nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

34 Kinematiske konsekvenser
3.3.1 Den generelle Lorentztransformation
Hvis S ′ bevæger sig med konstant hastighed v efter y-aksen fås af ligningerne
(2.41) til (2.44)
u ′ x = ux
1 −
v 2
c
ux =
1 − u′
x 1 −
v 2
c
(3.41)
u ′ y = uy − v
uy v
1 − c2 u ′ z = uz
uy v
c 2
1 − v
1 −
uy v
c 2
c
2
1 + u′ y v
c2 uy = u′ y + v
uz = u′ z
1 + u′ y v
c2
1 − v
c
1 + u′ y v
c 2
2
(3.42)
(3.43)
Hastighedstransformationen i det generelle tilfælde findes ved at se på ændringer
i tid og sted i de to inertialsystemer på samme måde som før. Af
ligningerne (2.57) og (2.58) fås
−−→
∆ r ′ = −→
∆ r +
1
1 − −→
∆ r · v
− 1
v 2 v
c
2 ∆ t v
v −
1 − v
c
∆ t ′ =
∆ t − −→
∆ r·v
1 − v
c
c2 2 2
(3.44)
(3.45)
Ved division af henholdsvis venstre og højre side af ligning (3.44) med de
tilsvarende sider af ligning (3.45) finder vi med underforstået grænseovergang
for ændringer i tiderne gående mod nul den ønskede sammenhæng mellem
hastighederne i de to systemer
u ′
u 1 −
=
v 2
+ c
1 −
1 − u·v
c 2
1 − v
c
2 u·v
v2
− 1 v
(3.46)
Den omvendte transformation fås ved i ovenstående at skifte v ud med −v
u
u =
′
1 −
v 2
+ 1 − 1 − c
v 2 u ′ ·v
c v2
+ 1 v
(3.47)
1 + u ′ ·v
c 2
Ved at vælge v = (v, 0, 0) i ligning (3.46) genfindes ligningerne (3.33) -
(3.35), og ved at vælge v = (0, v, 0) får vi ligningerne (3.41) - (3.43).