inertialsystemet S til<br />
inertialsystemet S ′<br />
En størrelse, der trans<strong>for</strong>merer som F ′µν kaldes en tensor af anden orden.<br />
En firevektor kan <strong>og</strong>så kaldes en tensor af første orden.
Indeks<br />
T 1 , 92<br />
2<br />
s, 74<br />
F µν , 148<br />
Λ, 127<br />
Λρ σ, 127<br />
β, 126<br />
ɛo, 3<br />
γ, 126<br />
K, 125<br />
A, 127, 133<br />
A · B, 129<br />
F, 139<br />
U, 133<br />
A , 1<br />
µo, 3<br />
τo, 92<br />
gµν, 129<br />
s2 , 26<br />
Aberration, 41<br />
klassisk, 41<br />
relativistisk, 42<br />
Acceleration, 35, 55<br />
ustabil partikel, 92<br />
én dimension, 35<br />
Annihilation, 77<br />
Antisymmetri, 148<br />
Beampartikel, 75<br />
Beatles, The, ii<br />
Begivenhed, 1, 11<br />
Bevarelse<br />
energi, 67<br />
impuls, 49<br />
151<br />
Bevægelsesligning, 49, 55, 85<br />
firevektor<strong>for</strong>m, 140<br />
Bevægelsesretning, 36<br />
Bradley, J., 41<br />
Bølgeligningen, 124<br />
Bølgevektor, 146<br />
trans<strong>for</strong>mation, 146<br />
CMsystem, 74, 79, 135<br />
Compton, A.H, 135<br />
Comptoneffekt, 135<br />
de Sitter, E., 2, 12<br />
Dobbeltstjerneanalyse, de Sitter, 6<br />
Doppler, C., 43, 44<br />
Dopplereffekt, 43<br />
generelt, 46, 70, 147<br />
longitudinal, 43, 67, 147<br />
transveral, 47<br />
urelativistisk, 44<br />
Drejning, 142<br />
Effekt, 58<br />
Egentid, 40, 133<br />
Einstein, A., 12<br />
Elastisk stød, 82<br />
Elektrisk felt, 85<br />
bevægelse i, 85<br />
trans<strong>for</strong>mation, 107<br />
Elektromagnetisk felttensor, 148<br />
Energi, 58<br />
bevarelse, 67<br />
foton, 67<br />
hvileenergi, 59
152 INDEKS<br />
kinetisk, 58<br />
masse, 66<br />
totale, 59<br />
trans<strong>for</strong>mation, 60<br />
Fireacceleration, 133<br />
Firehastighed, 133<br />
Fireimpuls, 134<br />
Firekraft, 139<br />
Firevektor, 125, 128, 146<br />
regning med, 128<br />
rumdel, 128<br />
skalarprodukt, 129<br />
tidsdel, 128<br />
FitzGerald, G.F., 37<br />
Fotoelektrisk effekt, 67<br />
Foton, 67, 135<br />
Frekvenstrans<strong>for</strong>mation, 43<br />
Galileiinvarians, 2, 65<br />
Galileitrans<strong>for</strong>mation, 1<br />
Halveringstid, 92<br />
Harmonisk bølge, 146<br />
Hastighedsmåling, 12<br />
Hastighedstrans<strong>for</strong>mation, 31<br />
den generelle, 34<br />
Helix, 103<br />
Henfald, 76, 92<br />
Hvilemasse, 49<br />
Hyperbolsk bevægelse, 87<br />
Impuls, 49<br />
bevarelse, 49<br />
fireimpuls, 134<br />
foton, 67<br />
relativistisk, 50, 55<br />
trans<strong>for</strong>mation, 60<br />
Invarians, 25, 73, 110, 120, 122, 124,<br />
128, 130<br />
Galilei, 65<br />
Lorentz, 65<br />
Kasteparabel, 91<br />
Kausalitet, 29<br />
Kraft, 55<br />
trans<strong>for</strong>mation, 64<br />
LABsystem, 79<br />
Ladningstæthed, 121<br />
trans<strong>for</strong>mation, 122<br />
Levetid, 92<br />
Lopis, Flora, ii<br />
Lorentz, H.A., 11, 18, 37<br />
Lorentz<strong>for</strong>kortning, 37<br />
Lorentzinvarians, 26, 60, 65, 120, 122,<br />
124<br />
Lorentzkraft, 107<br />
Lorentztrans<strong>for</strong>mationen, 11, 17<br />
den generelle, 20<br />
dobbelt, 19, 140<br />
rækkefølge, 144<br />
Lysagtig, 27, 130<br />
Lysets fart, 2, 12<br />
Længdemåling, 12, 37<br />
Magnetfelt, 101<br />
bevægelse i, 101<br />
trans<strong>for</strong>mation, 107<br />
Maksimalhastighed, 7, 33<br />
Mandelstamvariabel, 74<br />
Masse, 66, 81<br />
hvilemasse, 49<br />
massebevarelse, 81<br />
Maxwell, J.C., 3<br />
Maxwells ligninger, 3, 117<br />
i vakuum, 117<br />
med kilder, 122<br />
Metrik, 128<br />
Michelson, A., 2<br />
Michelson-Morley-<strong>for</strong>søget, 3, 12<br />
Morley, E., 2<br />
Newtons anden lov, 55<br />
Newtons tredje lov, 57
INDEKS 153<br />
Partikelhenfald, 76, 138<br />
Partikelproduktion, 74, 137<br />
Partikelsystemer, 73<br />
Poincaré, H., 18<br />
