nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

3.3 Hastighedstransformation 31
hvor x ′ er førstekoordinaten til det punkt, hvortil lystrålen er kommet til
tiden t ′ . Den tilbagelagte vej af lyset er jo c t ′ , som netop er længden af
hypotenusen i den antydede trekant. Ved brug af Lorentztransformationen
kan x ′ og t ′ udtrykkes ved x og t i inertialsystemet S og vi får
cos(α ′ ) =
c
x−v t
2 v
1− c
t− v
c2 x
1−
2 v
c
=
x
c t
v − c
x
c t
1 − v
c
(3.20)
Da lyset jo også bevæger sig retlinet set fra inertialsystemet S, kan vi på
samme måde, som vi gjorde i systemet S ′ , angive retningen af lysstrålen ved
den vinkel α, lysstrålen danner med x-aksen, men nu angivet i systemet S
ved
cos(α) = x
c t
Derved kan ligning (3.20) omskrives til
cos(α ′ ) =
cos(α) − v
c
1 − v
c cos(α)
(3.21)
(3.22)
som er den ønskede sammenhæng mellem α og α ′ .
Ligning (3.22) kan under anvendelse af den trigonometriske relation tan( 1 x) =
1−cos(x)
1+cos(x)
omskrives til
tan( 1
2 α′ ) = tan( 1
2 α)
1 + v
c
1 − v
c
3.3 Hastighedstransformation
2
(3.23)
I inertialsystemet S befinder en partikel sig til tiden t1 på stedet A(x1, y1, z1).
Til tiden t2 befinder den sig på stedet B(x2, y2, z2). Partiklens hastighed u i
S er bestemt ved (sædvanlig grænseovergang ∆t → 0 underforstået)
ux = x2 − x1
t2 − t1
uy = y2 − y1
t2 − t1
uz = z2 − z1
t2 − t1
= ∆x
∆t
= ∆y
∆t
= ∆z
∆t
(3.24)
(3.25)
(3.26)