nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

2.4 Transformation af x og t 17
Af ligning (2.14) fås
M 2 = c2 + K 2 v 2
c2 (2.17)
Ligning (2.17) indsættes i ligning (2.16), og efter lidt regneri finder vi
1
K = ±
v 1 − ( c )2
Nu kan ligning (2.18) indsættes i ligning (2.17), og M kan findes
1
M = ±
v 1 − ( c )2
(2.18)
(2.19)
Dernæst indsættes ligningerne (2.18) og (2.19) i ligning (2.15), og N kan
findes
N = ± v
c2 1
v 1 − ( c )2
(2.20)
Vi mangler nu kun at bestemme fortegnene for K, M og N. Ligning (2.7)
skal gælde for alle værdier af v, også for v = 0. For v = 0 er x ′ = x, og
dermed er K = 1. Da K antages at være en pæn kontinuert funktion af v,
må fortegnet for K være plus, dvs.
K =
1
1 − ( v
c )2
L er dermed også bestemt via ligning (2.9)
L =
−v
1 − ( v
c )2
(2.21)
(2.22)
For v ≪ c skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen,
dvs. ligning (2.8) skal gå over i t ′ = t. Fortegnet for M må derfor
være plus, altså
1
M =
v 1 − ( c )2
Hermed er fortegnet for N fastlagt via ligning (2.15), og N bliver
N = − v
c 2
1
1 − ( v
c )2
(2.23)
(2.24)
Konstanterne K, L, M og N er hermed fastlagte, og vi har fundet Lorentztransformationen
x ′ =
x − v t
v 1 − ( c )2
(2.25)