nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

106 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
kan ligning (6.111) omskrives til
Ligning (6.114) integreres
m2
og vi får
m1
vo
vo
dm
m
dm
m
= − du
1 − ( u
c )2
u2
= −
u1
m2 c
vo ln(m) = − ln
m1 2
du
1 − ( u
c )2
1 + u
c
1 − u
c
u2
u1
(6.114)
(6.115)
(6.116)
Hvis vi antager, at u1 = 0, altså at raketten starter i hvile i inertialsystemet
S, får vi et lidt simplere regnestykke. Sluthastigheden u2 findes af ligning
(6.116)
u2 = c
2 vo
m2 1 − ( ) c
m1
1 + ( m2
2 vo
) c
m1
For vo ≪ c fås, at u2 i ligning (6.117) kan aproksimeres til 6
2 v0 − ln( c
u2 ≈ c m2
m1 )
2 v0 2 + ln( c m2
m1 ) ≈ vo ln m1
m2
som jo også det resultat, en urelativistisk regning giver.
(6.117)
(6.118)
Lad os nu forestille os, at gassen, der blev sendt ud, var en fotongas. Fotonernes
frekvens er f, og der udsendes n fotoner i et givet tidsrum. Ligningerne
(6.108) og (6.109) bliver da ændret til
d m c2
u 1 − ( c )2
= −n h f (6.119)
d m u
u 1 − ( c )2
h f
= −n (6.120)
c
Ved at benytte helt samme metode som før får vi her ligningen
c dm
m
= − du
1 − ( u
c )2
(6.121)
Denne ligning kan igen løses ved integration, og med samme betingelser som
før fås her for u2
u2 = c
1 − ( m2
m1 )2
1 + ( m2
m1 )2
som er det samme, som vi ville få af ligning (6.117) ved at sætte vo = c.
6 Benyt at for |x| ≪ 1 gælder a x ≈ 1 + x ln(a).
(6.122)