nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

32 Kinematiske konsekvenser
Da Lorentztransformationen, som vi tidligere har udnyttet (se side 26), er
lineær, gælder, at ∆t, ∆x, ∆y, ∆z transformerer som t, x, y, z og derfor er
∆x ′ =
∆t ′ =
∆x − v ∆t
v 1 − ( c )2
(3.27)
∆y ′ = ∆y (3.28)
∆z ′ = ∆z (3.29)
∆t − v
c 2 ∆x
1 − ( v
c )2
(3.30)
For hastigheden af partiklen målt i inertialsystemet S ′ får vi da vha. ligningerne
(3.27) - (3.30)
u ′ y = ∆y′
=
∆t ′
u ′ x = ∆x′
∆t
∆x − v ∆t
= ′ ∆t − v
c2 ∆x =
∆y
∆t − v
c2
1 − (
∆x
v
∆x
∆t
1 − v
c 2
− v
∆x
∆t
c )2 = uy
v ux 1 − c2 = ux − v
v ux 1 − c2 (3.31)
1 − ( v
c )2 (3.32)
Transformationen for hastigheden i z-retningen findes analogt. Slutresultatet
for transformationen fra S til S ′ kan derfor opskrives som
u ′ x = ux − v
v ux 1 − c2 u ′ y = uy
v ux 1 − c2 u ′ z = uz
v ux 1 − c2
1 − ( v
(3.33)
c )2 (3.34)
1 − ( v
c )2 (3.35)
Transformationen fra S ′ til S fås ved i ligningerne (3.33) til (3.35) at udskifte
v med −v
ux = u′ x + v
1 + v u′ x
c 2
uy = u′ y
1 + v u′ x
c 2
uz = u′ z
1 + v u′ x
c 2
1 − ( v
(3.36)
c )2 (3.37)
1 − ( v
c )2 (3.38)
Bemærk at ligningerne for hastighedstransformationen ikke umiddelbart ligner
Lorentztransformationen for tid og sted.