Pythagoras, relativistiske, 60<br />
Radialhastighed, 47<br />
Raket, 104<br />
Relativistisk beaming, 69<br />
Relativitetsprincip, 11<br />
Retning af lys, 30, 147<br />
Rumagtig, 27, 130<br />
Rumdel, 128<br />
Rød<strong>for</strong>skydning, 46<br />
Rømer, O., 42<br />
Samtidighed, 27, 33<br />
Skalarprodukt, 129<br />
Skruehøjde, 104<br />
Skruelinje, 103<br />
Skrå kast, 93<br />
kastelængde, 98<br />
maksimale højde, 97<br />
Stang, kørende, 111<br />
Strømtæthed, 121<br />
trans<strong>for</strong>mation, 122<br />
Stød<br />
elastisk, 82, 136<br />
uelastisk, 66<br />
Summationskonvention, 129<br />
Synkronisering, 1, 13<br />
Targetpartikel, 75<br />
Tegmark, Max, ii<br />
Tensor<br />
anden orden, 150<br />
elektromagnetisk felttensor, 148<br />
første orden, 150<br />
Tidsagtig, 27, 130<br />
Tidsdel, 128<br />
Tids<strong>for</strong>længelse, 40<br />
Tidsmåling, 12<br />
Tidsrækkefølge, 29<br />
Trans<strong>for</strong>mation<br />
acceleration, 35<br />
bevægelsesretning, 36<br />
bølgevektor, 146<br />
elektrisk felt <strong>og</strong> magnetfelt, 107,<br />
109<br />
elektromagnetisk felttensor, 148<br />
energi <strong>og</strong> impuls, 64<br />
frekvens, 43<br />
Galilei, 1<br />
hastighed, 31<br />
kraft, 64<br />
ladningstæthed <strong>og</strong> strømtæthed,<br />
122<br />
Lorentz, 11<br />
lysretning, 30<br />
vinkel, 38<br />
volumen, 38<br />
Trans<strong>for</strong>mationsmatrix, 127<br />
Uelastisk stød, 66<br />
Vakuumpermeabiliteten, 3<br />
Vakuumpermittiviteten, 3<br />
Vinkeltrans<strong>for</strong>mation, 38<br />
Volumentrans<strong>for</strong>mation, 38<br />
Yellow Submarine, ii<br />
Ækvivalens masse-energi, 66<br />
Æteren, 3, 37
154
Epil<strong>og</strong><br />
I disse noter er der ingen omtale af den generelle relativitetsteori. Dette<br />
rådes der lidt bod på ved at gengive <strong>for</strong>tsættelsen af de "to" <strong>for</strong>fattere Flora<br />
Lopis <strong>og</strong> Max Tegmarks sang fra side ii.<br />
GENERAL RELATIVITY<br />
But Einstein had another dream,<br />
and in nineteen sixteen<br />
he made a deep unification<br />
between gravity and acceleration.<br />
He said physics ain’t hard at all<br />
as long as you are in free fall,<br />
’cos our laws all stay the same<br />
in a locally inertial frame.<br />
And he called it general relativity, relativity, relativity.<br />
And we all believe in relativity, 8.033, relativity.<br />
If towards a black hole you fall<br />
tides will make you slim and tall,<br />
but your friends won’t see you enter<br />
a singularity at the center,<br />
because it will look to them<br />
like you got stuck at radius 2 M.<br />
But you get squished, despite this balking,<br />
and then evaporate, says Stephen Hawking.<br />
We all believe in relativity, relativity, relativity.<br />
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.<br />
We’re in an expanding space<br />
with galaxies all over the place,<br />
and we’ve learned from Edwin Hubble<br />
that twice the distance makes the redshift double.<br />
We can with confidence converse<br />
about the age of our universe.<br />
Rival theories are now moot<br />
thanks to Penzias, Wilson, Mather & Smoot.<br />
We all live in an expanding universe, expanding universe, expanding<br />
universe.<br />
I
II<br />
Yes we all live in an expanding universe, expanding universe, expanding<br />
universe.<br />
But what’s the physics of creation?<br />
There’s a theory called inflation<br />
by Alan Guth and his friends,<br />
but the catch is that it never ends,<br />
making a fractal universe<br />
which makes some of their colleagues curse.<br />
Yes there’s plenty left to figure out<br />
like what reality is all about.<br />
but at least we believe in relativity, relativity, relativity.<br />
Yes we all believe in relativity, 8.033, relativity.