nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

3.1 Invarians 27
som (t, x, y, z) gør. Dvs. der gælder
∆ t ′ v ∆ t − c = 2 ∆ x
1 −
v 2
c
(3.3)
∆ x ′ ∆ x − v ∆ t
=
1 −
v 2
c
(3.4)
∆ y ′ = ∆ y (3.5)
∆ z ′ = ∆ z (3.6)
Derfor er også (∆ s) 2 = c2 (t2 − t1) 2 − (x2 − x1) 2 − (y2 − y1) 2 − (z2 − z1) 2 =
c2 (∆ t) 2 − (∆ x) 2 − (∆ y) 2 − (∆ z) 2 Lorentzinvariant.
I stedet for at skrive (∆s) 2 , som er det matematisk korrekte, er der i relativitetsteorien
tradition for at skrive dette som ∆s2 , selv om dette jo egentlig
betyder ændringen i s2 . Tilsvarende gøres for (∆ x) 2 = ∆ x2 osv. Altså skrives
∆ s2 = c2 ∆ t2 − ∆ x2 − ∆ y2 − ∆ z2 . Der er tre muligheder for fortegnet af
∆s2 som gives hvert sit navn
∆s 2
⎧
⎪⎨ < 0 ∆s siges at være rumagtig
= 0 ∆s siges at være lysagtig
(3.7)
⎪⎩
> 0 ∆s siges at være tidsagtig
Det vil altid være muligt ved en passende transformation af det sædvanlige
koordinatsystem i rummet at opnå, at formen på ∆ s er ∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0),
således at ∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 .
Lad os som eksempel på anvendelsen af invariansen af ∆ s 2 se på to begivenheder,
der er samtidige i inertialsystemet S, og som finder sted på to
forskellige steder. Lad os antage at ∆ s = (∆ t, ∆ x, 0, 0). Der gælder altså
∆ s 2 = c 2 ∆ t 2 − ∆ x 2 = ∆ x 2
(3.8)
(Vi ser bort fra ∆ y og ∆ z-bidragene, da vi har sørget for, at disse er 0 i
systemerne S og S ′ ). Man kan nu spørge om, om det er muligt, at de to
begivenheder også er samtidige i systemet S ′ . Da ∆ s ′2 = c 2 ∆ t ′2 − ∆ x ′2 og
pga. invariansen, vil i så fald gælde for ∆ t ′ = 0
∆ s 2 = ∆ s ′2 ⇔ ∆ x 2 = ∆ x ′2
(3.9)
Dette er kun muligt (se Lorentztransformationen ligning (2.25)) hvis S ′ ’s
hastighed i forhold til S er nul. Altså er de to begivenheder ikke samtidige
i S ′ , hvis S ′ har en fra nul forskellig hastighed i forhold til S. Samtidighed i