nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

22 Lorentztransformationen
Vi antager på samme måde som før en lineær sammenhæng af formen
−→ r ′ = K −→ r + L t v (2.49)
t ′ = M t + N | −→ r| (2.50)
Origo O ′ er i S ′ beskrevet ved r ′ = o og altså også −→ r ′ = o, medens det i S er
beskrevet ved r = −→ r = t v. Dette indsat i ligning (2.49) medfører L = −K,
således at ligning (2.49) omskrives til
−→ r ′ = K ( −→ r − t v) (2.51)
Ligningerne (2.50) og (2.51) benyttes i ligning (2.48), som med v = |v| bliver
c 2 t 2 − | −→ r| 2 = c 2 (M t + N | −→ r|) 2 − K 2 ( −→ r − t v) 2
Heraf fås ligningssættet
= (c 2 M 2 − K 2 v 2 ) t 2 + 2 (c 2 M N + v K 2 ) t | −→ r| − (c 2 N 2 − K 2 ) | −→ r| 2
(2.52)
K 2 − c 2 N 2 = 1 (2.53)
K 2 v + c 2 M N = 0 (2.54)
c 2 M 2 − K 2 v 2 = c 2
(2.55)
som har samme løsning, som vi tidligere fandt ved ligningerne (2.21) - (2.24).
Dermed har vi fundet den ønskede transformation for −→ r og t. For −→ r gælder
altså
−→ −→
′
r − t v
r =
1 −
v 2
c
(2.56)
Transformationen for hele den rumlige del, r = −→ r⊥ + −→ r , af en begivenhed
kan derfor vha. ligningerne (2.46) og (2.56) skrives sammen til
r ′
= r +
1
1 −
− 1
v 2
c
r · v t v
v −
v2 1 −
v 2
c
(2.57)
Transformationen for tidsdelen af begivenheden bliver med de fundne værdier
for M og N indsat i ligning (2.50)
t ′ =
r·v t − c2
1 − v
c
2
(2.58)