nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

More documents

Recommendations

Info

144 Firevektorer bevægelsen af systemerne ikke er i samme retning, giver en Lorentstransformation, der ikke kan fås ved en Lorentztransformation af det oprindelige system S til slutsystemet S ′′ ved kun at udføre en transformation i en eller anden retning, men kræver en Lorentztransformation af det oprindelige system S i en veldefineret retning til systemet S ∗ efterfulgt af en rotation af de rumlige akser af S ∗ efter denne Lorentztransformation. Rækkefølge af transformationer. Ved at bytte om på rækkefølgen af de to transformationer, dvs. først foretages en transformation efter y, y ′ -aksen med hastighed w = (0, w, 0) og derefter en transformation efter x ′ , x ′′ -aksen med hastighed v = (v, 0, 0), fås en transformation, der er bestemt af matricen Υ Υ = Λ[x] Λ[y] som ved direkte udregning af matrixproduktet bliver ⎛ γx γy ⎜−γx γy βx Υ = ⎜ ⎝ −γy βy −γx βx γx 0 −γx γy βy γx γy βx βy γy ⎞ 0 0 ⎟ 0⎠ 0 0 0 1 (9.115) (9.116) Da Λ = Υ er de to sammensatte transformationer i almindelighed ikke ens. Rækkefølgen af transformationerne er altså afgørende vigtig. Heller ikke Υ er symmetrisk. Derfor ønsker vi som før at finde to matricer, Υ ⋆ og D, som bestemmer henholdsvis en Lorentztransformation efter vektoren v ⋆ fra inertialsystemet S til inertialsystemet S ⋆ og en drejning med vinklen θ ⋆ af S ⋆ om z ⋆ -aksen til S ′′ , således at Υ = D Υ ⋆ Ved at foretage samme regnestykke som før finder vi eller Af ligning (9.118) findes tan(θ ⋆ ) = cos(θ ⋆ ) = γx + γy 1 + γx γy tan(θ ⋆ ) = γx γy βx βy γx + γy βx βy 1 − β 2 x + 1 − β 2 y og sin(θ ⋆ ) = γx γy βx βy 1 + γx γy (9.117) (9.118) (9.119) (9.120)
9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 145 samt ⎛ Υ ⋆ ⎜ = ⎜ ⎝ γx γy −γx βx −γx γy βy 0 γ2 x +γx γy γ 1+γx γy 2 x γy βx βy 0 1+γx γy γ2 x γy βx βy 1 + 1+γx γy γ2 x γ2 y β2 ⎞ ⎟ y 0⎠ 1+γx γy 0 0 0 1 −γx βx −γx γy βy Hastigheden v ⋆ findes ved at se på 0’te-søjlen af Υ ⋆ . Dette giver hvoraf findes og dermed γ ⋆ = γx γy γ ⋆ β ⋆ 1 = γx βx (9.121) γ ⋆ β ⋆ 2 = γx γy βy γ ⋆ β ⋆ 3 = 0 (9.122) β ⋆ = (β ⋆ 1, β ⋆ 2, β ⋆ 3) = (γ −1 y βx, βy, 0) (9.123) v ⋆ = c β ⋆ = (c γ −1 y βx, c βy, 0) (9.124) For de to drejningsvinkler θ ∗ og θ ⋆ ses af ligningerne (9.110) og (9.120), at de er lig hinanden med modsat fortegn. De to vektorer v ∗ og v ⋆ , som Lorentztransformationen skal foregå efter, er forskellige, se ligningerne (9.114) og (9.124). Retningerne af disse vektorer er forskellige, men deres længder er ens idet | β ∗ | = | β ⋆ | = 1 − γ −2 x γ −2 y . Vinklen φ mellem disse to hastighedsvektorer kan bestemmes af cos(φ) = β ∗ · β ⋆ | β ∗ | | β ⋆ | γ−1 y β = 2 x + γ−1 x β2 y 1 − γ−2 x γ−2 y = γ−1 y (1 − γ−2 x ) + γ−1 x (1 − γ−2 y ) 1 − γ−2 x γ−2 y = γx + γy 1 + γx γy (9.125) Vinklen φ mellem v ∗ og v ⋆ målt i inertialsystemet S har altså samme størrelse som den numeriske værdi af drejningsvinklen θ ∗ målt i inertialsystemet S ∗ og af drejningsvinklen θ ⋆ målt i inertialsystemet S ⋆ . Hastighedstransformation. Hastigheden w = (0, w, 0) i S ′ er i S ved hastighedstransformationen ligningerne (3.36) til (3.38) netop v ∗ , se ligning (9.114) v ∗ = (v, w 1 − v 2, 0) (9.126) c
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK S
Page 3:
Supplerende regnestykker til Den sp
Page 6 and 7:
ii Abstract eller ej I stedet for e
Page 9 and 10:
Indhold 1 Galileitransformationen 1
Page 11 and 12:
INDHOLD vii 6.2.2 Nogle resultater
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Galileitransformationen D
Page 15 and 16:
1.2 Lysets fart 3 1.2.1 Michelson-M
Page 17 and 18:
1.2 Lysets fart 5 I II v c c v+ v
Page 19 and 20:
1.2 Lysets fart 7 hvor c er lysets
Page 21 and 22:
1.2 Lysets fart 9 stor, men altid e
