nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

16 Lorentztransformationen
og i S ′ ved ligningen
Altså gælder der
c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 = 0 (2.5)
c 2 t 2 − x 2 = c 2 t ′2 − x ′2
(2.6)
hvor vi også har benyttet ligningerne (2.2) og (2.3). Da transformationen fra
(t, x) til (t ′ , x ′ ) er lineær (og uden indblanding af y og z) skal vi bestemme
fire tal K, L, M og N, der er uafhængige af (t, x), men som formodentligt
kommer til at afhænge af v, da v jo karakteriserer bevægelsen af S og S ′ i
forhold til hinanden:
x ′ = K x + L t (2.7)
t ′ = M t + N x (2.8)
For origo O ′ gælder i systemet S ′ at x ′ = 0 og i systemet S at x = vt. Dette
kan sættes ind i ligning(2.7), og dermed har vi et bånd mellem tallene L og
K
Nu kan ligning (2.7) skrives
v = − L
K
(2.9)
x ′ = K (x − v t) (2.10)
Ligningerne (2.8) og (2.10) benyttes i ligning (2.6), og efter lidt rumsteren
har vi
x 2 −c 2 t 2 = (K 2 −c 2 N 2 ) x 2 −2 (K 2 v+c 2 M N) x t−(c 2 M 2 −K 2 v 2 ) t 2 (2.11)
For at ligning (2.11) kan være opfyldt for alle x og alle t, skal koefficienterne
til x 2 , x t og t 2 være ens på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.11). Der
skal altså gælde
K 2 − c 2 N 2 = 1 (2.12)
K 2 v + c 2 M N = 0 (2.13)
c 2 M 2 − K 2 v 2 = c 2
Af ligning (2.13) får vi
N = − v
c2 Ligning (2.15) indsættes i ligning (2.12)
K 2 − v2
c 2
K 2
M
(2.14)
(2.15)
K4 = 1 (2.16)
M 2