nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

40 Kinematiske konsekvenser
sin(θ1) sin(θ2) fås efter en række omskrivninger under benyttelse af ligningerne
(3.66) og (3.67)
cos(θ) =
3.9 Tidsforlængelsen
cos(θ ′ ) − cos(θ ′ 1) cos(θ ′ 2) ( v
c )2
1 − cos 2 (θ ′ 1) ( v
c )2 1 − cos 2 (θ ′ 2) ( v
c )2
(3.68)
I systemet S ′ sker en begivenhed i O ′ til tiden t ′ 1. Senere sker en anden
begivenhed i O ′ til tiden t ′ 2. De tilsvarende tider i S er (benyt Loretztransformationen
med x ′ = 0)
t1 =
t2 =
t ′ 1
v 1 − ( c )2
t ′ 2
v 1 − ( c )2
(3.69)
(3.70)
Af ligningerne (3.69) og (3.70) får vi sammenhængen mellem de to tidsforløb
∆t = t2 − t1 og ∆t ′ = t ′ 2 − t ′ 1
∆t =
∆t ′
1 − ( v
c )2
(3.71)
Det ses at ∆t ≧ ∆t ′ . Sammenhængen udtrykt i ligning (3.71) benævnes
derfor tidsforlængelsen. Tiden, der måles på et ur i en partikels hvilesystem,
kaldes egentiden. Ligning (3.71) viser altså, at egentiden er mindre end tiden
målt på ethvert andet ur.
3.9.1 En alternativ udledning af tidsforlængelsen
En hul stang bevæger sig med hastighed v i forhold til en stationær iagttager.
Stangens længderetning er vinkelret på v. Se Fig. (3.4). Fra toppen A af
stangen sendes et lysignal mod bunden af stangen B ′ . I stangens hvilesystem
tager det tiden ∆t ′ at gennemløbe turen. For den stationære iagttager tager
det tiden ∆t. I dette tidsrum har stangen bevæget sig x = v ∆t i forhold til
den stationære iagttager. Da afstande vinkelrette på v har ens længde for
en iagttager, der følger med stangen, og for den stationære iagttager, kan vi
benytte Pythagoras til at få sammenhængen
(c ∆t ′ ) 2 = (c ∆t) 2 − (v ∆t) 2
(3.72)