Page 23 and 24:
Kapitel 2 Lorentztransformationen I
Page 25 and 26:
2.2 Måling af tid og længde 13 pu
Page 27 and 28:
2.4 Transformation af x og t 15 rø
Page 29 and 30:
2.4 Transformation af x og t 17 Af
Page 31 and 32:
2.5 Dobbelt Lorentztransformation 1
Page 33 and 34:
2.6 Den generelle Lorentztransforma
Page 35 and 36:
2.6 Den generelle Lorentztransforma
Page 37 and 38:
Kapitel 3 Kinematiske konsekvenser
Page 39 and 40:
3.1 Invarians 27 som (t, x, y, z) g
Page 41 and 42:
3.1 Invarians 29 eller 1 c > ∆
Page 43 and 44:
3.3 Hastighedstransformation 31 hvo
Page 45 and 46:
3.3 Hastighedstransformation 33 For
Page 47 and 48:
3.4 Acceleration 35 3.4 Acceleratio
Page 49 and 50:
3.6 Lorentzforkortningen 37 ligning
Page 51 and 52:
3.8 Vinkeltransformation 39 vinklen
Page 53 and 54:
3.10 Aberration 41 c ∆t ′ A v c
Page 55 and 56:
3.11 Dopplereffekt 43 I systemet S
Page 57 and 58:
3.11 Dopplereffekt 45 Den urelativi
Page 59 and 60:
3.11 Dopplereffekt 47 θ v A B Iagt
Page 61 and 62:
Kapitel 4 Relativistisk dynamik: In
Page 63 and 64:
4.2 Relativistisk impuls 51 y S −
Page 65 and 66:
4.2 Relativistisk impuls 53 y S Fig
Page 67 and 68:
4.3 Kraft 55 Da funktionen g nu er
Page 69 and 70:
4.3 Kraft 57 Ligning (4.28) benytte
Page 71 and 72:
4.4 Relativistisk energi 59 For lav
Page 73 and 74:
4.5 Transformation af impuls og ene
Page 75 and 76:
4.5 Transformation af impuls og ene
Page 77 and 78:
4.7 Ækvivalensen mellem masse og e
Page 79 and 80:
4.8 Lys 67 hvor E1 og E2 er energie
Page 81 and 82:
4.8 Lys 69 4.8.2 Vilkårlig retning
Page 83 and 84:
4.8 Lys 71 Iagttager Kilde Figur 4.
Page 85 and 86:
Kapitel 5 Relativistisk dynamik: Pa
Page 87 and 88:
5.2 Partikelproduktion 75 ved den s
Page 89 and 90:
5.4 Annihilation 77 Da vi nu har fu
Page 91 and 92:
5.5 CM-system og LAB-system 79 og d
Page 93 and 94:
5.6 Massebevarelse i urelativistisk
Page 95 and 96:
5.6 Massebevarelse i urelativistisk
Page 97 and 98:
Kapitel 6 Relativistisk dynamik: Be
Page 99 and 100:
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106: 6.2 Det skrå kast 93 n = 1 1 −
Page 107 and 108: 6.2 Det skrå kast 95 = x(t) = F m
Page 109 and 110: 6.2 Det skrå kast 97 y = F m c 2
Page 111 and 112: 6.2 Det skrå kast 99 Også dette r
Page 113 and 114: 6.3 Ladet partikel i magnetfelt 101
Page 115 and 116: 6.3 Ladet partikel i magnetfelt 103
Page 117 and 118: 6.4 Relativistisk raket 105 y S Fig
Page 119 and 120: Kapitel 7 Elektriske og magnetiske
Page 121 and 122: 7.1 Transformationsformlerne 109 Fr
Page 123 and 124: 7.3 Den kørende stang 111 7.2.3 Sp
Page 125 and 126: 7.4 Ladet partikel med konstant has
Page 127 and 128: 7.4 Ladet partikel med konstant has
Page 129 and 130: Kapitel 8 Invarians af Maxwells lig
Page 131 and 132: 8.1 Maxwells ligninger i vakuum 119
Page 133 and 134: 8.2 Ladningstæthed og strømtæthe
Page 135 and 136: 8.3 Maxwells ligninger med kilder 1
Page 137 and 138: Kapitel 9 Firevektorer Vi vil i det
Page 139 and 140: 9.1 Definition af firevektor 127 Tr
Page 141 and 142: 9.3 Skalarprodukt 129 kan den invar
Page 143 and 144: 9.3 Skalarprodukt 131 Dvs. der gæl
Page 145 and 146: 9.4 Firehastighed 133 9.4 Firehasti
Page 147 and 148: 9.6 Fireimpuls 135 er nulvektoren.
Page 149 and 150: 9.6 Fireimpuls 137 Ved at udnytte l
Page 151 and 152: 9.7 Firekraft 139 Denne ligning kva
Page 153 and 154: 9.9 Lorentztransformationen tager e
Page 155: 9.9 Lorentztransformationen tager e
Page 159 and 160: 9.10 Harmonisk bølge 147 Ligninger
Page 161 and 162: 9.11 Den elektromagnetiske felttens
Page 163 and 164: Indeks T 1 , 92 2 s, 74 F µν , 14
Page 165 and 166: INDEKS 153 Partikelhenfald, 76, 138
Page 167 and 168: Epilog I disse noter er der ingen o
show all

nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?