nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

9.3 Skalarprodukt 131
Dvs. der gælder A · B > 0.
Vi udregner nu (A + B) 2
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B > 0 (9.30)
At udtrykket i (9.30) er positivt følger af forudsætningen om, at A og B er
tidsagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist, at A + B er
tidsagtig med positiv tidskomponent.
Sætning 3 . Lad A være en tidsagtig firevektor og B en lysagtig firevektor,
begge med positive tidskomponenter. Da er A · B > 0. Endvidere er A + B
tidsagtig med positiv tidskomponent.
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge forudsætningen
er A 0 > | A| og B 0 = | B|. Heraf følger
Dvs. der gælder A · B > 0.
Vi udregner nu (A + B) 2
A 0 > | A| ∧ B 0 = | B| ⇒ (9.31)
A 0 B 0 > A · B ⇔ (9.32)
A 0 B 0 − A · B > 0 (9.33)
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B > 0 (9.34)
At udtrykket i (9.34) er positivt følger af forudsætningen om, at A er tidsagtig,
og at B er lysagtig samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist,
at A + B er tidsagtig med positiv tidskomponent.
Sætning 4 . Lad A og B være lysagtige firevektorer med positive tidskomponenter.
Da er A · B ≥ 0. Endvidere er A + B lysagtig, hvis vinklen mellem
rumdelene af A og B er nul, ellers er summen tidsagtig. I begge tilfælde er
tidskomponenten positiv.
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge forudsætningen
er A 0 = | A| og B 0 = | B|. Heraf følger A · B = A 0 B 0 (1 − cos(θ))
hvor θ er vinklen mellem A og B. Dette viser at A · B ≥ 0. Igen udregnes
(A + B) 2 , som her giver
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B ≥ 0 (9.35)
At udtrykket i (9.35) er positivt eller nul følger af forudsætningen om, at A
og B er lysagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu vist, at A + B
er tidsagtig eller lysagtig med positiv tidskomponent. A+B er lysagtig, netop
når θ = 0.